高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题

一、计算题 1

．求

9

解 原积分

=555

51155=

=

3522(1)15x c + 2．求1120(1)(12)lim

sin x

x

x x x x

→+-+

解 由洛比塔法则，

原极限=11

2220(1)ln(1)12(12)ln(12)lim (1)(12)(1)2(12)x x

x x x x x x x x x x x x x →??-++-+++-+??++??

而20

(1)ln(1)1lim

(1)2x x x x x x →-++=-+

2012(12)ln(12)

lim 12(12)

x x x x x x →-++=-+ 2

e

∴原极限=

3．求p 的值，使

2

2007() ()0b

x p a

x p e dx ++=?

解：当取p 满足()a p b p +=-+即2

b a

p +=-

时 积分

2

2

2

2007()2007200722

()

0b a b

b p

x p x x b a a

a p

x p e

dx x

e dx x e dx -++-+-+===?

?

?

4．设(,)x ?∈-∞+∞，''()0f x ≥，且2

0()1x f x e -≤≤-，求()f x 的表达式 解：由条件'()f x 单调增。且(0)0f =

易知'()0f x ≡，若不然，不妨设0x ? 0'()0f x >则当0x x >时

0000()()'()'()()'()x x

x x f x f x f x dx f x dx x x f x -=≥=-→+∞??

矛盾'()0f x ∴≤ 同理可让'()0'()0f x f x ≥?≡()(0)0f x f ∴≡=

'A

'B 5．计算2

()

s

x y dS

+

??，其中S为圆柱面224

x y

+=，（0≤z≤1）

解：Q S圆柱面关于y对称，且y是奇函数

∴原积分=2222

1

()248

2

s s s

x ds y ds x y dsππ

==+=?=

??????

二、设

12112112

1

2345632313

n

u

n n n

=+-++-+++-

--

L

111

123

n

v

n n n

=+++

++

L

求（1）10

10

u

v

（2）lim

n

n

u

→∞

解：

11

1121113

()(

32313323133

n n

n

k k

U

k k k k k k k

==

=+-=++-

----

∑∑

11

1111111

()

32313123

n n

n k k

V

k k k k n n n

==

=++-=+++=

--++

∑∑L

（1）

10

10

1

U

V

=（2）

22

11

111

1

n n

n

k k

U

k

n k n

n

==

==

++

∑∑

2

1

lim ln3

1

n

x

U dx

x

→∞

∴==

+

?

三、有一张边长为4π的正方形纸（如图），C、D分

别为'

AA、'

BB的中点，E为'

DB的中点，现将纸卷

成圆柱形，使A与'A重合，B与'B重合，并将圆柱

垂直放在xoy平面上，且B与原点O重合，D落在Y轴

正向上，此时，求：

（1）通过C，E两点的直线绕Z轴旋转所得的旋转曲

面方程；

（2）此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所围成的立体体积。解：圆柱面为{}

22

:(,,)|(2)4,04

S x y z x y zπ

+-=≤≤

D点坐标为（0，4，0），E点坐标可取为（2，2，0）

（1）C点坐标为（0，4，4π）过C，E两点的直线方程为

22

224

x y z

π

--

==

-

∴放转曲面方程222

2

1

8

2

x y z

π

+=+

（2）旋转曲面在xoz 的投影曲线方程为2

22

182x z π

=+

∴4232

116(8)3223

V z dz π

ππππ=+

=+

? 四、求函数2222

(,,)x yz

f x y z x y z

+=++在{}

222(,,)|14D x y z x y z =≤++≤的最大值、最小值。

解：(,,)f x y z 在D 的最大、最小值即为2

(,,)g x y z x yz =+在 {}

222'(,,)|1D x y z x y z =++=的最大、最小值

2222

2

1

1222

y z x x yz x ++≤+=+≤，而(1,0,0)1g =，即最大值为1 2222

2

3112222

y z x x yz x ++≥-=-≥-

，而1(0,222g -

=-即最小值为12

-

五、 求11

lim

(1)n

k

n

n k n k nC

-→∞

=??+-??∑

解：111(1)(1)(1)()()!

k

k k n n n n n n k C n k C nC k -----+=

∴+-=L k

1

111221

1

1

1

112(1)[]n

n n k k

n

n k k k n k nC

n C

n n n n -------===??∴

+-=+<+

∴原极限=0

六、（满分15

分）证明：2x ≤-

(0,

)4

x ∈

证明：22()(1x f x x ≤-?≡≤

(0)1f =Q

∴

只须证32

'()((20f x x x =++

<

同理'()0()20f x g x x

且3

'()1)0g x =--<

∴当(0,

)4

x ∈时，()0g x <，即'()0f x <，()1f x ∴<得证