山西师范大学研究生试题

高等代数

2010年

一 (20分) 证明:设()()()()11,,,,,m n f x f x g x g x ??????是数域P 上的多项式,

证明: ()()()()11(,,,,,)1m n f x f x g x g x ??????=的充分必要条件是()()

(),1i j f x g x =,其中

1,,,1,,i m j n =???=???

二(20分) 计算n 阶行列式0001

00010

00000

n a b ab a b ab a b D a b ab ab

a b

+++=

++

三(20分) 设A 为n n ?矩阵,证明:存在一个n n ?非零矩阵B 使得0AB =的充分必要条件是0A =

四(25分) 把二次型()2

2

2

2

12341234122334,,,222f x x x x x x x x x x x x x x =++++++化为标准

型,写出所做的可逆线形变换.

五(20分) 设12,V V 是线性空间V 的两个非平凡子空间,证明: 1V V ?也是的子空间的充分必要条件是12V V ?,或者. 21V V ?

六(30分) 设矩阵324262423A --????=--????--??

(1) 求矩阵A 的特征值与特征向量: (2)求一可逆矩阵T ,使1

T AT -成对角形.

七(15分) 设V 是维欧几里得空间,证明:如果

12,V γγ∈,使对任一V α∈有

()()12,,γαγα=,则12γγ=

2009年

一(20分) 设()()(),,f x g x d x 是三个多项式,证明:

()()()(),f x g x d x =的充分必要条

件是

()()()(),d x d x f x g x ,且()()()(),1f x g x d x d x ??

= ? ???

,其中()()(),f x g x 表示()f x 和()g x 的首项系数为1的最大公因式, ()d x 的首项系数为1 .

二(30分) 当参数,a b 为何值时,方程组12341

2342

123431

2340230

490827x x x x x x x ax x x x a x x x x a x b

+++=??+++=??+++=??+++=?无解?有唯一解?有无穷多解?并在有无穷多个解时求出全部解.(即一般解或通解)

三(15分) 设,A B 为n n ?矩阵,证明:如果0AB =,那么秩()A +秩()B n ≤

四(30分) 设二次型222

123121323224f x x x ax x x x bx x =+++++通过正交变换化为标准型22

23

2f y y =+,求参数,a b 的值及所用的正交变换. 五(20分) 设22

V P

?=为数域P 上的22?全体矩阵构成的线形空间.证明:

11000α??=

?

??

,21100α??= ???,31110α??= ???,41111α??= ???为线性空间V 的一组基.求1234β??

= ???

在这组基下的坐标(写成列向量的形式)

六(20分) 在n 维线形空间V 中,设有线性变换A 和向量0ξ≠,使得10n A ξ-≠,但10n A ξ-=,证明: (1)

1,,,n A A ξξξ- 线形无关

(2) 线性变换A 在某组基下的矩阵是0000100001000010??

????

??????????

七(15分) 设,A B 都是n 阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵T 使1

T AT B -=的充分必要条件

,A B 是的特征多项式的根全部相同.

2008年 一

(20

分

)设

()()

,f x g x 是数域

P

上的两个多项式,,,a b c d P

∈,()()()1f x af x bg x =+,

()()()

1g x cf x dg x =+,

()()(),,1ad bc f x g x ≠=证明()()()()111,1f x f x g x +=

二(20分) 计算()()1f x f x +-,其中()23231231_

1

111

100001

2000133001

11n n n

n

n

n n n n n x x x f x n

C C C x n C C C x --++++=

+

三(20分) 设n 阶方阵A 满足2

460A A E --=,其中E 是单位矩阵,证明: A E +可逆,并求

其逆矩阵.

