高中数学必修2第三章知识点及练习题
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ab
的截距 分别为 a,b 。
⑤一般式: Ax By C 0 (A ,B 不全为 0)
注意: ①在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。
②各式的适用范围
③特殊的方程如:
平行于 x 轴的直线: y b (b 为常数);平行于 y 轴的直线: x a ( a 为常数);
5、直线系方程:即具有某一共同性质的直线 ( 1)平行直线系
2
2
已知点 A(7 ,— 4) 、B( — 5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。
A .2
B.- 2
C.4
D.1
4.已知直线 l 与过点 M ( - 3 , 2 ) ,N( 2 ,- 3 ) 的直线垂直, 则直线 l 的倾斜角是 ( ) .
A. 3
B. 2 3
C. 4
5.如果 AC< 0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+ C= 0 不通过 (
4、直线方程(注意各种直线方程之间的转化)
①直线的点斜式方程: y y0 k (x x0 ) ,k 为直线的斜率,且过点 x0, y0 , 适用条件是不垂
直 x 轴。
注意: 当直线的斜率为 0°时, k=0,直线的方程是 y y0 。
当直线的斜率为 90°时, 直线的斜率不存在, 它的方程不能用点斜式表示. 横坐标都等于 x0,所以它的方程是 x=x0。
B
B
过第三象限.
6. A 解析:由已知得点 A( - 1,0) , P( 2, 3) , B( 5, 0) ,可得直线 PB 的方程是 x+ y- 5= 0.
7.D
8.D
9. B 解析 : 结合图形,若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移,再沿 x 轴正方向平移后,所得直线与
l 重合,
这说明直线 l 和 l’的斜率均为负,倾斜角是钝角.设 tan = - a . a+1 10. D 解析:这是考察两点关于直线的对称点问题.直线
l 的横截距与纵截距之和为 6,求直线 l 的
19.已知△ ABC 的三顶点是 A( - 1,- 1) , B( 3, 1) , C( 1, 6) .直线 l 平行于 AB,交 AC, BC
分别于 E, F,△ CEF 的面积是△ CAB 面积的 1 .求直线 l 的方程. 4
3/5
第三章 直线与方程
.
2
2/5
13.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A( 0, 1) , B( 1, 0) , C( 3, 2) ,求第四个顶点
D 的坐标为
.
20.一直线被两直线 该直线方程.
l1: 4x+ y+ 6= 0,l2: 3x- 5y- 6=0 截得的线段的中点恰好是坐标原点,求
( 第 19 题)
90°;
(2)k 与 P1、 P 2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率,再求倾斜角。 ※ 三点共线的条件: 如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等,
那么这三点共线; 反之, 三
点共线,任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。
l ’的倾斜角为 ,则 5x+4y+ 21= 0 是点 A( 4, 0) 与所求点 A'( x,
第三章 直线与方程
1、直线倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l 向上方向之间所 成的角α叫做直线 l 的倾斜角 .特别地 ,当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定α = 0 ° .
2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α< 180° . 当直线 l 与 x 轴垂直时 , α= 90° . 3、直线的斜率 :⑴一条直线的倾斜角α (α≠ 90°) 的正切值叫做这条直线的斜率 ,常用小写字母 也就是 k = tan α。
6、两直线平行与垂直
( 1)当 l 1 : y k1x b1 , l 2 : y k2 x b2 时,
l1 // l 2
k1 k 2 ,b1 b2 ; l 1 l2
k1 k2
1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
( 2)当 l 1 : A1x B1 y C1 0, l 2 : A2 x B2 y C2 0 时,
11.已知直线 l 1 的倾斜角 1= 15°,直线 l 1 与 l 2 的交点为 A,把直线 l 2 绕着点 A 按逆时针方向旋
转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为 60°,则直线 l 2 的斜率 k2 的值为
.
12.若三点 A( - 2, 3) ,B( 3,- 2) , C( 1 ,m) 共线,则 m 的值为
参考答案
A组 一、选择题 1.C 解析:直线 x= 1 垂直于 x 轴,其倾斜角为 90°. 2.D 解析:直线 l 1 的倾斜角 1 是钝角,故 k1< 0;直线 l 2 与 l3 的倾斜角 2, 3 均为锐角且 2> 3, 所以 k2> k3> 0,因此 k2> k3> k1,故应选 D. 3.A 解析:因为直线 l 1 经过两点 ( - 1,- 2) 、( - 1,4) ,所以直线 l 1 的倾斜角为 ,而 l 1∥ l2,所以,
A x+B y+C2= 0, 则 l1 与 l 2 的距离为 d
C1 C2 A2 B2
一、选择题
1.若直线 x=1 的倾斜角为 ,则 (
).
A .等于 0 D .不存在
B.等于
C.等于 2
2.图中的直线 l 1, l2, l3 的斜率分别为 k1, k2, k3,则 (
).
A . k1< k2< k3
平行于已知直线 A0 x B0 y C0 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数) 的直线系: A0 x B0 y C 0 ( C 为常数),所以平行于已知直线 A0 x B0 y C 0 0 的直线方程可设: A0 x B0 y C 0, C C 0 垂 直 于 已 知 直 线 A0x B0 y C0 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 方 程 可 设 : B0 x A0 y C 0 ( C 为常数)
但因 l 上每一点的
②斜截式: y kx b , k 为直线的斜率,直线在 y 轴上的截距为 b
③两点式: y y1 y2 y1
x x2
x1 x1
(
x1
x2 , y1
y2 )直线两点 x1, y1 , x2, y2
④ 截矩式: x
y
1 ,其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴
B. k3< k1< k2
C. k3< k2< k1
D. k1< k3< k2
3.已知直线 l1 经过两点 ( -1,- 2) 、( - 1, 4) ,直线 l2 经过两点 ( 2,( 第1)2、题()x,6) ,且 l 1∥ l2,则
x= (
百度文库).
