分形几何及其应用简介(精)
分形几何及其应用简介
课程号：06191280
课程名称：分形几何及其应用英文名称：Fractal Geometry and its Applications
周学时：3-0 学分：3
预修要求：实变函数，概率论
内容简介：
分形几何学是由法国数学家B.B.Mandelbrot在20世纪70 年代创立的。“分形（fractal）”一词，也是由他提出，它来源于拉丁语“fractus”，含有“不规则”或“破碎”之意。与描述规则形状的欧几里德几何不同，分形几何研究一类非规则的几何对象，并为研究这些对象提供了思想、方法、技巧等。作为应用，它可以构造从植物到星系的物理结构的精确模型，而这是传统几何无法做到的。可以说，分形几何是一种“新”的几何语言。
选用教材或参考书：
教材：《分形几何---数学基础与应用》，谢和平等编（重庆大学出版社）
参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press, (1985)
《分形与图象压缩》，陈守吉等编（上海科技教育出版社）
《分形几何及其应用》教学大纲
一、课程的教学目的和基本要求
《分形几何及其应用》课程主要是面向数学系学生开设的一门选修课，总学时数为48，一个学期完成，学分3分。
通过本课程的教学，使学生掌握分形几何中的基本概念、基本方法并熟识基本理论；会应用基本理论考察自然现象的分形本质，计算分形维数，在图象压缩方面有初步的应用。
二、相关教学环节安排
1，每周布置作业，作业量2---3小时。
2，每章结束安排习题课，讲解习题。
三、课程主要内容及学时分配
每周3学时，上课时间共16周。
主要内容：
（一）预备知识（3学时）
1，基本集合和测度理论
2，概率论知识
3，质量分布
（二）Hausdorff 测度与维数（6学时）
1，Hausdorff 测度
2，Hausdorff 维数
3，Hausdorff 维数计算的例子
4，Hausdorff 维数的等价定义
5，习题课
（三）维数的其他定义（6学时）
1，盒计数维数
2，盒计数维数的性质和问题
3，修正盒计数维数
4，另外一些维数定义
5，习题课
（四）维数计算方法（9学时）
1，基本方法
2，有限测度子集
3，位势理论方法
4，Fourier变换方法
5，习题课
（五）分形集的局部结构（6学时）
1，密度
2，1-集的结构
3，s-集的切线
4，习题课
（六）分形集的投影和分形集的积（9学时）
1，任意集的投影
2，整数维集的投影
3，乘积公式
4，习题课
（七）自相似和自仿射集变换确定的分形（9学时）
1，迭代函数系统
2，自相似和自仿射集
3，对编码成象的应用
4，习题课
四、教材及主要参考用书
教材：《分形几何---数学基础与应用》，谢和平等编（重庆大学出版社）
参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press, (1985) 《分形与图象压缩》，陈守吉等编（上海科技教育出版社）
分形维数浅释
分形维数（Fractal Dimension）浅释 笔者: 喻麟佑博士（美国亚利桑那大学物理学博士）2012年3月于广州
前言： 最近，数学课下课后，有学生问我一个网上流传的数学问题，令很多学生困惑。简化以后，大意可以由下图描述： 三角形的两个斜边一直往下折，折了无穷次后，看起来不就是和底边一样了？那 么，1 + 1了？要回答类似这个问题，必须了解分形(Fractal)的原理才行。其实这两个斜边，折了无穷次后，是一个分形的结构，和一条直线是大不相同的。现在，我们来了解一下分形的原理。 正文： 分形 (Fractal) ，又称“碎形”或“残形”。这种几何形状，对很多人而言，其实并不陌生，大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。自从20世纪80年代开始 [注一] ，“混沌 (chaos)”，“奇异吸引子 (strange attractors)”，“分形 (fractal)”, 还有与以上相关的许多新名词，如雨后春笋般呈现，且被人们所津津乐道。无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。 分形几何，有若干特性，例如“自相似性（self-similarity）”等等。本文由一个最耐人寻味的特性切入，那就是分形维数（Fractal Dimension）。并且，也借此讨论过程，得以对分形（碎形）有更深入的了解。
首先，众所周知，一般几何所用的维数，或维度 (Dimension) 是整数，如一 个点是0维，一条线段是1维，一个在平面上的几何图形是2维，如一个方形或一个圆形；再者，一个立方体或一个球形，则被视为3维。 然而，分形，却具有非整数的维数。这是怎么回事呢？为了解释清楚，我们 先看看一条线段（如图一）： 图一 如果我们把此线段分割一次，则 1n =，12N =，12 L ε= 式中 L 是一个常数， n 是分割的次数， n N 乃分割n 次后的总碎片数， n ε是分割n 次后的每一碎片的长度 第二次分割（每个线段再分割一次）： 2n =，2242N ==，22 42L L ε= = 第三次分割（每个线段再分割一次）： 3n =，3382N ==，3382 L L ε= =
