获奖教案 北师大版数学八年级《黄金分割》教学设计与说明

获奖教案北师大版数学八年级《黄金分割》教学设计与说明

本课是北师大版数学八年级下册第四章第二节的内容。黄金分割无处不在，建筑、绘画、摄影、人体美学中有它的影子，医学、军事、生物、科学实验中它也扮演着举足轻重的角色。数学史上，黄金分割与勾股定理被称为“几何双宝”。它不仅是线段的比的延续，还与几何中的三角形、矩形、五角星，代数中的数列、极限有着千丝万缕的联系。探究黄金分割，不仅可以进一步培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，更能促进审美意识的发展。因此，黄金分割是整个初中数学教材中与生活联系最密切、最富有美感、最耐人寻味的内容。

教学目的：

（一）知识技能目标：

(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法

(2)会进行黄金分割的有关计算

（二）过程方法目标：

(1) 经历黄金分割的引入及寻找黄金分割点的探究过程

(2) 体会数形结合思想在解决数学问题中的使用

（三）情感态度目标：

在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美教学重点：

黄金分割的意义及其简单应用

教学难点：

做一条线段的黄金分割点

教学准备：

ppt课件

教学过程：

预计时间教学内容教师活动学生活动教学评价1分一、创设情境为学生提供大量生活中的素材。如：埃菲尔铁塔，巴黎圣母院，卢浮宫，名画《蒙娜丽莎》。问：这是一次美的享受之旅，那美来自哪呢？与羊羊家族的五只年轻的羊羊一起进行环球旅行。在懒羊羊的带领下，首先来到了欧洲大陆西部的浪漫之国——法国。将动画人物引入课堂，让孩子们眼前一亮。大量生活中的素材可使学生对黄金分割有一个感性的认识，从而引入新课。 18分 18分 18分二、导入新知二、导入新知二、导入新知1. 黄金分割的定义以埃菲尔铁塔为例，将它抽象为一条线段，塔尖和塔座的连接处抽象成一个点。给出埃菲尔铁塔的高度数据。引入黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.问：AC，BC，AB三条线段究竟是怎么比的？等式中有何规律？问：蒙娜丽莎的脸也暗藏着黄金分割，若把它也抽象成线段，眉毛的位置就是黄金分割点。你能找出黄金比吗？2.求黄金比问：那黄金比究竟是多少呢？对于一元二次方程，学生尚未学过如何求解，直接告诉他们3.作一条线段的黄金分割点从黄金比的真实值——入手，引导学生将问题逐步简化。同时，穿插回忆相关的基本的尺规作图方法，如：在数轴上寻找表示的点，做两线段的差，从而找到黄金分割点的作法。4.黄金矩形引入黄金矩形的定义：若矩形ABCD的宽：

长等于黄金比，则称之为黄金矩形建立数学模型，计算和，发现线段中相等的比，发现建筑中的黄金分割。答：这三条线段是不相等的，若用“短”，“中”，“长”来区分。对照原来的比例关系式，可以发现分子的线段总是比分母的要短一点儿。写出线段中相等的两个比。与老师共同探索求黄金比的方法设AB=1，AC=x，则BC=1-x，，只取正值在跟老师共同探究后，总结作一条线段的黄金分割点的步骤：（1）过点B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点画一条任意长度的线段，作出它的黄金分割点。继续与羊羊们一起旅行，随暖羊羊来到了爱琴海边的希腊。将巴台农神庙的正面抽象成矩形，发现它的宽：长刚好等于黄金比。培养学生建立数学模型的能力，让学生亲自计算，发现生活中的黄金分割，感受数学与生活的密切联系。深挖概念，把握规律。帮助学生更深刻的理解黄金分割的定义。考查学生对定义的理解情况。这个问题学生可能会感到无从下手，教师应引导学生逐步将复杂问题简单化，体会数形结合及化归转化的思想方法。从“数”的方面认识黄金分割。探究黄金分割点的作法，可以说又从“形”的方面跟黄金分割进行了一次亲密接触。同时还可以回忆和巩固基本的尺规作图的方法。巩固新知，培养学生的动手操作能力介绍黄金矩形，将黄金分割的意义从一维图形扩展到二维图形，同时通过巴台农神庙展示黄金分割的历史文化价值。 8分 8分三、深入探究三、深入探究 1.黄金分割与斐波那契数列(电话铃声)喜洋洋从意大利来电求救了，裴波那契老爷爷给了他一串数，让

