放球问题总结

最近学习了一下组合数学，对其中的放球问题模型感觉比较有用，特来总结一下，纯当学习笔记。另外好久没更新了。。。懒癌晚期伤不起。。。

放球模型主要讲的就是将n个球放进m个盒子中的组合数。其中，根据球是否可区分，篮子是否可区分，还有是否允许有空盒，可将放球模型分成8个类别。（有的博客和书还根据m和n的大小进一步分成16类，个人觉得没有必要。。。）下面就来总结一下这8类放球问题的组合数计算方法。

1) 球有区别，盒子有区别，允许有空盒。

因为球有区别，那么可以单独拿一个球出来讨论，对于第一个球，可以放到m个盒子中的任意一个，因为盒子也是有区别的，有m种方法，对于第二个球，因为允许有空盒的存在，所以每个球的放法是独立的，所以也有m种方法。由乘法原理，知前2个球有2m种放法，所以n个球一共有n m种放法。易知对于n ≥m和m>n两种情况公式不变。

2）球有区别，盒子有区别，不允许有空盒。

因为不允许有空盒，一个球的放法需要考虑前面的球的放置位置，所以每个球的放法不是相互独立的了，不能用上面的方法。

这里可以用容斥原理或者母函数的方法计算该问题的方案数。

方法一：母函数。

首先可以将该问题转换成一个排列问题，将m盒子看成m件物品，问题转换成m个有标志的元素取n个做有重复的排列，并且每个元素至少取一个。因为求的是排列问题，所以应该用指数型母函数。

其母函数定义如下：

m 3

2)!

3!2()(?+++=x x x x G e 又由泰勒展开公式有

?+++++=!4!3!2!11432x x x x e x 可知 ∑

=--=-=m

h x h m h m x e e h m C e x G 0)()1)(,()1()( 其中 n n n

x

h m x n h m x h m x e ∑∞=--=+-++=02)(!)(...!2)(1!h -m 1 （同样由泰勒展开）

所以母函数可以化为下式：

∑∑∑∑∞===∞

=--=--=0000)()1)(,(!!)()1)(,()(n m

h n h n n m h n n

h e h m h m C n x x n h m h m C x G 我们知道，对于上式中n

x 项的系数就是我们所要求的组合数，所以对于有n 个有区别的球放入有区别的m 个盒子的组合数就是：

n m h h h m h m C )()1)(,(0--∑= 方法二：容斥原理

设U 表示把{1,2,3，...,n}分到m 个有区别的盒子中的划分集合，允许有空盒，由1）的结果我们知n m U =||。接下来考虑确定h 个空盒的放置方案。我们从m 个盒子中选取h 个作为空盒，有),(h m C 种选法，剩下的(m-h)个盒子，它们可以是空的，也可以不是，也就是将n 个有区别的球放入(m-h)个有区别的盒子中，允许有空盒的方案数，同样由1的结果，我们知道方案数为n h m )(-。所以确定h 个空盒的方案数为n h m h m C ))(,(-，由容斥原理，我们知道总的方案数为

n m

h h h m h m C )()1)(,(0--∑= 易知，m>n 时，方案为0。

3） 球有区别，盒子无区别，不允许有空盒

这个问题其实和第一个问题相关，在这个问题中，盒子的次序不重要，

那么对于m 个盒子，就有m ！个排列，也就是说，对于1）中的每一种方案，在去掉盒子的标号后，它和另外(m!-1)个方案是相同的，可以直接运用

1）中的结果。知道将n 个有区别的球，放到m 个无区别的盒子中，不允许盒子为空的组合数为：

!

)()1)(,(0m h m h m C n m

h h --∑= 另外，这个问题的答案还可以用另外一个序列描述，这个序列叫做第二

类斯特林数。 设序列 ),(m n S 满足 0)0,(=n S 且1),(=n n S ，且满足递推关系：

)1,1(),1(),(--+-=m n S m n mS m n S )1(n m <≤

称),(m n S 为第二类斯特林数。它恰恰等于将n 个有区别的球放入m 个无区别的盒子中，满足没有一个盒子为空的方案数。

下面说明为什么这个序列能描述我们放球模型的组合数。

首先0)0,(=n S 表示将n 个球放入0个盒子中，这是不可能的，所以方案数是0。

另外，1),(=n n S 表示将n 个球放入n 个盒子中，因为不允许有空盒，所以只能是每个盒子恰好放一个球，又盒子没区别，所以只有一种方案。所以有0)0,1(=S 和1)1,1(=S 。