分形几何
分形几何 一、欧氏几何的局限性 自公元前3世纪欧氏几何基本形成至今已有2000多年。尽管此间从数学的内在发展过程中产生了射影几何、微分几何等多种几何学，但与其他几何学相比，人们在生产、实践及科学研究中更多涉及到的是欧氏几何。欧氏几何的重要性可以从人类的文明史中得到证明。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系．这种观念与特定时期人类的实践。认识水平是相适应的，数学的发展历史告诉我们，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时，头脑中的囹象多是一些囫锥曲线、线段组合，受认识主。客体的限制，欧氏几何具有很强的“人为”特征。这样说并非要否定欧氏几何的辉煌历史，只是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。 进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。特别是～～战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了，如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究，等等。 美国数学家B， Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战，此外，在湍流的研究。自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。人类认识领域的开拓呼唤产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，在此，不妨称其为自然几何。 二、分形的产生 一些数学家在深入研究实、复分析过程中讨论了一类很特殊的集合（图形），如Cantor集、Peano曲线、KoCh曲线等，这些在连续观念下的“病态”集合往往是以反例的形式出现在不同的场合。当时它们多被用于讨论定理条件的强弱性，其更深一层意义并没有被大多数人所认识。 1975年，Mandelbrot在其《自然界中的分形几何》一书中引入了分形（fractal)这一概念。从字面意义上讲， fractal是碎块、碎片的意思，然而这并不能概括Mandelbrot的分形概念，尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义，但在数学上大家都认为分形有以下凡个特点： （1）具有无限精细的结构； （2）比例自相似性； （3）一般它的分数维大子它的拓扑维数； （4）可以由非常简单的方法定义，并由递 归、迭代产生等。 （1）（2）两项说明分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息．第（3）项说明了分形的复杂性，第（4）项则说明了分形的生成机制。图1中五条曲线自下而上，按图中所示的规律逼近Koch曲线。Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大，以欧氏几何的眼光来看，这种曲线是被打入另类的，从逼近过程中每一条曲线的形态可以看出分形四条性质的种种表现。以分形的观念来考察前面提到的“病态”曲线，可以看出它们不过是各种分形。 我们把传统几何的代表欧氏几何与以分形为研究对象的分形几何作一比较，可以得到这样的结论：欧氏几何是建立在公理之上的逻辑体系．其研究的是在旋转、平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积，其适用范日主要是人造的物体。而分形的历史只有20来年，它由递归、迭代生成，主要
分形几何的应用
分形几何的应用 分形几何是法国数学家芒德布罗在1975年将具有分数维数的图形，例如科赫曲线，称为分形，建立了以这类自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体为对象的数学新分支。分形几何作为一门新兴的学科已经开始逐渐发展，它的应用遍及哲学、数学、物理学、化学、地质学、水文学、气象学、天文学、地震科学、人口学、情报学、经济学、管理科学，甚至在电影、音乐、美术、书法等。下面介绍一些分形几何在当代社会中的应用。 在生命科学的研究中，科学家发现，细胞的分裂正是生物体分形的基础以及近几年来的研究表明，蛋白质的分子链具有分形特征，这就为揭开生命之谜提供了新的思维方法；而且分形在中医治病的病理中起着重要的作用，因为分形理论从人体分形着手进行分析，得出令人耳目一新的结论，以针灸为例，一个穴位是人体某一部分的缩影，是一个分形元，当人体的某一器官或部位有病时，就必然要在相应的穴位上表现出来，在穴位上产生对痛刺激敏感，皮肤电阻降低等病理生理反映，因此，对特定穴位施加刺激，就会产生治疗效果，这就是中医治病的病理分形性。 在实际工程问题中，如石油开采就可以利用分形理论进行研究则有可能大幅度地增产石油；而且分形理论为化学家深化对高分子地认识提供了有利的工具使得对凝胶形成的机理、凝胶点的确定、凝胶的生成的控制都有很好的作用。 芒德布罗经过研究不仅计算出英国西海岸线、澳大利亚海岸线、
