圆与四边形小综合题

1.（2015河南9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，

使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ∽△POB ；（2）填空：

① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为时，四边形BPDO 是菱形.

2.（2016河南9分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点M 是AC 的中点，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BM 于点D ，E.

（1）求证：MD=ME

（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM 时，DE=___________；

②连接OD ，OE ，当∠A 的度数为____________时，四边形ODME 是菱形.

3．如图，已知⊙0与等腰△ABD 的两腰AB 、AD 分别相切于点E 、F ，连接AO 并延长到点C ，使OC=AO ，连接CD 、CB ．

（1）试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；

（2）若AB=4cm ，填空：

①当⊙O 的半径为 cm 时，△ABD 为等边三角形；

②当⊙O 的半径为 cm 时，四边形ABCD 为正方形．

4.（9分）如图，已知⊙A 的半径为4，EC 是圆的直径，点B 是⊙A 的切线CB 上的一个动点，连接AB 交⊙A 于点D ，

P C D 第17题 A C B D E F

弦EF平行于AB，连接DF，AF．

（1）求证：△ABC≌△ABF；

（2）当∠CAB=______时，四边形ADFE为菱形；

（3）当AB=_______时，四边形ACBF为正方形．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 90°，以AB为直径的⊙O与AC边交与点D．过D作⊙O的切线交BC 与点E．连接OE.

(1)证明：OE∥AC；

(2)①当∠BAC= °时，四边形ODEB是正方形；

②当∠BAC= °时，AD=3DE.

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D、E为BC边的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，则DE=；

②当∠B=°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

7.如图，在Rt△ABC中， ACB=90，以AC为直径的⊙○的切线，交BC于E．

(1)求证：点E是边BC的中点；

(2)当 B=___________ o 时，四边形ODEC 是正方形．

8．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上一点，∠COB=60°，点D 是OC 的中点，连接BD ，BD 的延长线交半圆O 于点E ，连接OE ，EC ，BC ．

（1）求证：△BDO ≌△EDC ．

（2）若OB=6，则四边形OBCE 的面积为．

9.四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的半圆过点E ，圆心为O ．

（1）利用图1，求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）如图2，若CD 的延长线与半圆相切于点F ，且直径AB =8．

①△ABD 的面积为_______；

②BE ︵的长为__________．

图1 图2 E D C B A F A B C

D E