下面看接下来的递推关系如何描述我们的放球模型。首考虑),(m n S ,我们首先将第n 号球拿出来，根据n 号球的方法来划分总体的放球方案数，首先，可以让n 号球单独放入一个盒子中，这等价于让另外n-1个球放入其他m-1个盒子中的方案数。也就是)1,1(--m n S 种方案数。或者n 号球不是单独放在一个盒子中，而是和其他一些球放在同一个盒子中，这等价于将其他n-1个球放入m 个盒子中后，在将n 号球放入这m 个盒子中的一个，有m 种方法，所以一共有),1(m n mS -种方案。所以满足递推式：

)1,1(),1(),(--+-=m n S m n mS m n S

所以我们说第二类斯特林数),(m n S 描述的是将n 个有区别的球放入m 个无区别的盒子中，满足无空盒的方案数。

另外容易得知：当m>n 时，S(n,m)=0。

4） 球有区别，盒子无区别，允许有空盒

因为这里允许有空盒，所以这里可以根据非空盒的数量来划分答案，当

确定了非空盒的数量m 后，该问题等价于3）中所描述的问题的方案，即),(m n S ,所以总方案数为：

),(...)2,()1,()0,(),(...)2,()1,()0,({n n S n s n S n S m n S n s n S n S ++++++n

m n m >≤

数学中称这个序列为Bell 数，即

),(...)2,()1,()0,()(n n S n s n S n S n B +++=

Bell 数同样满足一个递推式。如下：

)1()1,1(...)1()1,1()0()0,1()(---++-+-=n B n n C B n C B n C n B 这个递推式同样可以由组合推理证明。

考虑和n 号球在一起的其他元素的数量，假设是t ，取法有),1(t n C -种，剩下来不和n 号球在一起的n-t-1个球有)1(--t n B 种方法，所以有

∑∑-=-=-=---=1

010)(),1()1(),1()(n t n t t B t n C t n B t n C n B

得证。

5） 球无区别，盒子有区别，不允许有空盒

这个比较简单，利用插板法，将每个球看成1，那么问题转化为将这n 个1分成m 份的方案数，因为不允许有空盒，那么一共有n-1个位置可以插板，分成m 份需要m-1块板，所以方案数是)1,1(--m n C

易知m>n 时方案数为0

6） 球无区别，盒子有区别，允许有空盒

设i 号盒子的放球数为i x ，则问题转化为n x x x x x x m =++++++...54321方程的解得个数。同样可以由插板法，和5）不同的是，这时不考虑板插放的位置。同样将n 个球看成是n 个1，另外往里面插入m-1个板子，一共 n+m-1个元素，我要在这里面选m-1个为板子，那么一共有),1()1,1(n m n C m m n C -+=--+种方案。

对于 m>n 和m ≤n 两种情况公式不变。

7） 球无区别，盒子无区别，不允许有空盒

这个问题相当于将n 分拆成m 个数的方案数，等价于用（1,2,3,...m ）来分拆n 。 对于这个问题，一般来说没有一个通用的公式来表示它的解得数量，但是可以用母函数来间接的表示。它的母函数为：

...)...)...(...)(...)(()(263422++++++++=m m x x x x x x x x x G

所以)(x G 的n x 项系数即为所求。

易知当m>n 时，方案数为0

8） 球无区别，盒子无区别，允许有空盒

这个问题与7）类似，同样没有一个公式来描述该问题的数量，只能用

母函数来间接计算组合数。

与7）不同的一点是它允许存在空盒，那么相应的母函数表达式需要一

点变化。

我们有

...)

1...)...(1...)(1...)(1()(263422++++++++++++=m m x x x x x x x x x G 又由泰勒展开式我们有 ...11132++++=-????x x x x

所以这里)(x G 又可以表示为 )

1)...(1)(1)(1(1)(32m x x x x x G ----= 其中)(x G 的n x 项系数即为问题的答案。

对于 m>n 和m ≤n 两种情况公式不变。