南非海岸线、西班牙与葡萄牙的国界线的分形维数分别是1.25、1.13、1.02、1.14，还将分形应用于经济学，他测定出美国60年的棉花价格随时间变化的分形维数；在矿业应用方面，中国工程院院士谢和平教授将分形理论应用于岩石损伤力学的研究，提出了演示损伤的分形模型及演化机理；国际上的一些学者将分形应用于情报学，语言学和证券的变化进行深入的研究，得出了相应的分形维数，有了这些分形维数，专家们就可以预测出在该方面的一些结果，这有利于人类的进步。 近二十年来，国外许多大公司组织了大批科学家致力于分形的应用研究，取得了一批富有价值的成果，例如：根据分形几何原理合成了保温性能最佳的人造羽绒。分形在影视事业中也大有发展前途。20世纪80年代初，A.Fournier 将分形图形推向好莱坞影视业，致使分形在电影特技制作上大显身手，用于创作出效果奇佳的地球、宇宙中某特定地域、空间的“实景”或人世间从未有过的绚丽多彩、奇妙无比的景象。 由于分形通常是以非常简单的递归方式无穷次迭代而生成的，因此各种分形可以借助微型电子计算机编制一定的程序实现。分形的这种微机图形显示进一步帮助人们推开分形艺术宫殿的大门。 这些实例足以说明分形有强大的生命力，它对于人们认识自然界和人类社会中的某些现象的真实面貌是一个有利的数学工具。
基于分形几何的分形图绘制与分析
基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形
如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
分形几何学
2 分形几何学的基本概念 本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学 无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。 科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度 既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。 分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。
分形几何的数学基础
课程名称（中文）：分形几何的数学基础 课程名称（英文）：Mathematical foundation of Fractal geometry 一）课程目的和任务： 分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的，数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支，它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。主要内容包括：抽象空间，拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的（Hausdorff，packing及box－counting）维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧，从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。 二）预备知识：测度论，概率论 三）教材及参考书目： 教材：分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社 参考书目：1）Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970. 2）文志英，分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海，2000. 3）周作领，瞿成勤，朱智伟，自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度（第二版），科学出版社，2010。 四）讲授大纲（中英文） 第一章数学基础 1）集合论基础 2）函数和极限 3）测度和质量分布 4）有关概率论的注记 第二章豪斯道夫测度和维数 1）豪斯道夫测度 2）豪斯道夫维数 3）豪斯道夫维数的计算――简单的例子 4）豪斯道夫维数的等价定义 5）维数的更精细定义 第三章维数的其它定义 1）计盒维数 2）计盒维数的性质与问题 3）修改的计盒维数 4）填充测度与维数 5）维数的一些其它定义 第四章计算维数的技巧 1）基本方法 2）有限测度子集 3）位势理论方法 4）傅立叶变换法 第五章分形的局部结构
分形维数简介[开题报告]
