(完整)冀教版初三数学知识点,推荐文档

初三上册 23 章 数据分析 23.1 平均数和加权平均数

1、一般地，我们把 n 个数 x 1 , x 2 ,..., x n 的和与 n 的比，叫做这 n 个数的算术平

-

均数，简称平均数，记作 x ，读作“x 拔”，即

-

1

x = (x 1 +... + x n ). n

2、已知n 个数x 1 , x 2 ,..., x n ，若 w 1, w 2 ,..., w n

为一组正数，则把

x 1w 1 + x 2 w 2 +... + x n w n 叫做 n 个数 x , x ,..., x 的加权平均数， w + w +...w

1 2 n 1 2 n

w 1 , w 2 ,..., w n 分别叫做这 n 个数的权重，简称权。

23.2 中位数和众数

1、一般地，将 n 个数据按大小顺序排列，如果 n 为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果 n 为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。

2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。

23.3 方差

设 n

个数据 x , x ,..., x

1

2

n 的平均数为 x ，各个数据与平均数偏差的平方分别是

-

-

-

(x 1 - x )2 , (x 2 - x )2 ,..., (x n - x )2 。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用s 2 表 示，即

-

?

n

s 2 = 1 ?? (x -

n ? 1 ??

- 2 + (x

x ) 2 ?

- - ? - x ) 2 +... + (x - x )2 ? ? ??

当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此， 方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。

23.4 用样本估计总体

由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同； 当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。 24 章 一元二次方程 24.1 一元二次方程

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式方程，叫做一元二次

方程。一元二次方程的一般形式为 ax 2

+ bx + c = 0(a ≠ 0). 其中， ax

2 是

二次项， a 是二次项系数， bx 是一次项， b 是一次项系数， c 是常数项。一 元二次方程的解也叫做这个方程的根。

24.2 解一元二次方程

1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方， 另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个 一元一次方程，从而求出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为 1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

2、对于一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 ：

- b ± b 2

- 4ac 1 当b 2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当b 2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根。

我们把b 2 - 4ac 叫做一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的根的判别式。

3、当b 2 - 4ac ≥ 0 时，一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的两实数根可以用

x = 求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公

2a 式解一元二次方程的方法叫做公式法。

4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。 24.3 一元二次方程根与系数关系

如果一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的两根分别为 x , x 2 ，那么

x + x = - b , x ? x = c

1 2

a 1 2 a 。 24.4 一元二次方程的应用25 章 图形的相似 25.1 比例线段

1、如果选用同一度量单位，量得线段a 和b 的长度分别为m 和n ，我们就把

m 和n 的比叫做线段a 和b 的比，记作a : b = m : n ，或 a = m

。

b n

A D

B

E

C

F 2、在四条线段a , b , c , d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 a = c

，我们就

b d 把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。

3、比例的基本性质 如果 a = c

，那么ad = bc 。

b d

如果ad = bc ，那么 a = c

（ b , d ≠ 0 ）

b d

特别地，如果 a = b

，即b 2 = ac ，就把 b 叫做 a,c 的比例中项。

a c

b c

如果 = = ... = m = k ，那么 a + c +... + m = k

b d n b + d +... + n 4、黄金分割

在线段 AB 上有一点 C ，如果点 C 把 AB 分成的两条线段 AC 和 BC 满足AC = BC

，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 称为线段 AB 的黄金分割AB AC

点， AC 称为黄金比。黄金比 AC = AB AB 2 每条线段上的黄金分割点都有两个。

25.2 平行线分线段成比例

≈ 0.618

（1) 基本事实

两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。

对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB 与 DE 、BC 与 EF 、AC 与 DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。 l 1 AB = DE , AB = DE , BC = EF l 2

