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第五章二元一次方程组

1．认识二元一次方程组

中宁四中 xx

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在七年级上册已学过一元一次方程，学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，为本节的学习已做好知识储备，估计学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题.

学生活动经验基础：本节所涉及的实际问题包括：老牛、小马驮包裹问题、公园的门票问题等，这些问题均为全体学生所熟悉的情境，容易被学生接受和理解，从而也容易建立相应的数学模型来解题.

二、教学任务分析

基于学生对一元一次方程理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念.在学习过程中，要突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界的有效数学模型，是贯穿方程与方程组的一条主线. 为此，本节课的教学目标是：

（1）理解二元一次方程（组）及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程（组）的解；

（2）会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组；

（3）通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力,了解变与不变的辩证统一的思想.

本节课的教学重点是：

（1）掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义；

（2）判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.

本节课的教学难点是：

从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.

三、教学过程：

本节课设计了五个教学环节：

第一环节：温故知新

1、下列哪些方程是一元一次方程？

3x=5 x+y=16 X=0

x

1=x+3 xy+6=34 2、x=5是方程3x+5=20的解吗？

【设计目的】通过复习一元一次方程和一元一次方程的解，为学习二元一次方程、二元一次方程组及它们的解做好铺垫。 第二环节：情境引入

内容：（课件展示） 情境1

昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？

引导性提问：（1）在情境中有哪些未知量？

（2）有哪些等量关系呢？

（3）试试自己设未知数列出方程。

请四人学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）。

这个问题涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们可以设他们中有x 个成年人，有y 个儿童：

等量关系：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34；

由此我们可以得到方程8x y +=和5334x y +=。

情境2

在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？

引导性提问：（1）在情境中有哪些未知量？

（2）有等量关系吗？都是哪些？

（3）试试自己设未知数列出方程。

请学生四人一小组讨论（讨论2分钟，然后发言）。

这个问题涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们可以设老牛驮x 个包裹，小马驮y 个包裹：

等量关系1：老牛的包裹数-小马的包裹数=2个，可列得方程：2x y -=；

等量关系2：:老牛的包裹数+1=2X （小马的包裹数-1个），可列得方程：()121x y +=-。 在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定学生的做法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中去，让学生更有学习的好奇心与积极性.同时告诉学生在某些有两个等量关系的实际问题中，列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚。

【设计目的】：学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣。

第三环节：新课讲解，练习提高

内容：（一）二元一次方程概念的概括

上面的两个问题中，我们分别得到了方程:

2x y -= ()121x y +=- 8x y += 5334x y +=

这些方程中各有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？

这些方程各含有2个未知数，含未知数的项的次数是1。

归纳出二元一次方程的概念 ：

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

【跟踪练习】：

1.下列方程有哪些是二元一次方程：

（1）093=-+y x ，（2）012232=+-y x ，(3) 743=-b a ，（4）113=-y

x ，（5）2x+10=0， （6）xy+5=0。

教师对概念进行解析，要求学生注意：概念的要点：

（1）含有两个未知数；

（2）所含未知数的项的次数是一次。

（二）二元一次方程组概念的概括

请学生思考：上面的方程8x y +=和5334x y +=中的x 含义相同吗？y 呢？

（两个方程中x 的表示成人裹数，y 表示学生数，x 、y 的含义分别相同。）

由于x 、y 的含义分别相同，因而必同时满足8x y +=和5334x y +=，我们把这两个方程

用大括号联立起来，写成???=+=+34

35,8y x y x ； 归纳得出二元一次方程组的概念：

像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

如：???=-=+;03,332y x y x ?

??=+=+.8,835y x y x 注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象。

【跟踪练习】：

2．判断下列方程组是否是二元一次方程组：

（1）???=+=-;1253,12y x y x （2）???=-=+;

53,12y x y x （3）???=+=-;153,37z y y x （4）???==;2,1y x （5）??

???=+=-;1283,52y x y x （6）???=+=-.325,132b ab b a 总结：二元一次方程组的要点：

方程组中共有2个不同未知数； 方程组有2个一次方程；

（三）因承上面的情境，得出有关二元一次方程（组）的解的定义

1.6,2x y ==适合方程8x y +=吗？5,3x y ==呢？4,4x y ==呢？你还能找到其他x ,y 值适合8x y +=方程吗？

2. 5,3x y ==适合方程5334x y +=吗？2,8x y ==呢？

分成两大组，一组做问题1，另一组完成问题2，,各同学分别代入验算，教师巡回参与两组活动，由学生回答上面2个问题，老师作出结论：

归纳得出二元一次方程得解的概念：

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

如x =6, y =2是方程x + y =8的一个解，记作???==2,6y x ；同样，?

??==3,5y x 也是方程8x y +=的一个解。

注：二元一次方程的解不唯一，有无数个解。

3.你能找到一组值x ,y 同时适合方程8x y +=和5334x y +=吗？

在完成问题1,2的基础上（板书1、2题解的时候将公共解写在一起，得出二元一次方程组的解的概念时用笔将它们全出来显示出公共部分的效果），师生共同完成问题3；

发现?

??==3,5y x 既方程8x y +=的一个解,又是方程5334x y +=的一个解。 归纳得出二元一次方程组的解的概念：

我们把二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.

例如，???==5

7y x 就是二元一次方程组???-=+=-)1(212y x y x 的解。注：方程组的解是唯一的。 【练一练】：

1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程102=+y x 的解？哪些是二元一次方程

x y 2=的解？哪些是二元一次方程组?

??==+x y y x 2,102的解？ （A ）???==;1,8y x （B ）???==;3,4y x （C ）???==;4,2y x （D ）???==.

2,1y x 2.以?

??==2,1y x 为解的二元一次方程组是（ ） （A ）??

?=-=-;13,3y x y x （B ）???-=+-=-;53,1y x y x （C ）???-=+-=-;553,32y x y x （D ）???=+-=-.53,1y x y x 【设计目的】：本环节通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，使学生更好巩固新知识。让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.

第四环节：课堂小结

内容： 本节课你有哪些收获？（由学生各抒己见，教师适当鼓励与补充）

知识要点：

1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解。

3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是

两个方程的公共解，是一组确定的值。

【设计目的】：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.

第五环节：布置作业

习题5.1 必做题：知识技能1、2题；选做题：数学理解4、5题

[设计意图]：针对不同程度的学生布置不同的作业，让每个学生有所收获也有所成就。

四.板书设计

[设计意图]：将本节课的重点内容明确板书在黑板上，帮助学生巩固和理解，也有助于学生自主归纳整堂课的知识体系。