毕业论文开题报告 数学与应用数学 分形维数简介 一、选题的背景与意义 由于计算技术和计算机图形学的进展，分形几何得到了速度的发展.分形这个名词Mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先将拉丁文Fractus转化后引入自然科学领域的. 在分形名词使用之前的一个世纪，一些数学家就研究过不少奇异的、不光滑的集合，如Weierstrass型函数、Cantor集、Peano曲线、Koch曲线、Sierpinski缕垫和海绵等.这些都属于规则的分形图形，它们是数学家按一定的规则构造出来的、具有严格的自相似性的分形图形，它们都属于自相似分形集. 1913年Perrin对变换无穷的布朗运动轨迹进行了深入的研究，明确指出布朗运动轨迹不具有导数.自然界的许多事物也具有不光滑性和不规则性.它们和几何学中的规则图形是不同的，这表现在对它们进行测量时，其被测值的大小一般随测量尺寸的变化而发生着变化，在一定测量范围内两者存在着幂函数关系.为了测量这些集合，1915年豪斯道夫引入了豪斯道夫维数的概念，这类统计自相似性图形和曲线的豪斯道夫维数一般都不是整数，而是一个分数值.20世纪20年代到70年代，维数理论得到了进一步的发展，引入了多种不同定义的维数使分形理论初具雏形.但这些研究大多局限于纯数学领域，基本上没有在其他学科中得到应用. Mandelbrot在1988年出版了《Fractal： Chance and Dimension》一书，1982年又出版了《The Fractal Geometry of Nature》一书.在这两本书中他将分形的理论及应用推动道一个全新的阶段.在这个阶段中分形理论本身得到迅速的发展、并得到科学界的广泛重视，同时在物理学、化学、生物学、地学、材料科学、表面科学、纳米科学乃至经济学等广泛的领域得到了应用． “世界是非线性的”，分形无处不在.分形学科的诞生，使得我们重新审视这个世界.当人们用分形的观点重新审视自然物时，发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构. 而分形维数是描述分形最主要的参量.它反映了复杂形体占有空间的有效性和复杂形体不规则性的量度.它不仅在理论上，而且在实际上都具有着重要的价值.
分形和分形维数及其在多孔介质研究中的应用
分形和分形维数及其在多孔介质研究中的应用 华北科技学院常浩宇 1 分形、分形几何学和分形维数 1.1 分形 分形是指自然界中的一些形体，它们具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次，也就是说适当的放大或缩小事物的几何尺寸，整个结构并不改变。 一些经典的分形如： 一、三分康托集 1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集，或称康托尔集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程 三分康托集的构造过程 构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。 二、Koch 曲线 1904年，瑞典数学家柯赫构造了“Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线也有很多种，比如三次 Koch 曲线，四次 Koch 曲线等。下面以三次 Koch 曲线为例，介绍 Koch 曲线的构造方法，其它的可依此类推。 Koch 曲线的生成过程
三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如右图所示(迭代了 5 次的图形)。 自然界中如生长得枝枝岔岔的树木,高低不平的山脉,弯弯曲曲的河流与海岸线。棉絮团状的云烟和冬天里美丽的雪花等都可以看成是分形结构。 1.2 分形几何学 研究分形的几何学称为分形几何学。 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。 1.3 分形维数 fractal dimension主要描述分形最主要的参量。简称分维。通常欧几里德几何中，直线或曲线是1维的，平面或球面是2维的，具有长、宽、高的形体是3 维的；然而对于分形如海岸线、科赫曲线、射尔宾斯基海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述。科赫曲线第一次变换将1英尺的每边换成3个各长4英寸的线段，总长度变为 3×4×4/3=16 英寸；每一次变换使总长度变为乘以4/3，如此无限延续下去，曲线本身将是无限长的。这是一条连续的回线，永远不会自我相交，回线所围的面积是有限的，它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内，确实是占有空间的，它比1维要多，但不及2维图形，也就是说它的维数在1和2之间，维数是分数。同样，谢尔宾斯基海绵内部全是大大小小的空洞，表面积是无限大，而占有的 3 维空间是有限的，其维数在2和3之间。 维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。 分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。 当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中