他寻找规律。1,1,2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…问1)规律还远不止这一条，不防先计算一下数列中相邻两数的比 (2)随便选两个正整数作为一个数列的前两项，按照裴波那契数列的规律写下去，再计算相邻两数的比 2.黄金分割与医学调皮的沸羊羊在翻老师的照片，要让老师带它去加拿大看冬奥会。老师告诉它，只有当气温是人体温的0.618倍时，人体的舒适度才最高。3.黄金分割与人体美学委内瑞拉的世界小姐为学生讲述人体美学中的黄金分割. 人体结构中有14个“黄金点”，12个“黄金矩形”和2个“黄金指数”。其中，衡量一个人身材是否美观的重要标准就是看肚脐是否是头顶到脚底的黄金分割点。与聪明的喜羊羊来到意大利，挑战聪明绝顶的数学家裴波那契。答: 这个数列的规律是从第三项开始它的每一项都等于前两项之和。小组合作完成老师提出的问题。答：经过计算我们发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋近于黄金比的。而我们自己写的符合要求的数列也具有这个规律。在与沸羊羊一起去温哥华看冬奥会前，先了解黄金分割与医学的联系。人体舒适度最高的温度是：度。与爱漂亮的美羊羊来到了一个盛产美女的国家——委内瑞拉，了解人体美学中的黄金分割。前面仅仅是师生共同围绕黄金分割的定义进行的一个探索，接下来，还要深入探究在数学的其他分支或者是其他学科中黄金分割的应用。让学生通过运算，自主探究等形式继续理性地感知黄金分割与数学的其他分支的联系。初步接触数列，极限等数学概念，为高中阶段的学习作铺垫学生感受黄金分割与医学的联系。学生感受黄金分割与人

体美学的联系。15分四、学以致用工作一根据深圳月平均气温统计图，选择在深举办电影节的时间，使来深的明星们在深圳时感到最舒适。工作二根据提供的数据（头顶到肚脐的距离a，肚脐到脚底的距离b）为三位知名女星选择魔力高跟鞋，使她们穿上后能符合人体美学的标准。章子怡：a=65cmb=99cm范冰冰：a=66cmb=102cm徐熙媛：a=61cmb=102cm“深圳要举行首届世界奥斯羊电影节了！”，学生接到在家留守的慢羊羊发来的短信，要大家回去帮忙，完成两项艰巨的工作。在深圳举行电影节的最佳时间是4月。小组合作计算得出三位女星的魔力高跟鞋高度分别为：章子怡：5cm范冰冰：4cm徐熙媛：2cm将学生置于具体的问题中，利用之前旅行的所学所得解决生活中的实际问题，学以致用。第一个问题比较简单，第二个问题小部分同学可能不会列方程，需要点拨。学生学以致用的同时也可以更理性的领略黄金分割之奇，感受数学之美，有效激发学生对数学的热爱之情。2分五、小结巩固问：请同学们用这样的句式“我去过了……，我知道了……，我学会了……，我发现了……”来总结一下本节课。学生可小组先总结，再派代表发言。有的学生这样回答：“我去过了法国，意大利，希腊，加拿大，委内瑞拉，我知道了黄金分割，我学会了求黄金比，做一条线段的黄金分割点，我发现了黄金分割在生活的方方面面都有应用，它很神奇！”四个不同的句式实际上是对学习要求层层深入的体现。不给出固定的答案，对不同的答案都给与肯定，尊重学生的个体差异性。1分六、布置作业1.帮你的妈妈选一双魔力高跟鞋。 2.自主探究黄金分割在绘画、

摄影、生物、军事以及科学实验等方面的应用学生先测量再计算。自行选择研究方向，利用网络，书籍，小组合作，与老师交流等不同方式进行探究作业一不仅可以用数学，还可以拉近母子感情。作业二是一个开放性的问题，学生可以根据自己的兴趣和学习能力选择探究方向。

《黄金分割》是北师大版数学八年级下册第二章《相似图形》的第二节内容。在学习完第一节《线段的比》之后，继续探究黄金分割，实际上研究的是特殊的成比例线段。四条线段a，b，c，d中，如果a 与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。对比黄金分割需要满足的条件，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，恰是成比例线段的定义中b和c相等时的情况。

在这个特殊情况下，我们有许多可以研究的数学问题。比如：可以通过列分式方程将这两个相等的比也就是黄金比求出来；给定一条任意长度的线段，我们可以利用尺规作图的方法作出它的黄金分割点；甚至我们还可以将黄金分割的意义推广到二维图形——矩形，得到黄金矩形；如果你有兴趣，还可以继续探索黄金分割与裴波那契数列的关系。

