解析几何第四章习题及解答

解析几何第四章习题及解答

第4章二次曲线和二次曲面习题 1.在直角坐标系xOy中，以直线l:4x?3y?12?0为新坐标系的x?轴，取通过A(1,?3)且垂直于l的直线为y?轴，写出点的坐标变换公式，并且求直线l1:3x?2y?5?在新坐标系中的方程。0解：直线l:4x?3y?12?0的方向是(3,4)，与它垂直的方向是?(?4,3)，新坐标系的x?轴的坐标向量取为(3443,)，y?轴坐标向量取为(?,)，与直线5555l:4x?3y?12?0垂直且的直线方程可设为3x?4y?c?0，于过点A(1,?3)，得到直线方程是3x?4y?9?0，两直线的交点(?3,0)是新坐标原点，所以点的坐标变换公

式：?3?x??5y??4??5?4?5??x? 3?. ?3??y??0?5??直线l1:3x?2y?5?0在新坐标系中的方程：l1:3(35x??45y??3)?2(45x??35y?)?5?0，

化简有l1:x??18y??20?0. 2.作直角坐标变换，已知点A(6,?5),B(1,?4)的新坐标分别为(1,?3),(0,2)，求点的坐标变换公式。解：设同定向的点的坐标变换公式是：?x??cosy??sin??sin???x? a?. cosyb?它的向量的坐标变换公式是：?u??cosv??sin??sin???u? . cosv??题意知向量AB?(?5,1)变为A?B??(?1,5)，于是有??5??cos1??sin??sin????1? 125得到于是点的坐标变换公.sin??,cos??.1313cos5?式是：?5?x??13y??12??13?12?1 3??xa?,.将点B(1??5??y??b?13??4及)它的像点(0,2)代入得到?37??a??13??,所以点的坐标变换公式是：b??62????13???5?x??13y 121312?135?13?37x?13. ? y??62????13???设反定向的点的坐

标变换公式是：?xcosy??sin?sinx?

a. cosy??b?它的向量的坐标变换公式是：?ucosv??sin?sinco su??. ?v题意知向量AB?(?5,1)变为A?B??(?1,5)，于是有??5cos??1sin?sincos 1?于是点的坐标变换公式s?0.??.得到sin1,co??5?是：?x??0y???1?1??x???a???? .将点B(1?,0??yb?及它的像点(0,2)代入得到4?a??3,所以点的坐标变换公式是：b?4x??0y???1?1??x???3? . 0y?4?3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为?22x??y??5,?x?22(1)??22x??y??3 ;?y22?xy?3, (2)??y?x?2.?其中，(x,y)与(x?,y?)分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角?。解：新坐

标系的原点的旧坐标为x??0,y??0代入公式中计算的结果，即(5,?3)。点的坐标变换公式知道是同定向的，于是转角?满足sin22,cos??22,于02?，所以??7?4. 与上一问题同理，新坐标系的原点的旧坐标为(2,3。)转角?满足sin1,c?os?于002?，所以??3?2.

4.在右手直角坐标系?1中，设两直线li:Aix?Biy?Ci?0(i?1,2)互相垂直，取l1,l2为右手直角坐标系?2的O?y?轴，O?x?轴，试求?2到?1的点的坐标变换公式。解：于两直线l1,l2互相垂直，且l1,l2为右手直角坐标系?2的O?y?轴，O?x?轴，即所以当l1,l2在右手直角坐标系?2下的方程为l1:x??0,l2:y??0，到?1的点的坐标变换公式：x?y?1A?B1A?B2222 2121A1A2B1B2?2?0时，(A1x?B1y?C1), (A2x?B2y?C2).当A1A2B1B2?0时，?2到?1的点的坐标变换公式：1x(A1x?B1y?C1),?22A1?B1? ?1?y(

A2x?B2y?C2).22?A2?B2? 5.设OABC为四面体，L,M,N依次是?ABC的三边AB,BC,CA的中点，取1?{O; OA,OB,OC}，?2?{O;OL,OM,ON}。求?1到?2点的坐标变换公式和向量的坐标变换公式，再?2到?1求点的坐标变换公式。求A,B,C,AB,AC的?2坐标。

111解：依题意有OL?(OA?OB),OM?(OB?OC),ON?(OA?O C),所222以?1到?2?11点的过渡矩阵是A??1200111??0，?1到?2点的坐标变换公式?1x??11y?1??2?z0?u??11? v?12w?001101110?110? 1x??y,?z?1到?2点的向量的坐标变换公式?u其中a在仿射坐标系?1和(u,v,w),(u?,v?,w?分别是向量)v,w2下的坐标。以上关系得到

OA?OL?OM?ON,O B?OL?OM?ON,OC??OL?OM?ON,

1所以?2到?1点的过渡矩阵是B11?x1?y??1??z??111 111111111，?2到?1点的坐标变换公式?1x向量的坐标变换公式一样。y,z??A,B,C,AB,AC 的?1坐标分别是A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1 ),AB?(?1,1,0),AC?(?1,0,1)，2到?1点和向量的坐标变换公式得到A,B,C,AB,AC的?2坐标分别是A(1,?1,1),B(1,1,?1),C(?1,1,1), AB?(0,2,?2),AC?(?2,2,0)。 6. 在右手直角坐标系?1?{O;e1,e2,e3中}，已给三个互相垂直的平面?1:x?y?z?1?0,?2:x?z?1?0,?3:x?2y? z?2?0。确定新的坐标系?,e2?,e3?，?2?{O?;e1}使得?1,?2,?3分别为y?O?z?,z?O?x?,x?O?y?坐标面，且O 在新坐标系的第一卦限内，求?1到?2的点的坐标变换公式。解：于

三个平面?1,?2,?3分别为y?O?z?,z?O?x?,x?O?y?坐标面，所以坐标之间的关系可设为x13(x?y?z?1),y12(x?z?1),z16(x? 2y?z?2)，又O在新坐标系的第一卦限内，所以O在新坐标系的三个坐标都为正，于是x13(x?y?z?1),y??12(x?z?1),z??16(x?2y z2)，故?1到?2的点的坐标变换公式13??x??1??y??3z1??3?13 1?313?12012?120?12162616 1626161?3??x??1??(y )2??z??????26? ???1???x?? 2y1.z127. 在右手直角坐标系Oxyz中，方程2229x?25y?16z?24xz?80x?60z?0 表示什么曲面？解：将方程9x2?25y2?16z2?24xz?80x?60z?0进行配方，于平面3x?4z?0,y?0,4x?3z?0,两(3x?4z)?25y?20(4x?3z)?0，两垂直，所以将它们分别作为新坐标系的坐