第6讲分形几何学
实用标准文案 第6讲分形几何学 主要内容： 一、概述 二、分维的测定方法（重点内容） 三、分维应用实例（重点内容） 四、问题讨论 一、概述 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念 （1）整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。 在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。 然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。 例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分
分形几何无处不在
分形几何无处不在 【摘要】本文详细阐述了“什么是分形几何”的问题。并举海岸线、地表、河流、人脑表面、植物、星球分布、收入分布、股票价格的变动分布等例说明大自然中分形无处不在。介绍了分形的非均匀性、自相似性、重尺度性三个性质，最后总结出分形具有良好的发展潜质。 【关键词】分形几何；比较；定义；自然；性质 一、什么是分形几何 曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）满足下式条件: ()dim() 的集合A，称为分形集。其中，() Dim A为集合A Dim A A 的Hausdoff维数（或分维数），dim()A为其拓扑维数。一般说来，() Dim A不是整数，而是分数。 （2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 （i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 （ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 （iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 （iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 （v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。 二、分形几何的性质 分形几何形态有哪些性质呢?概括说来，通常有3个特性：1．非均匀性；2．自相似性；3．重尺度性。问题的关键是它改变了人们对物体的测度观。过去人们习惯于用欧氏测度研究图形，它研究的图形是能用圆规和规尺画的简单图形，这样的图形是光滑的牛顿以后，微积分学和几何学的结构，人们可以描述复杂的形状，但这些形状的重要特征是具有特征长度．是平滑的，可微分的。分形几何研究的是更为复杂的圆形，它没有特征长度，不平滑，不可微分。
分形几何与传统几何相比有什么特点
分形几何与传统几何相比有什么特点： ⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。 ⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。分形一般有以下特质： 在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述；（至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；有著简单的递归定义。 （i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 （ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 （iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 （iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 （v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。分形的特点是整体与局部具有自相似特性，而全息则是整体的特征包含在局部之中，每一个局部都可以上升为相似性的整体，所以，分形可以看作是全息的一部分。 分形的自相似在概括分形的特性上似乎有局限性，但已经将分形具有的特征表达出来了。严格的说，这种自相似是一种层次化的自相似，而分形的概念就可以表达为：物体存在形式上的有序层次化的自相似特征。
简单分形维数的探究