四(30分) 把二次型()222

1231231223,,34544f x x x x x x x x x x =+++-化为标准型,写出所做的

可逆线性替换,并判别其是否正定. 五(20分) 在n

R 中,记子空间,

{(){}

11

2

1

2

,,,|0

n

n W x x x R x x

x =∈+++= ,

{(){}

21

2

1

2,,,|n

n W x x x R x

x x =

∈=== 证明: 12n R W W =⊕

六(30分) 设123,,εεε是数域P 上三维线性空间V 的一组基,线性变换σ在这组基下的矩阵

为: 142034043A ??

??=-??????

(1) 求σ的特征值与特征向量;

(2) 求一可逆矩阵T ,使1

T AT -成对角形.

七(10分) 设σ为维欧式空间V 的正交变换, W 是σ的不变子空间,证明: W 的正交补W

⊥

也是σ的不变子空间. 2007年

一(25分) 设()(),f x g x 多项式满足: ()()()

()332

1f x xg x x x k x +=++,证明: 1x -是

()(),f x g x 的公因式

二(25分) 计算行列式0121111

1

001

n

a a D a a =

,其中01,,,n a a a 均不为零.

三(30分) 将二次型()222

1231231223,,2344f x x x x x x x x x x =++--化为标准型,并写出所有

的线性替换.

四(20分) 已知221111101A ????=-????-?? ,141332B ??

??=-??????

,解矩阵方程: AX B =求矩阵X . 五(30分) 设1234,,,εεεε是数域上的F 四维线性空间V 的一组基,线性变换σ在这组基下的

矩阵为1111111111111111A ????

--?

?=??-??--??

,求线性变换σ的特征值与特征向量. 六(20分) 设,A B 是两个n n ?实对称矩阵,且A 为正定矩阵,证明;存在一个n n ?实可逆矩阵

T 使T AT '与T BT '同为对角形.

2006年

一(30分) 设()f x 为次数>1的实系数多项式,则()f x 的根全为实数的充分必要条件为

()2f x 不能表示为两个次数均1≥且次数不等的实系数多项式的平方和.

二(20分)计算n 阶行列式112311

2231

0000000

n n n n n

a x a a a a x x D x x x x --+-=

--

三(20分) 设12,,,n λλλ 是方阵A 的互不相同的特征值, 12,,,n ξξξ 是对应的向量,证明:

12,,,n ξξξ 线性相关.

四(30分)设102011010A ????=-??????

,计算8542

234A A A A E -++-

五(30

分)

如果12

,V V 是线性空间V

的两个子空间,则

()()()()121212Dim V Dim V Dim V V Dim V V +=++?, ()Dim V 表示线性空间的维数.

六(20分) 化二次型()123122313,,262f x x x x x x x x x =-+为规范型.

数学分析

2010年

1.计算下列各题(每题8分,共40分)

(1) lim

n→∞

??

++

(2)

11

lim

tan

x x x

→

??

-

?

??

(3)设10

xy

ye x

-+=,求

dy

dx

(4) arctan

?

(5)计算曲面积分I xdydz ydxdz zdxdy

∑

=++

??,其中∑

为上半球面z=取外侧.

2. (10分) 函数()

f x在区间[],a b上连续, ()()

x

a

F x f t dt

=?证明: ()

F x可导,且()()

F x f x

'=

3. (10分) 计算二重积分

x y

x y

D

e dxdy

-

+

??,其中是D由1,0,

x y x

+==及0

y=所围成的区域.

4. (15分) 讨论函数(

)

,)(0,0)

,

0,(,)(0,0)

xy x y

f x y

x y

?

≠

?

=?

?=

?

在点(0,0)处的连续性,可微性.

5. (15分) 设函数()

f x在[0,a]上二阶可导,且()

f x M

''≤<+∞, ()

f x在(0,a)内取得最大值,证明: ()

(0)

f f a Ma

''

+≤

6. (15分) 设()

f x在[a,+ ∞)上连续,且()

lim

x

f x

→∞

存在,证明: ()

f x在[)

,a+∞上一致连续,试问反之如何/

7. (15分) 若级数

n

a

∑与n b

∑都收敛,且成立不等式n n n

a b c

≤≤()

1,2,

n= 证明级数n

c

∑也收敛,若n a

∑与n b

∑都发散,试问n c

∑一定发散吗?

