高中数学人教版选修1-2 第二章 推理与证明 合情推理

2．1.1合情推理

[教材研读]

1．归纳推理的特点是什么？

2．类比推理的特点是什么？

[要点梳理]

1．推理的定义与结构形式

(1)定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识．

(2)结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知判断推出的新的

判断，叫做结论．

2．归纳推理与类比推理

3.合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比

较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．()

2．归纳推理得到的结论是正确的．()

3．类比推理得到的结论可以作为定理应用．()

4．由个别到一般的推理为归纳推理．()

[答案] 1.√ 2.× 3.× 4.√

题型一归纳推理

思考1：日常生活中我们看到燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，就会判断一天要下雨了．这种推理思维的方式叫什么推理？

提示：这种推理为归纳推理．

思考2：归纳推理都正确吗？

提示：归纳推理得出的结论未必正确，常需要严格的推理证明．

已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝

a n

1＋a n

(n ＝

1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．

[思路导引] 由递推公式写出该数列的前几项，再归纳总结． [解] 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1

＝1

2；

当n ＝3时，a 3＝12

1＋12

＝1

3；

当n ＝4时，a 4＝13

1＋13

＝1

4.

通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1

n .

归纳推理的一般步骤

(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．

归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式．[跟踪训练]

已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)．

(1)求a2，a3，a4，a5；

(2)归纳猜想通项公式．

[解](1)当n＝1时，知a1＝1，

由a n

＝2a n＋1得a2＝3，

＋1

a3＝7，a4＝15，a5＝31.

(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，

a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，

可归纳猜想出a n＝2n－1(n∈N*)．

题型二类比推理

思考：(1)科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征，所以科学家猜想：火星上也可能有生命存在．

(2)以点(x 0，y 0)为圆心，半径为r 的圆的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2

＝r 2，据此推断以(x 0，y 0，z 0)为球心，以r 为半径的球的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＋(z －z 0)2＝r 2.

以上两种推理属于什么思维方式？

提示：利用了类比推理两类对象具有某些类似特征，由其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也有此特征．

已知△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为

r ，用S △ABC 表示△ABC 的面积，则S △ABC ＝1

2r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A －BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A －BCD ＝__________.

[思路导引] 从三棱锥的内切球半径与三角形内切圆半径共同点入手．

[解析] 内切圆半径r ――→类比内切球半径R ，三角形的周长：a ＋b ＋c ――→类比三棱锥各面的面积和：S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ，三角形

面积公式系数12――→类比三棱锥体积公式系数1

3.∴类比得三棱锥体积V A －BCD

＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )．

[答案] 1

3R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )

类比推理的一般步骤

(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)； (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．

[跟踪训练]

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，求它们的体积比．

[解] 设两个正四面体的体积分别为V 1和V 2， 它们的一个面的面积分别为S 1，S 2，

设正四面体的高分别为h 1，h 2，则V 1V 2

＝13S 1h 1

13S 2h 2，

由已知S 1∶S 2＝1∶4，又h 1∶h 2＝1∶2， 所以V 1∶V 2＝1∶8.

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.

2.合情推理的过程概括为

从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→

归纳、类比―→提出猜想

1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( )

A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2

B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2

n －1)2

C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2

D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2

[解析]观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n －1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.

[答案] B

2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()

①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等．

A．①④B．①②

C．①③D．③④

[解析]类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合．

[答案] B

3．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x

2＋4x 2≥3，…，类比有x ＋a

x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝__________.

[解析] 由类比推理可得x ＋a x n ＝x n ＋…＋x n n 个

＋a

x n ≥(n ＋1)·x n ·x n ·…·x n ·a x

n ＝n ＋1，此时a ＝n n

. [答案] n n

4．在平面几何中有如下结论：

若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2

＝1

4.

推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1

V 2

＝__________.

[解析] 如图，

设正四面体棱长为1，可计算r R ＝13.故V 1V 2＝? ????133＝1

27.

[答案] 1

27

5．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．

(1)a 1＝a ，a n ＋1＝1

2－a n

；

(2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. [解] (1)由已知可得a 1＝a ，

a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝1

2－a 2＝2－a 3－2a

，

a 4＝

1

2－a 3＝3－2a 4－3a

. 猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a

n －(n －1)a

(n ∈N *)．

(2)∵2S n＝a n＋1，

∴2S1＝a1＋1，即2a1＝a1＋1，

∴a1＝1.又2S2＝a2＋1，

∴2a1＋a2＝a2＋1，∴a22－2a2－3＝0. ∵对一切的n∈N*，a n>0，

∴a2＝3.

同理可求得a3＝5，a4＝7，

猜想出a n＝2n－1(n∈N*)．