简单分形及维数的研究 （河南大学，物理与电子学院，物理学，河南开封，475004）摘要：本文介绍了分形、维数的相关知识，并以简单分形做例子进行了演示，又求得了Sierpinski三角分形及埃侬映射的维数。 关键词：分形，维数，程序设计。 一、分形 分形（fractal）是指由各部分组成的形态，每个部分以某种方式与整体相似。对这一描述加以引伸，它可以包括以下含义： 分形可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”架起的数理模型；分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性。 分形的创建历史： (1)曼德勃罗在美国《科学》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长》震惊学术界(1967 年)。 (2)法兰西学院讲演报(1973年)。 (3)“病态”“数学怪物”命名——分形(Fractal)(1975年)。 (4)法文版《分形对象：形、机遇和维数》出版(1975年)。 (5)英文版《分形：形、机遇和维数》出版(1977年)。 (6)英文版《大自然的几何学》出版(1982年) 。 分形是由Mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程而引入自然领域的。原意是破碎的、不规则的物体。分形分为两类，规则分形，又称决定类的分形，它是按一定的规则构造出的具有严格自相思的分形；另一类是无规则的分形，它是在生长现象中和许多物理问题中产生的分形，其特点是不具备严格意义上的自相似，只是在统计意义上是自相似的。本文研究的是规则分形。 有以上可知，自相似性是分形最大的几何特征。下面我们就科赫曲线和Sierpinski对此进行讨论。 1、科赫曲线 科赫曲线的生成方法：把一条曲线三等分，中间的一段用夹角为60的折线替代，得到第一个生成元；把第一个生成元中的每一条直线都用生成元迭代，得到第二个生成元；经过无数次迭代，即可得到科赫曲线。 实现程序如下： s=[0,1];t=[0,0];n=8; for j=1:n
分形几何及其应用简介(精)
分形几何及其应用简介 课程号：06191280 课程名称：分形几何及其应用英文名称：Fractal Geometry and its Applications 周学时：3-0 学分：3 预修要求：实变函数，概率论 内容简介： 分形几何学是由法国数学家B.B.Mandelbrot在20世纪70 年代创立的。“分形（fractal）”一词，也是由他提出，它来源于拉丁语“fractus”，含有“不规则”或“破碎”之意。与描述规则形状的欧几里德几何不同，分形几何研究一类非规则的几何对象，并为研究这些对象提供了思想、方法、技巧等。作为应用，它可以构造从植物到星系的物理结构的精确模型，而这是传统几何无法做到的。可以说，分形几何是一种“新”的几何语言。 选用教材或参考书： 教材：《分形几何---数学基础与应用》，谢和平等编（重庆大学出版社） 参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press, (1985) 《分形与图象压缩》，陈守吉等编（上海科技教育出版社）
《分形几何及其应用》教学大纲 一、课程的教学目的和基本要求 《分形几何及其应用》课程主要是面向数学系学生开设的一门选修课，总学时数为48，一个学期完成，学分3分。 通过本课程的教学，使学生掌握分形几何中的基本概念、基本方法并熟识基本理论；会应用基本理论考察自然现象的分形本质，计算分形维数，在图象压缩方面有初步的应用。 二、相关教学环节安排 1，每周布置作业，作业量2---3小时。 2，每章结束安排习题课，讲解习题。 三、课程主要内容及学时分配 每周3学时，上课时间共16周。 主要内容： （一）预备知识（3学时） 1，基本集合和测度理论 2，概率论知识 3，质量分布 （二）Hausdorff 测度与维数（6学时） 1，Hausdorff 测度 2，Hausdorff 维数 3，Hausdorff 维数计算的例子 4，Hausdorff 维数的等价定义 5，习题课 （三）维数的其他定义（6学时） 1，盒计数维数 2，盒计数维数的性质和问题 3，修正盒计数维数 4，另外一些维数定义 5，习题课 （四）维数计算方法（9学时） 1，基本方法 2，有限测度子集 3，位势理论方法 4，Fourier变换方法 5，习题课 （五）分形集的局部结构（6学时） 1，密度 2，1-集的结构 3，s-集的切线 4，习题课
分形维数
