武汉大学2013-2014学年第二学期期末考试高等数学B2试题及答案

武汉大学2013-2014学年第二

学期期末考试

高等数学B2试题及答案

（共计12道题）

一、（8分）利用二重积分的性质，比较积分d σ=+??221ln()D

I x y 与d σ??=+????2

22

2ln()D

I x y 的

大小，

其中22:2D e x y e ≤+≤.

解 ∵221ln()1ln 2,x y ≤+≤+ ……4分

2

2222

ln()ln(),x y x y ??+≤+??∴12I I < ……4分

二、（8分）设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．

解

121211

()0z f y f yf f x y y ?''''=?+?+=+?， ……4分 2111

122212222211[()][()]z x x

f y f x f f f x f x y y y y y

?''''''''''=+?+?--+?+?-??

111

222

231.x

f xyf f f y y

''''''=+-- ……..4分 三、（8分）求过点(1,2,3)M -的平面，使它与平面π:30x y z +--=垂直，且与直线:L x y z ==平行.

解 因为已知直线与已知平面不平行，故所求平面得法向量为

()1,1,1(1,1,1)(2,2,0)n =-?=-r

， ……4分

故平面方程为 (1)(2)0x y --+=,即30x y --=。 ……4分

四、 （8分）设函数(,)z z x y =是由方程arctan()xyz x y z =++所确定的隐函数，求全微分d z 在点(0,1,1)- 处的值.. 解 2

1()

dx dy dz

yzdx xzdy xydz x y z ++++=

+++ ， ……4分

2222[1()]1[1()]1

d 1[1()]1[1()]

yz x y z xz x y z z dx dy xy x y z xy x y z +++-+++-=+-+++-+++，

故(0,1,1)2d z d x d y -

=--……4分

五、（10分）计算曲线积分d d (2)-+?L a y x x y ，式中L 是从原点(0,0)O 沿曲线(sin )(1cos )

x a t t y a t =-??

=-?（0a >）到点(2,0)A a π的弧段.

解 )0 , 0(O 对应0=t ，)0 , π2(a A 对应π2=t 。

原式?-+-?+=π

20

d sin )sin (d )cos 1()cos 1(t t a t t a t t a t a ……6分

?

+--=

π

20

222d )sin sin cos 1(t t t t t a ?

=π

20

2

d sin t t t a

2π2a -= ……4分

六、（10分）设Ω是由曲面222,2z x y z =+=所围的闭区域，试计算2d z V Ω

???.

解 222

2

2

20

x y z z dV z dz

dxdy Ω

+≤=??????

……6分

2

4032

5z dz ππ==

? ……4分

七、（10分）计算曲面积分323232()d d ()d d ()d d ,S

x z y z y x z x z y x y +++++??其中S

是上半球面z =.

解 添加平面221:1(0)S x y z +≤=的下侧，记1S S + 所围的区域为,V 则利用高斯公式得,

1

22223()0V

S x y z dV y dxdy =++--?????原式……6分

2121

43220

29

3sin sin 20

d d r dr d d π

π

πθ??θρθρπ=+=

????? ……4分 八、（8分）求曲线=2sin x t ，=sin cos y t t ，=2cos z t 在对应于π

=4

t 的点处的切线和法平面

方程.

解 点111,,,222??

???当4t π=时,4

(,,)|(1,0,1)t x y z πτ='''==-r 。……4分

切线 111

222101

x y z -

--==-,法平面,x z -=0……4分 九、（8分）设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为

ππ1,0,()1,0,x f x x --≤

，将它展开成Fourier 级数，并求数项级数1

1(1)21n n n -∞

=--∑的和。

解

取2x π

=可得π

11

(1)214n n n -∞

=-=-∑。 十、（9分）设ln(1)

0()1

x x f x x

x -?≠?

=??-=?，试将()f x 展开成x 的幂级数并利用其求0

()d x

f t t ?。

解 由 ()()

1

1

1()ln 11,[1,1)n n

n n n x x x x n n

∞

∞

-==--=-=-∈-∑∑ 因此当 0≠x 时，有()11l n 1n n x x x n

-∞=-=-∑， ……5分

当0x =时，()1110n n x f n -∞

=-=-=∑，所以 ()1

1n n x f x n

-∞

==-∑

，[1,1]x ∈- 20

1()n

x

n x f t dt n

∞

==-∑?

[]1,1x ∈- ……4分

十一、（6分）设0(1,2,...),n a n ≥= 且数列{}n na 有界，证明：2

1

n n a ∞

=∑收敛。

证明：因为数列{}n na 有界，则0,M ?> 使得0n na M ≤≤，因此0n M

a n

≤≤， ……3分

于是22

20n

M a n ≤≤，由比较判别法可知2

1

n n a ∞

=∑收敛。 ……3分

十二、（7分）求二元函数22(,)cos cos f x y x y =+在限制条件4

x y π

-=

下的极值.

解 设22(,,)cos cos ()4

F x y x y x y π

λλ=++--，求驻点。由2sin cos 0,x F x x λ=-+=

2sin cos 0,y F y y λ=--=4x y π-= 可得驻点为(,)8282

k k ππππ

+

-+。 ……4分

极大值为(,)182822k k z ππππ+-+=+，k

为偶数；极小值为(,)182822

k k z ππππ+-+=-

，k 为奇数。 ……3分