8. (15分) 若(),

f x y在[][)

,0,

a b?+∞上连续,又()

,

f x y dy

+∞

?在[),a b上收敛,但在x b

=处发散,则()

,

f x y dy

+∞

?在[),a b上不一致收敛.

9. (15分) 设(),f x y 在(){}2

2,|1D x y x

y =

+≤上有连续的偏导数,且在

(){}2

2

,|1T x y x y =+=上恒为零,证明:

()()12

22

,,max 3x y D D

f f f x y dxdy x y π

∈??

??

????≤?+?? ?

?????????

??

??

2009年

一 计算题(每题10分,共30分)

1.求极限22201cos lim sin x x x x →??

- ???

2.计算

xdydz ydxdz zdxdy ∑

++??,其中∑

为上半球面z =

方向取上侧.

3.计算积分2234C

xdy ydx

I x y -=

+? ,其中C 为椭圆22341x y +=,沿逆时针方向. 二(15分) 证明:

若111,1,2,

n y

x x n x

δδ+==

= ,则数列收敛,并求极限. 三(15分) 设()0

lim x x f x A →=用εδ-语言证明

四(15分) 证明

1

sin x

在()(),1,0a a >上一致连续;但在(0,1)上不一致连续. 五(15分) 用钢板制造容积为V 的无盖长方形的水箱,如何设计最声钢板?

六(15分) 设()f x 在(),-∞+∞具有二阶连续导数,且(0)0f =证明:函数

()()1

,0

(0),0x f x F x f x ?≠?=??=?

在(),-∞+∞上具有连续导数.

七(15分) 计算

ax ax

e e dx x

--+∞

-?

,()0b a >> 八(15分) 求幂级数

()

2

1n n n x ∞

=+∑的和函数

九(15分) 设函数()f x 是R 上的可导函数,且()lim x f x A →∞

= (其中A 是实数, -∞或

+∞

),

证明:存在R ξ∈,使得()0f ξ'= (就一种情况进行证明即可)

2008年

一 计算题(每题6分,共30分)

1. n

2. 1ln 1lim 2sin x

x x π→+∞

??- ???

3.设(

)arcsin f x x =,求()f x '

4.设(

)(

2

ln 1cos x f x x

+=

+ ,求

()1

1

f x dx -?

5.求幂级数

211n n x n ∞

=??+ ??

?∑的收敛半径

二 解答题(每题10分,共30分)

1. 设()f x 在0x =连续,且对任何,x y R ∈有()()(),f x y f x f y =+,则()f x 是R 上连续的奇函数

2.设1140,2a a a a ??>=+ ???,1114,1,2,2n

n n a a n a --??

=+= ???

,证明:数列{}n a 收敛并求极限. 3.计算2

2

2

I x dydz y dzdx z dxdy =

++?? ,其中S 是曲面2

22x

y z +=与2z =所为空间立

体()02z ≤≤的表面,方向取内侧.

三(15分) 设()f x 在[0,1]上非负连续,且(0)(1)0f f ==,则对任意实数(0,1)l ∈,必有实数[]0,1ξ∈使得()()f f

l ξξ=+

四(20分) 设二元函数(

)22

2222

(0,0,0

x y x y f x y x y ?++≠?

=??+=?

(1) 求(),f x y 在点(0,0)处的偏导数 (2)证明: (),f x y 在(0,0)处可微 五(20分) 设()f x 在[),a +∞上一致连续,且()a

f x dx +∞

?

收敛,则()lim 0x f x →∞

=

六(20分) (1)证明: ()xy a

F x xe dy +∞

-=?

在(0,)+∞上不一致收敛

(2)证明; ()xy a

F x xe dy +∞

-=

?