分形维数 原理简介 fractal dimension 描述分形最主要的参量。简称分维。通常欧几里德几何中，直线或曲线是1维的，平面或球面是2维的，具有长、宽、高的形体是3 维的；然而对于分形如海岸线、科赫曲线、射尔宾斯基海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述。科赫曲线第一次变换将1英尺的每边换成3个各长4英寸的线段，总长度变为3×4／3＝4 英尺；每一次变换使总长度变为乘以4／3，如此无限延续下去，曲线本身将是无限长的。这是一条连续的回线，永远不会自我相交，回线所围的面积是有限的，它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内，确实是占有空间的，它比1维要多，但不及2维图形，也就是说它的维数在1和2之间，维数是分数。同样，谢尔宾斯基海绵内部全是大大小小的空洞，表面积是无限大，而占有的 3 维空间是有限的，其维数在2和3之间。 详细内容 计算分形维数的公式如图，式中ε是小立方体一边的长度， N （ε）是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目，维数公式意味着通过用边长为ε的小立方体覆盖被测形体来确定形体的维数。对于通常的规则物体，覆盖一根单位长度的线段所需的数目要 N （ε）＝1／ε2，覆盖一个单位边长的正方形，N(ε)＝（1／ε）2 ，覆盖单位边长的立方体，N （ε）＝（1／ε）3。从这三个式子可见维数公式也适用于通常的维数含义。利用维数公式可算得科赫曲线的维数d＝1.2618，谢尔宾斯基海绵的维数d＝ 2.7268。对于无规分形，可用不同的近似方法予以计算，也可用一定的适当方法予以测定。分维反映了复杂形体占有空间的有效性，它是复杂形体不规则性的量度。
分形与分形维数
分类号O469 学校代码10495 ＵＤＣ530 学号0145023006 武汉科技学院 硕士学位论文 无序系统中的分形生长研究 作者姓名：田志华 指导教师：田巨平教授 学科门类：工学 专业：机械设计及理论 研究方向：分形与多孔介质 完成日期：二零零七年四月
Wuhan University of Science and Engineering M. S. Dissertation The study of fractal growth in disorder system By TIAN Zhi-hua Directed by Professor TIAN Ju-ping April 2007
独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解武汉科技学院有关保留、使用学位论文的规定。特授权武汉科技学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 （保密的学位论文在解密后适用本授权说明） 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日签字日期：年月日
论文题目：无序系统中的分形生长研究 专业：机械设计及理论 硕士生： 指导老师： 摘要 本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿 (DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。 本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo 方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚（DLA）生长。根据“种子”设置的不同情况，采用DLA模型，通过计算机模拟获得了两种Sierpinski地毯在不同“种子”情况下DLA生长的斑图结构，计算他们的分形维数，获得多重分形谱，并得到下列主要结论。 (1)“种子”为点的情况:我们发现不同空间中DLA生长的斑图结构有着差别：欧氏空间中DLA生长的斑图结构具有明显的空间对称性，而两种Sierpin- ski地毯中DLA生长的斑图结构都存在空间对称性破缺。不过由于Ⅱ型地毯的空间结构要比Ⅰ型地毯的空间结构更具有对称性，故两种Sierpinski地毯中DLA生长的斑图结构的对称性破缺程度不一样。Ⅱ型地毯中DLA生长的斑图结构仍还具有类十字结构的特点，而Ⅰ型地毯中DLA生长的斑图结构不存在类十字结构。Ⅰ型地毯DLA生长的α ?(多重分形谱谱宽)要比Ⅱ型Sierpinski地毯DLA生长的α ?小很多,表明Ⅰ型地毯DLA生长的质量分布要比Ⅱ型地毯DLA生长的质量分布均匀；0 ?f(多重分形谱的最大、最小概率子集维数之差)意味 > 着最大概率子集占据主导地位 (2)“种子”为线种的情况:虽然两种Sierpinski地毯的斑图结构有所不同， ?要比Ⅰ但是他们的DLA生长的斑图结构具有相似性。Ⅱ型地毯DLA生长的α 型地毯DLA生长的α ?小很多,表明Ⅱ型地毯DLA生长的质量分布要比Ⅰ型地毯DLA生长的质量分布均匀；0 > ?f意味着最大概率子集占据主导地位。 本文还采用孔洞位置随机化的方法构造的随机Sierpinski地毯，并给出随机Sierpinski地毯中DLA生长的斑图结构。
PIM粉末颗粒的分形特征及其分形维数