BC EF AC DF AC DF

3

5 -1 l

D E

D

A

D E

（2）推论1

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

A

E

AD

=AE

,

AD

=

AE

,

BD

=

CE

AB AC DB EC AB AC

B C B C

（3）推论2

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。

在△ABC 中，DE∥BC，AD

=AE =DE A

AB AC BC

B C

25.3相似三角形

（1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。

（2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。

25.4相似三角形的判定

相似三角形的判定定理

(1)两角对应相等的两个三角形相似。

(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

(3)三条边对应成比例的两个三角形相似。

(4)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

25.5相似三角形的性质

相似三角形的性质定理

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。

（2）相似三角形周长的比等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

25.6相似三角形的应用

25.7相似多边形和图形的位似

（1）形状相同的图形称为相似图形。一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。

（2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比。

（3）位似图形的画法

①确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）；

②选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线；

③根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点；

④顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。

26章解直角三角形

26.1锐角三角函数

1、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°

∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA，即

tan A =∠A的对边

=

a ∠A的邻边 b

∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即

sin A =∠A的对边

=

a 斜边 c

∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A =∠A的邻边=b

斜边 c 2、一些特殊角的三角函数值

30°45°60°

sinα1

2

2

2

3

2

cosα 3

2

2

2

1

2

tanα 3

3

1 3

3、在直角三角形中，锐角α 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α 变化时，相应的比值也会发生相应的变化。

我们把锐角α 的正弦、余弦和正切统称为α 的三角函数。

为方便起见，今后将(sin)2 , (cos)2 , (tan)2 分别记作sin 2, cos2, tan2。

26.2锐角三角函数的计算

26.3解直角三角形

1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、在Rt△ABC 中，∠C=90°

三边之间的关系是a2 +b2 =c2 ；

两锐角之间的关系是∠A +∠B = 90 ；

边角之间的关系是

sin A =∠A的对边

=

a 斜边 c

cos A =∠A的邻边

=

b 斜边 c

tan A =∠A的对边

=

a ∠A的邻边 b

在边角之间的关系中，将∠A 换成∠B，同时将a,b 交换，即可得到∠B 与边之间的关系式。

根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求

出其他三个元素。

26.4解直角三角形的应用

我们通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比h

叫做坡面的坡度（或坡比），l

坡面与水平面的夹角α 叫做坡角。显然，tan=

h

l

27章反比例函数

27.1反比例函数

一般地，如果变量y 和变量x 之间的函数关系可以表示成

y =k

(k为常数，且k ≠ 0) 的形式，那么称y 为x 的反比例函数，k 称为比例系数，x

自变量x 的取值范围是不等于0 的实数。

27.2反比例函数的图像和性质

反比例函数y =k

(k为常数，且k ≠ 0) 的图像由分别位于两个象限内的两条曲线x

组成，这样的曲线叫做双曲线。

对于反比例函数y =k

，当k>0 时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限x

内，y 的值随x 的值增大而减小；当k<0 时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大。

27.3反比例函数的应用

28 章圆

28.1圆的概念及性质

（1）平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径。

（2）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（3）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。过圆心的弦叫做这个圆的直

径。

（4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆。

（5）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

（6）能够完全重合的两个圆叫做等圆。能够完全重合的两条弧叫做等弧。28.2过三点的圆

（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆。

（2）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。

28.3圆心角和圆周角

（1)顶点在圆心的的角叫做圆心角。圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧。

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。

（3)在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等。

（4)顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。

（5)圆周角定理

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

（6）直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

（7）同弧所对的圆周角相等。

（8）四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

（9）圆内接四边形的对角互补。

28.4垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

28.5弧长和扇形面积的计算

（1）计算公式

设n 圆心角所对弧的长为l ，所对扇形的面积为S ，则l =

S =1

lr

2

n r

180

，S =

n r 2

或

360

（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。圆锥的顶点与

底面圆心之间的线段叫做圆锥的高。

（3）将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半径长

等于圆锥的母线长。

反过来，扇形也可以围成一个圆锥。

29章直线与圆的位置关系

1、在同一个平面内，点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内。

设圆O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP=d，则有：

（1）点P 在圆外，d>r

（2）点P 在圆上，d=r

（3）点P 在圆内，d

2、直线与圆的位置关系

一条直线与一个圆的位置关系，根据它们公共点的个数可分为三种情况：两个

公共点、一个公共点、没有公共点。

当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，称直线与圆相切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线；当