在(0,)+∞上连续

七(15分) 设连续函数列{}()n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x ,若对任意n ,()n f x 在[]

,a b

上有零点,则()f x 在[],a b 上必有零点.

2007年

一 判断题(正确的划,错误的划) (每题3分,共15分) 1.若{}21k a -和{}2k a 都收敛,则{}n a 收敛

2.若lim 0n n n a b →∞

=,则数列{}n a 和{}n b 中至少有一个为无穷小量

3.若0()f x '存在,则0000

()()

lim

2()h f x h f x h f x h

→+--'=

4.如果积分

()0

f x dx +∞

?

收敛,则lim ()0x f x →∞

=

5.设正项级数

n

a

∑收敛,则级数

2n

a

∑收敛

二 计算题(每题6分,共30分)

1.求极限n

2.求极限0

11

lim(

)ln(1)x x x

→-+

3.设ln(ln y x =-求y '

4.求积分1

12007201ln(cos )x x dx I x x x dx e e --=+++?? 5.求2222

sgn(1)D

I x y x y dxdy ??=

+++-??

??,其中{}224D x y =+≤ 三 证明题(每题15分,共75分)

1.设111,2,n a n +=== ,证明{}n a 收敛,并求lim n n a →∞

2.设函数()f x 在[]0,2π上连续,且(0)(2)f f π=,证明存在[]00,x π∈使得

00()()f x f x π=+

3.设函数()f x 在[]0,a 上二阶可导,且()f x M ''≤<+∞,()f x 在()0,a 内取得最大值,证明(0)()f f a Ma ''+≤:

4.设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的一个周期为T 的非负连续周期函数,证明: 0011lim

()()T x f t dt f t dt x T ∞→+∞=??

5.证明函数()22222

22,0,0,0x y

x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?

在点(0,0)连续且偏导存在但不可微

四(10分) 设函数()f x 在[)1,+∞上可导, (1)1f =且满足221

()()

f x x f x '=

+.证明:

lim ()x f x →+∞

存在且满足1lim ()14

x f x π

→+∞

≤≤+

五(10分) 求曲线积分22C

xdy ydx

I x y -=+? ,其中C 为任一不通过原点是简单光滑正向封闭曲线

六(10分) 设()f x 上[0,]a 连续,记()010

()(),()()1,2,n n f x f x f x f t dt n ∞

-==

=?

,证明:

1

()n

n f

x ∞

=∑在[0,]a 上一致收敛

2006年

一 判断题(正确的划,错误的划) (每题10分,共20分) 1. 若n n n b a c ≤≤ ,且n b ∑,n c ∑均收敛,则n a ∑必收敛 2.如果积分

()b

a

f x dx ?

(其中b 为瑕点)收敛,则()b

a

f x dx ?收敛

二 计算(每题10分,共40分)

1.求步定积分{}

2

max 1,x dx ?

2.设10xy

ye x -+=,求

0|x dy dx

= 3.求积分22523D x y I xy dxdy ??

=-+ ??

???,其中{}221D x y =+≥ 4.求两曲面222

40,31x y x y z +=++=的交线上距离原点最近的点的坐标 三 证明下列各题(每题15分,共45分) 1.若lim n n a a →∞

=,则1222lim

2

n n a a na a

n →∞++= 2.当0x >,证明不等式

211

ln (1)(1)x x x

>++

3.设函()f x 数在[),a +∞连续且有渐近线(,)y cx d c d =+为常数,证明:函数()f x 在

[),a +∞一致连续

四(15分) 讨论级数

()

1

1(1)n p

n

n n ∞

=-??+-??

∑

的敛散性

五(15分) 计算曲面积分11()()x x

I f dydz f dzdx zdxdy y y x y

=

++?? ,其中f 具有一阶连续偏导数, ∑是由曲面2222,2,0x y R z y z +===所围立体的表面,取内侧 六(15分) 证明函数2

cos (x)=1xt

F t dt

+∞

+?

在(0,)+∞上连续可微