文章编号:1004-132(2003)05-0436-04 P I M 粉末颗粒的分形特征及其分形维数 郑洲顺 副教授 郑洲顺 曲选辉 摘要:分析了粉末注射成形几种常用粉末颗粒形状、投影边界、表面的分形特征。介绍了一种适用于粉末颗粒的分维测量方法。根据扫描电镜图 片,用“数盒子”法测算了羰基铁和羰基镍粉投影边界图形的分形维数,它们分别在1.068～1.080、1.225～1.235之间,说明羰基镍粉末颗粒的形状特征有可能用Koch 曲线分形性质来进行描述和分析。分形理论的引入可为研究粉末注射成形提供更准确的定量描述原料特征的方法,为粉末注射成形过程的控制提供了更精确的工艺参数。 关键词:粉末注射成形;粉末颗粒;分形;分维测量方法中图分类号:T F 12 文献标识码:A 收稿日期:2002—06—20 基金项目:国家重点基础研究发展规划项目(G 2000067203);国家杰出青年科学基金资助项目(50025412);高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(99053310) 粉末注射成形(pow der in jecti on m o lding ,P I M )是传统粉末冶金技术与现代塑料注射成形技术相结合而产生的一门零部件近净形成形新技术。由于其在制作几何形状复杂、组织结构均匀、高性能的近净形产品方面具有独特的技术和经济优势而倍受瞩目,被誉为“当今最热门的零部件成 形技术”[1] 。粉末特性和粉末颗粒形状对P I M 工艺有很大的影响。当颗粒形状不规则时,成形坯在脱脂后能较好地保持其形状,但配位数和成形坯密度都因颗粒不规则而降低[2]。实际粉末粒度和形状都有一定的分布,还经常存在着模型堆积中有没有团聚或粘结效应的问题,因此精确描述粉末特性是相当困难的。目前对粉末特性的描述大都是定性分析,定量分析采用的是经典Euclid 几何学概念和测度。然而,粉末颗粒边界、颗粒的表面、颗粒形状等特性并不是经典Euclid 几何学的光滑线、面、体,其边界复杂、表面粗糙,具有相当精细的结构。 1 粉末颗粒形状的分形特性 P I M 粉末的粒径一般在20L m 以下,相对散 装密度为理论密度的0.3～0.8,一般在0.6左 右。粒度分布宽有助于堆积,因为不同粒度的颗粒混合使得颗粒更好地填充。注射成形所需的最佳固体粉末含量与粉末特性、粒度分布、颗粒形状、 颗粒间摩擦和团聚有关[2]。扫描电镜是观察粉末颗粒分散特征的最好工具之一。图1所示是用不同方法制成的4种不同金属粉末的扫描电子显微镜照片。可以看出粉末颗粒的边界复杂、 表面粗 (a )羰基镍粉 (b ) 氧化物还原钼粉 (c )气体雾化钢粉 (d )等离子法制得的钨合金粉 图1 用于粉末注射成形工艺中的几种典型粉末的扫描电镜照片 糙,具有相当精细的结构,各种粉末的颗粒形状具 有明显的自相似性。用传统欧氏测度来描述粉末颗粒的特性,实际上忽略了许多重要的细节,从而也就抹掉了许多重要的信息。M andelb ro t [3]从20世纪60年代起就注意到像海岸线这样复杂的曲线,提出分形几何学来描述和研究这些形态极不规则或极为破碎的几何对象。近20多年来,分形理论及其应用的发展十分迅速,覆盖的学科十分 ? 634?中国机械工程第14卷第5期2003年3月上半月
分形拓扑几何学
欧几里德几何学、分形拓扑几何学与设计 经典几何学对自然界形体的描述是概括的，不近似的，不精确的。它把复杂的山型近似为圆锥，把复杂的树冠近似为圆锥，把复杂的人头近似为球形等等。然后以这些基本形（方、圆、锥、柱、环等）为基础，通过它们的叠加与组合，来描述更复杂的自然界形体。 这种描述在不需要精确的领域是可以接受的，如果要求被描述的形体足够精确，采用这种方法就不能很好的满足要求了。另外，对于一些非常复杂的形状，如云形，雪花等，这种方法显得力不从心。 为了能够对复杂的自然形体进行比较精确的描述，Mandelbrote提出了分形的概念。分形的方法可以对自然形体比经典几何学进行更精确的描述。这种描述是动态的，是建立在自然形体是自相似原理基础上的。当然，分形的描述也不是与自然形体100％的符合。任何描述都具有概括或抽象的概念。 比较经典几何学与分形，发祥它们对自然形体描述的差别在于：经典几何学是以静态的方式来描述形态，这种描述方法具有数据量大的特点；分形几何学是以动态、生成的方式来描述形态，这种方式具有可以根据要求来不断提高被描述形态的精确度，数据量比较小。 事实上，这两种对自然界形态描述的方式背后存在着基本观念的差异。经典几何学认为世界是构成的，因此可以将世界分解成很多基本
几何要素，然后根据一定的规律建构起来；分形几何学认为世界是生成的，复杂的世界形态是在时间的流逝中不断演化生成的。 建立在构成论的基础上的数学，是静态的描述数学；建立在生成论的基础上的数学，是动态的描述数学。 静态的数学中，没有时间变量；动态的数学中，存在时间变量，尽管有时它不是以时间的含义出现（比如迭代的次数，在本质上，就是时间变量）。 分形对形态的描述精度，是通过单位面积中留下的间隙或密度来衡量的。如果留下的间隙越小或密度越大，则描述的精确度越高。 经典几何学是通过距离来描述精确度的。距离越小，精确度越高。 在经典几何学下，艺术家创造形体的方式是描绘式的，不论是通过一点透视，还是通过多点透视的方法来画出的画面，本质上都是描述式的。不论再现式的绘画（以对自然的如实描写为主，通过具体的形象来表达艺术家内心的情感），还是表现式的绘画（不是以对自然的如实描写为主，而是以表现内心情感的为主，通过抽象的、随意的形象来表达），都是一种建构画面的表达方式。在分形几何学下，艺术家