6.设 A, B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且 | PA| =| PB| ,若直线 PA 的方程为 x- y+ 1
14.求直线 3x+ ay= 1 的斜率
.
15.已知点 A( - 2,1) ,B( 1,-2) ,直线 y=2 上一点 P,使 | AP| = | BP| ,则 P 点坐标为
.
16.与直线 2x+ 3y+ 5=0 平行,且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是
.
17.若一束光线沿着直线 x- 2y+5= 0 射到 x 轴上一点, 经 x 轴反射后其反射线所在直线的方程
D. 3 4
).
A .第一象限
B.第二象限
C .第三象限
D .第四象限
9 、 两 点 间 距 离 公 式 : 设 A( x1 , y1),(B x2, y2) 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 两 个 点 , 则
| AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1) 2
10、点到直线距离公式 :一点 P x0, y0 到直线 l : Ax By C 0 的距离为 d
7、两条直线的交点
当 l1 : A1x B1 y C1 0 l 2 : A2 x B2 y C2 0 相交时,
1/5
交点坐标是方程组
A1 x B1 y C1 0 的一组解。 A2 x B2 y C2 0
方程组无解
l 1 // l 2 ;方程组有无数解
l1 与 l 2 重合。
8. 中点坐标公式: 已知两点 P1 (x1,y1)、P2( x2,y2),则线段的中点 M 坐标为 ( x 1 x 2 , y1 y 2 )例 :
Ax0 By0 C A2 B2
11、两平行直线距离公式 ( 1)两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解,即:先在任一直线 上任取一点,再利用点到直线的距离进行求解。
( 2 ) 两平行线间的距离公式 :已知两条平行线直线 l 1和 l 2 的一般式方程 为 l 1: A x+B y+C1= 0, l 2:
l1 // l 2
A1B 2 A2 B1 0且 B1C 2 B2C1 0 ; l1 l 2
A1 A2 B1 B2 0
例: 设直线 l1 经过点 A(m , 1)、 B( —3, 4),直线 l 2 经过点 C(1, m)、 D( — 1, m+1) , 当 (1) l 1 / / l 2 (2) l1 ⊥ l 2 时,分别求出 m 的值
由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角α一定存在 ,但是斜率 k 不一定存在 .
⑵过两点 P1 ( x1, y1 )、 P2 (x 2 , y 2 ) 的直线的斜率公式: k y 2 y1 ( x1 x2 ) x2 x1
注意下面四点:
(1)当 x1 x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为
= 0,则直线 PB 的方程是 (
).
A . x+ y- 5= 0
B . 2x- y- 1= 0
C. 2y- x- 4= 0
D .2x+ y- 7=0
7.过两直线 l1: x- 3y+ 4= 0 和 l2: 2x+ y+ 5= 0 的交点和原点的直线方程为 (
).
A .19x- 9y= 0
B . 9x+ 19y= 0
此时直线 l' 与 l 重合,则直线 l' 的斜率为 (
).
a A.
a+1
B. - a a+1
C. a+1 a
10.点 ( 4, 0) 关于直线 5x+4y+ 21= 0 的对称点是 (
).
D . - a+1 a
A .( - 6, 8) 二、填空题
B . ( - 8,- 6)
C. ( 6, 8)
D .( - 6,- 8)
2 直线 l 2 的倾斜角也为 ,又直线 l 2 经过两点 ( 2, 1) 、 ( x, 6) ,所以, x= 2.
2 4.C
解析:因为直线 MN 的斜率为 2+ 3 = -1 ,而已知直线 l 与直线 MN 垂直,所以直线 l 的斜 - 3- 2
率为 1,故直线 l 的倾斜角是 . 4
5.C
解析:直线 Ax+ By+ C= 0 的斜率 k= A < 0,在 y 轴上的截距 D =- C > 0,所以,直线不通
( 2)过定点的直线系
①斜率为 k 的直线系: y y0 k x x0 ,直线过定点 x0 , y0 ;
②过两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 , l 2 : A2 x B2 y C2 0 的交点的直线系方程为
A1x B1 y C1
A2x B2y C2 0 ( 为参数),其中直线 l 2 不在直线系中。
k 表示 ,
①当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , α =0°, k = tan0 ° =0; ②当直线 l 与 x 轴垂直时 , α = 90° , k 不存在 .
当
0 ,90 时, k 0 ,k 随着α的增大而增大; 当
90 ,180 时, k 0 ,k 随着α的增大
而增大; 当
90 时, k 不存在。
是
.
三、解答题
18.设直线 l 的方程为 ( m2- 2m- 3) x+ ( 2m2+m- 1) y= 2m- 6( m∈ R, m≠- 1) ,根据下列条件 分别求 m 的值:
①l 在 x 轴上的截距是- 3;
②斜率为 1.
.
21.直线 l 过点 ( 1, 2) 和第一、二、四象限,若直线 方程.
C. 19x- 3y= 0
D .3x+ 19y= 0
8.直线 l 1: x+a2y+6= 0 和直线 l2 : ( a- 2) x+ 3ay+ 2a= 0 没有公共点,则 a 的值
是(
).
A .3
B.- 3
C.1
D.- 1
9.将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a( a> 0) 个单位,再沿 x 轴正方向平移 a+ 1 个单位得直线 l' ,