万有引力综合计算题

1．（11分）试将一天的时间记为T ，地球半径记为R ，地球表面重力加速度为g ．（结果可保留根式） （1）试求地球同步卫星P 的轨道半径R P ；

（2）若已知一卫星Q 位于赤道上空且卫星Q 运动方向与地球自转方向相反，赤道上一城市A 的人平均每三天观测到卫星Q 四次掠过他的上空，试求Q 的轨道半径R Q

2．寻找地外文明与地球外的生存环境一直是科学家们不断努力的目标。如图所示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图．月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．现设想你是宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：

A ．计时表一只，

B ．弹簧秤一把，

C ．已知质量为m 的物体一个，

D ．天平一台(附砝码一盒)．

在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，你已测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N 圈所用的时间为T ．为了能测算出月球的半径和质量，飞船的登月舱在月球上着陆后，你遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量．（已知万有引力常量为G ），求： （1）说明你给机器人发的指令,如何让它进行第二次测量的？ （2）试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式． (3)若已知地月地月，g g R R 6

1

41==

，则可以推知近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？

3．未来“嫦娥五号”落月后，轨道飞行器将作为中继卫星在绕月轨道上做圆周运动，如图所示．设卫星距离月球表面高为h ，绕行周期为T ，已知月球绕地球公转的周期为T 0，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球半径为r ，万有引力常量为G ．试分别求出： （1）地球的质量和月球的质量；

（2）中继卫星向地球发送的信号到达地球，最少需要多长时间？（已知光速为c ，且h≤r≤R） 中段轨道修正

发 射

进入奔月轨道 进入月球轨道 制动开始

4．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形边长为a。求：

（1）A星体所受合力大小F A；

（2）B星体所受合力大小F B；

（3）C星体的轨道半径R C；

（4）三星体做圆周运动的周期T。

5．2005年10月12日9时，“神舟”六号飞船一飞冲天，一举成功，再次把中国人“巡天遥看一天河”的陆地梦想变成“手可摘星辰，揽明月”的太空现实，“神舟”六号飞船点火发射时，飞船处于一个加速过程，在加速

过程中宇航员处于超重状态．人们把这种状态下宇航员所受支持力F N与在地表面时重力mg的比值K=称为载

荷值．

（1）假设宇航员聂海胜和费俊龙在超重状态下载荷值的最大值为K=7，飞船带着宇航员竖直向上发射时的加速度a的最大值为多少？已知地球表面的重力加速度g=10m/s2．

（2）“神舟”六号飞船发射成功后，进入圆形轨道稳定运行，运转一圈的时间为T，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，试求这一圆形轨道距离地面的高度H．（用R、g、T、G表示）

参考答案

1．（1

）P R 2

）Q R 【解析】

试题分析：（1）设地球质量为M ，同步卫星质量为m ，同步卫星周期等于T ，由万有引力等于向心力得：2

2()2P P Mm G

mR R T

π＝ 又：2

Mm

G

mg R ＝

联立解得：P R （2）根据题述，卫星Q 的周期T Q ＜T ．假设每隔△T 时间看到一次：

则 1Q T T

T T -＝，解得：Q Q

T T T T T -＝．

考虑到三天看到四次的稳定状态，则有：3

4

T T ＝ 解得：37

Q T T ＝． 又2

2(

)2Q

Q Q Q

Q

Mm G

m R R

T π＝ 解得：Q R 考点：万有引力定律的应用. 【名师点睛】此题考查了万有引力定律的应用以及圆周运动问题；解决本题的关键知道同步卫星的特点，掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用；同时知道在圆周运动中的两个物体两次相距最近时转过的圈数只差等于1.

2．（1）见解析（2）3

444316m GN T F M π=(3) 241R R V ＝＝地地月月地月g g V 【解析】（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F ，即为物

体在月球上所受重力的大小 ---------------（2分）

（2）在月球上忽略月球的自转可知 F mg =月 -----------（1分）

月mg R Mm

G

=2

------------- （1分） 飞船靠近月球表面绕月球运行时，可知

R T m R Mm G

2

2

)2(π= 又 N

T

T =

0 ------------------（1分） 可知月球的半径 m

N FT m FT R 2

22

22

044ππ== ----------------（1分） 月球的质量 3

444

316m GN T F M π= --------------- （1分）

（3）R

v m R Mm G 2

= -----------------（1分） gR R

GM

v ==

24

1

R R V ＝

＝

地

地月月地

月g g V ----------（1分） 3．（1）23

12

4()=r h M T

π+（2

【解析】

试题分析：（1）设地球的质量为0M ，月球的质量为1M ，卫星的质量为1m ，地球表面 某一个物体的质量为2m ，

地球表面的物体受到的地球的吸引力约等于重力，则：0222

M m m g G R =，所以20gR M G =

由万有引力定律及卫星的向心力公式知：2

111224=()()M m G

m r h r h T π++ 解得：23

12

4()=r h M T π+ (2分)

（2）设月球到地球的距离为L ，则：2

011220

4=M M G M L L T π

所以：L =

(2分)

由于h ＜＜r ＜＜R ，所以卫星到达地面的距离：s L R =-

中继卫星向地球发送的信号是电磁波，速度与光速相等，即v=c ，所以：s=ct

时间：22

03

2

4gR T R s t c

π-=

=．(2分) 考点：考查了万有引力定律的应用

【名师点睛】在万有引力这一块，设计的公式和物理量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算

4．（1）2223A m F G a = （2）227B m F G a = （3）74C R a = （4）2

2

a T Gm π= 【解析】（1）由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为

2

222A B BA CA m m m F G G F r a ===

方向如图，则合力大小为2

223A m F G a

=

（2）同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为2

222A B AB

m m m F G G r a

==

222C B CB

m m m F G G r a ==方向如图，则合力大小为2

2cos 602Bx AB CB m F F F G a

=?+=

22sin 603By AB m F F G a =?=。可得222

27B Bx By m F F F G a

=+=

（3）通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，2

2317

42C R a a a ????=+= ? ? ??

??? （4）三星体运动周期相同，对C 星体，由2

2227C B C m F F G m R a T π??=== ???

可得2

2

a T Gm π=

【考点定位】本题考查万有引力定律、力的合成、正交分解法等知识。

5．（1）飞船带着宇航员竖直向上发射时的加速度a 的最大值为60m/s 2

． （2）一圆形轨道距离地面的高度为﹣R ．

【解析】

试题分析：（1）运用牛顿第二定律对宇航员研究F﹣mg=ma，因为F=kmg，所以kmg﹣mg=ma，a越大，k越大，为了保护宇航员的安全，k最大只能取7，把7代入，即得a的最大值．（2）飞船绕地球做圆周运动所需向心力由地球对飞船的万有引力提供，由牛顿第二定律可以分析答题．

解：（1）由牛顿第二定律可知：F N﹣mg=ma，

由题意可知：K=，整理得：mg（k﹣1）=ma，

将k=7代入解得：a=60m/s2；

（2）设地球的质量为 M，飞船的质量为m，飞船距地面高为h，万有引力充当向心力，由牛顿第二定律得：

G m（R+h），

在地球表面附近，重力等于万有引力，即：G=mg，

解得：h=﹣R；

答：（1）飞船带着宇航员竖直向上发射时的加速度a的最大值为60m/s2．

（2）一圆形轨道距离地面的高度为﹣R．

【点评】飞船绕地球最圆周运动，万有引力提供向心力，应用万有引力定律、牛顿第二定律即可正确解题．