直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。

3、切线的性质和判定

（1）圆的切线垂直于过切点的半径。

（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

4、切线长定理

（1）过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等。

（2）与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切圆，称这个圆的圆心为三角形的内心。

5、正多边形与圆

（1）各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

（2）把一个圆n（n≥3）等分，顺次连接各等分点，就得到一个正n 边形。我们把这个正n 边形叫做圆的内接正n 边形，这个圆叫做正n 边形的外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到边的距离叫做正多边形的边心距。

（3）通过等分圆心角，可以画正多边形。对于一些特殊情形，可以用尺规作圆的内接正多边形（正方形和正六边形）。

30章二次函数

30.1二次函数的概念

一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系可以表示成y =ax 2 +bx +c(a, b, c 是常数，且a ≠ 0) ，那么称y 为x 的二次函数.其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

30.2二次函数的图像和性质

二次函数y =ax 2 的图像和性质

（1）通过列表、描点、连线可以得到二次函数y =ax 2 图像

（2）二次函数y =ax2 的图像是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。

（3）二次函数y =ax 2 的图像和性质

（4）为方便起见，我们把y 轴记为直线x = 0 ，把过点（a ，0）且垂直于x 轴的直线记为直线x =a ；把x 轴记为直线y = 0 ,把过点（0，b ）且垂直于y 轴的直线记为直线

y =b .二次函数y =ax2 也称为抛物线y =ax2

二次函数y =a(x -h)2 与y =a(x -h)2 +k 的图像和性质

（1）二次函数y =a(x -h)2 的图像可以由y =ax2 的图像作如下平移得到：当h > 0 时，向右平移h 个单位长度；当h < 0 时，向左平移h 个单位长度。

（2）二次函数y =a(x -h)2 +k 的图像和性质

,

,

二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像和性质

（1） 每个二次函数 y = ax 2 + bx + c 都可以通过配方化成 y = a (x - h )2 + k 的形式

（2） 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像是一条抛物线，它的对称轴是 x = - b

2a

若 a > 0 ，则抛物线开口向上，顶点坐标是(- b 4ac -b 2

) 。 当 x < - b 时， y 随 x 的 2a 4a 2a

b b

增大而减小；当 x > - 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - 时， y 取得最小值，且

2a 2a

4ac - b 2

y 最小 = 4a

若 a < 0 ，则抛物线开口向下，顶点坐标是(-

b 4a

c -b 2

) 。 当 x < - b

时， y 随 x 的 2a

4a 2a

b b

增大而增大；当 x > - 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 时， y 取得最大值，且

2a 2a

4ac - b 2

y 最大 = 4a

为方便起见，我们把二次函数 y = ax 2 + bx + c 也称为抛物线 y = ax 2 + bx + c

30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数

用待定系数法求二次函数的表达式，将三点坐标分别代入二次函数 y = ax 2 + bx + c 中，解出 a 、b 、c ，即可得到二次函数的表达式

30.4二次函数的应用

（1）对于二次函数y =ax2+bx +c =a(x +b

)2 +

2a

4ac -b2

来说，当a > 0 ，且

4a

x =-b

时，y =4ac -b2 b 4ac -b2

2a 最小

4a

；当a < 0 ，且x =-

2a

时，y最大=

。二次函数

4a

的这一特征，使它成为解决许多求“最小值”或“最大值”问题的重要工具。

（2）已知二次函数y =ax2 +bx +c 的某一个函数值y =m ，就可以利用一元二次方程

ax2 +bx +c =m 确定与它对应的x 的值。

30.5、二次函数与一元二次方程的关系

（1）一般地，抛物线y =ax2 +bx +c 和x 轴相交（或不相交）的情况与一元二次方程

ax2 +bx +c = 0 根的情况有如下对应关系：

（2）根据抛物线和x 轴相交（或不相交）的情况与其对应的一元二次方程根的情况的关系，以及二次函数随自变量增大而增大（或减小）的性质，可以借助二次函数来求一元二次方

程根的近似值。

31章随机事件的概率31.1确定事件和随机事件

31.2随机事件的概率

31.3用频率估计概率

31.4用列举法求简单事件的概率32章投影与视图

32.1投影

32.2视图

32.3直棱柱和圆锥的侧面展开图

“”

“”

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!