2014年量子力学知识点总结材料

量子力学期末复习完美总结

一、 填空题

1．玻尔-索末菲的量子化条件为：

pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，

2．德布罗意关系为：h

E h p k γωλ

==

=

=； 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：

21

2

mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2

r t ψ

，代表t 时刻，粒子在

空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。

5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为：1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。

8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即

()m n

mn

d d λλφφτδ

φφτδλλ**

''==-⎰⎰或 。

9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+围的几率。

10. i ； ˆx

i L ； 0。 11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。

12．坐标和动量的测不准关系是： ()

()

2

2

2

4

x x p ∆∆≥

。

自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子

__角动量__守恒

13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA

不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。

14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

15． 为氢原子的波函数， 的取值围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。

16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2

n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的

耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。

17．设体系的状态波函数为

，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为：

ˆF

ψλψ=。 18．力学量算符 在态 下的平均值可写为 的条件为：力学量算符的本征值组成分立谱，并且()r ψ是归一化波函数。

19．希尔伯特空间：量子力学中Q 的本质函数有无限多个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。 20．设粒子处于态 ，

为归一化波函数， 为球谐函数，则系数c ， 的可能值为：13， 本征值

为 出现的几率为：

1

2

。 21．原子跃迁的选择定则为：101l m ∆=±∆=±；， 。

22．自旋角动量与自旋磁矩的关系为：S e M S μ

=-

；

式中S M 是自旋磁矩，S 是自旋角动量，e -是电子的电荷，μ是电子的质量。

23．

为泡利算符，则

=2ˆσ 3 0 ，ˆ2z i σ。

24． 为自旋算符，则

2

34

， 0 ，ˆz

i S 。

25．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是:

（1）每个电子具有自旋角动量ˆS

，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值：1

2

z s =±

；（2）每个电子具有自旋磁矩S M ，它和它的自旋角动量S 的关系式是：

S e

M S μ

=-，式中e -是电子的电荷，μ是电子的质

量。S M 在空间任意方向上的投影只能取两个数值：

2z S B e

M M μ

=±

=±。 26．轨道磁矩与轨道角动量的关系是：2L e

M L μ

=-

。 27．证明电子具有自旋的实验有：斯特恩-革拉赫实验。 28．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_反对称性__，玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____对称性_____。

29． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为

（已归一化），则在态 下，自旋算符 对自旋的平均可表示为：

()111211221222ˆG G G G G G ψψψψψψ+

**⎛⎫⎛⎫==

⎪⎪⎝⎭⎝⎭

，，，；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为:ˆG G d ψψτ+=⎰

。

30． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为

（已归一化），则 的意义为:表示在t 时刻，在（x,y,z ）点周围单位体积找到自旋1

2

z s =

的电子的几率。 _1__。

31.量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__；算符

是希尔伯特空间的__算符__。

力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的 32、2

),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。

33、dr r r 2

2

),,(⎰

ϕθψ表示 在r —r+dr 单位立体角

的球壳发现粒子的几率 。

34、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波

函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。

二、 问答题

1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。

(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)

答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。

2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？

答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频

率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率

0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s

-≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完

成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。

3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态