常微分方程的MATLAB求解

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14.3 高阶线性微分方程
1.线性微分方程解的结构
是 在 n 阶微分方程 中, 若 的一次有理整式,则称此方程为 n 阶线性微分方程。一般形式可写成: 线性微分方程解的结构定理: 如果 是方程 的n个线性无关的解,则该方程的通解为 其中 是任意常数。 设 是方程 是对应的齐次线性方程的通解,则 是上述方程的通解。 若 和 分别是方程 与 的特解,则 是方程 的特解
4.可降阶的高阶微分方程 型的微分方程:微分方程 的右端仅含有自变量 x ,容易看出,只 要把 作为新的未知函数,那么微分方程 即化为新未知函数 的一 阶微分方程,两边积分,就得到一个 阶的微分方程 同理可得 依此法继续进行,接连积分 n次,便得到方程 的含有 n 个任意常数的通解。 型的微分方程:方程的右端不显含未知函数 y。如果我们设 ,那么
2.齐次方程
程。
如果一阶微分方程可化成
的形式,那么就称这方程为齐次方
3.一阶线性微分方程
线性方程:方程 叫做一阶线性微分方程因为 它对于未知函数y 及其导数是一次方程。如果 , 则上述方程称为齐次的;如果 , 则上述方程称为非齐次的。为了求出非齐次线性方程的解,我们先把 换成 零而写出方程 该方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程。齐次线性方 程的通解为 伯努利方程:方程 时,该方程是线性微分方程,当 可把它化为线性的 非齐次线性方程的通解为 叫做伯努利(Bernoulli)方程。当 时,该方程不是线性的,但是通过变量的替换,便
因此,方程 ,设其通解为
就成为 ,又
,这是一个关于变量 的一阶微分方程 因此又得到一个一阶微分方程
对它进行积分,便得到方程 的通解为 型的微分方程:方程中不显含自变量x ,为了求出它的解,我们令 ,并利用复合函数求导法则把 化为对 的导数,即 这样,方程 ,设它的通解为 就成为 这是一个关于变量 分离变量并积分,便得方程 的一阶微分方程 的通解为
略去上式中的 ,得 , 的1个近似值 ,则由上式可得 可依次求出
考虑到
,设已求得

。称上式即为求解初值问题的Euler公式。
2. Runge-Kutta法及其MATLAB实现
考虑微分方程 ,由Lagrange微分中值定理,存在 ,使得
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于是,由 得 记 ,则称 为区间 上的平均斜率。这样,只要给 出了 的一种算法,就可以得到求解微分方程初值问题的一种计算公式。显然,显式 Euler公式就是以 作为平均斜率 的近似。
其中 和 都是给定的值,上述这种条件叫做初始条件。 确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解。求微分方程 件 的特解是这样一个问题,叫做一阶微分方程的初值问题,记作
满足初始条
微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线。
14.2 几种常用微分方程类型
1.可分离变量的微分方程
一般的,如果一个一阶微分方程能写成 的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含 的函数和 ,另一端只含 ,那么原方程就称为可分离变量的微分方程。 的函数和
14.6 边值问题的数值解
1.打靶法
打靶法也称为试射法,其基本思想是把边值问题作初值问题来求解,从满足 左端边界条件的解曲线中寻找也满足右端边界条件的解。
线性方程边值问题的打靶法:
考虑如下给出的二阶线性边值问题 该边值问题的打靶法求解过程可以由如下步骤完成:(1)计算下面齐次微分方程在区间 上的数值解 , ,初值条件: ;(2)计算下面齐 次微分方程在区间 上的数值解 , ,初值条件: ;(3)计算下面初值问题在区间 ,初值条件 : 计算 题的数值解 上的数值解 , ;(4)若
的一个特解,
2.常系数线性微分方程的MATLAB符号求解
MATLAB中提供了dsolve函数求解微分方程(组)。该函数允许用字符串的形式描述微分方 程及初值、边值条件,最终将给出微分方程的解析解。
14.4 一阶微分方程初值问题的数值解
1.欧拉法及其MATLAB实现
对于一阶微分方程的初值问题 ,若要求其数值解,我们可以采用 离散化方法。在求解区间 上取一组节点: 称 为步长。为简单起见,仅考虑等距步长 ,即 将方程 的两端在区间 上积分,得到 即 应用左矩形公式 : ,则有
经典四阶Runge-Kutta方法的迭代公式:
14.5 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解
1. 一阶微分方程组
前面研究的是求解单微分方程 的数值解法,对于微分方程组,只需将y 理解成向量, 理解成向量函数,那么对前面研究过的各种计算公式即可用到一阶 微分方程组上来。
2. 高阶微分方程
对于高阶微分方程组的数值求解,首先应将其变换成一阶显式常微分方程组。其具体 转换方法如下:(1)将微分方程的最高阶变量移到等式的左边,其他移到右边,并按阶次 从低到高排列,(这里以两个高阶微分方程的转换为例)假设两个高阶微分方程最后能够 显式的表达成下述形式: (2)为每一阶微分式选择状态变量,最高阶除外
(3)根据(2)中选用的状态变量,写出所有状态变量的一阶微分的表达式 最后,对初值进行相应的变换,就可以得到所期盼的一阶微分方程组了。
3.微分方程组的MATLAB求解函数
MATLAB提供了一系列的函数来求解微分方程组,包括ode系列函数,另外还提供了 几类特殊的微分方程的求解函数,例如ode15s,ode15i等。
第14章 常微分方程的MATLAB求 解
编者
Outline



14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6
微分方程的基本概念 几种常用微分方程类型 高阶线性微分方程 一阶微分方程初值问题的数值解 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解 边值问题的数值解
14.1 微分方程的基本概念
微分方程:一般的,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微 分方程,有时也简称方程。 微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶 微分方程的解:找出这样的函数,把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数 就叫做微分方程的解。 微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同,这样的解叫做微分方程的通解。 初始条件:设微分方程中的未知函数为 ,如果微分方程是一阶的,通常用来确定任 意常数的条件是 时, 或写成 其中 都是给定的值;如果微分方程是二阶的,通常用来确定任意常数的条件是
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