黄金分割不仅可以满足我们在数与形这两大数学分支中的好奇心，透过它，你还可以了解其他学科，甚至整个世界。比如：医学、军事、生物、建筑、美术、摄影、人体美学等，而这些是你可以在世界的各个角落寻找到的。

课本上对本节课的定位是一个课时，45分钟，所以我确定了如下教学目标：

知识技能目标：

(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法

(2)会进行黄金分割的有关计算

过程方法目标：

(1) 经历黄金分割的引入及寻找黄金分割点的探究过程

(2) 体会数形结合思想在解决数学问题中的使用

情感态度目标：

在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美

（二）学习本内容的基础以及今后有何用处

在学习黄金分割时学生应具备这样的基础。

几何方面，学生需要掌握线段的比和成比例线段，勾股定理，三角形、四边形、多边形的基本知识，基本的尺规作图（做一条线段等于已知线段是必需的，最好还会做已知直线的垂线，以及找已知线段的中点）等。

代数方面，学生需要学习过实数的内容，特别是分母有理化，在数轴上找表示的点，解分式方程和一元二次方程，并具有探索数学规律的能力。

另外，探究黄金分割过程中，涉及到的合理假设，归纳猜想，分析证明等方法，培养的观察、分析、归纳、概括的能力，可以为学生们日后的初中数学学习打下良好的基础。可以说，黄金分割在初中数学内容中起着承前启后的作用。同时，孩子们初步接触数列和极限也可以为他们高中的学习做好铺垫。

学习过黄金分割，学生们眼中的数学应该是崭新的。生活中无

处不在的黄金分割，建筑、绘画、摄影、人体美学中有它的影子，医学、军事、生物、科学实验中它也扮演着举足轻重的角色。难怪数学史上，黄金分割与勾股定理被称为“几何双宝”。但我想，更重要的是黄金分割对学生学习兴趣的培养。透过黄金分割在人体美学、摄影、绘画、建筑等方面的应用，学生不仅可以从数的角度感受美，更可以感受数学之美。孩子们会因为发现数学之美而爱上数学！

（三）教学诊断分析

在学习本内容时，学生对黄金分割的感性认识是非常容易建立的。因为本节课会提供给学生大量精美的图片，比如：埃菲尔铁塔、巴黎圣母院、巴台农神庙、卢浮宫这些名胜古迹，还会组织很多学生们喜欢的活动，比如：环球旅行、筹备电影节、为喜爱的明星计算魔力高跟鞋。

而理性的认知却并不太好把握，一条线段AB被分成两条不等的线段AC，BC，这三条不等的线段究竟是怎么比得是并不好马上掌握的。在教学中，特别需要教师帮助学生透过现象看到本质，先搞清楚长度关系，再把握比例关系会比较容易。

有的人可能一看到这节课，会觉得教学内容比较简单，并没有很强的数学性。其实恰恰相反，本节课的教学设计上有两个难点。一

是求黄金比，不要小看假设线段AB=1这一简化求比的一步，包括接下来的设线段AC=x学生都很难想到；二是作黄金分割点，这里又要假设线段AB=2，不是简单的尺规作图，还要跟勾股定理和在数轴上找无理数的知识相联系，对学生的思维能力的要求还是非常高的，教学中绝不可大意。

（四）本节课的教法特点以及预期效果分析

本节课的教法可以说别具特色，鉴于黄金分割的特殊性——它不仅渗透在生活的各个方面，还隐藏在世界的各个角落。所以我采用了环球旅行的方式来串联各个教学环节，每到一个国家，就游览与黄金分割有关的地方或会见与黄金分割有关的人，从而介绍黄金分割的有关知识点。由于黄金分割的概念和黄金分割点的做法有一定难度，所以在这两个问题上我采用教师引导与学生探究相结合的教学方法。最后回到祖国，利用整个旅程中的所见所闻解决生活中的实际问题，学以致用。同时为了让整个旅程更生动，更富有故事性，我尝试将学生们现在喜闻乐见的动画人物——喜羊羊家族也引入课堂，让不同性格的羊羊带我们去不同的国家，探索黄金分割的不同侧面，再配合上交互式电子白板强大的互动功能，实现师生间的有效互动。

可以说，新颖的授课形式，巧妙的教学设计，有趣的课堂活动以及黄金分割本身所独有的数学魅力紧紧地抓住了学生的心。这

是一节让教师和学生都乐在其中的课，我和学生们一起用45分钟的时间环游世界，一点一点地破译黄金分割的密码，感受数学之美！