吉林大学2006级本科《离散数学II》试题(A)

一、综合题（每题3分，共30分）

1．有限群中消去律是否成立，无限群呢？

2．设M={1,2,3,4,5,6,7,8}。已知(1 2 3)=(1 2)(a b)(1 3)(c d)，试求对换(a b)和(c

d)。

3．设（L ，×，⊕）和（S ，，）是两个格，若f 是L 到S 的同态映射，则f

一定是保序映射么？如果g 是L 到S 的保序映射，g 一定是同态映射么？

4．设1H 和2H 都是有限群G 的正规子群。若21

H H ，则12H G H G 是否成立？

5．3x 1 (mod 14)有解吗？若有，请给出该方程的解。

6．设R 是一个环，S 是R 的子环。若R 有壹，则S 是否一定有壹？若S 有壹，

则R 是否一定有壹？

7．设D 是集合S 上的整除关系，以下部分序集是否是格？

(1)S={2, 4, 6, 8, 12, 24, 48}

(2)S={2, 3, 6, 12, 24, 36}

8．循环群的子群是否一定是正规子群？无限循环群的子群是否一定是无限循

环群？

9．设f 是代数系统(A, *)到(B, )的同态映射，如果(A, *)半群，则同态象(f(A), )

也一定是半群么？如果f 是满射，(B, )也一定是半群么？

10．设L 是格，L S 。如果),(S 是),(L 的子格，则),,(S 也一定是)

,,(L 的子格吗？

二、计算题（每题5分，共20分）

1．设G 是4次对称群，H 是由{I, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}作成的子群，求H 的所

有右陪集。

2．设G={1，5，7，11}，(G , 12)为群，其中12为模12的乘法，请给出所有

元素的周期和逆元，以及（G , 12）的真子群的个数。3．在R 7中求多项式x+3除3x 5-2x 4+4x 3-5x+1的商式和余式。

4．设Z 18={0, 1, 2,

…, 17}，(Z 18, 18, 18)是模18的整数环，18和18分别为模18的加法和乘法。写出Z 18的所有极大理想及其所对应的剩余环。

三、(10 分) 设(R, +, )是环，如果半群(R , )中的每个元素都是等幂元，即对任意的a R ，都有a a=a 。证明：(R, +, )是交换环。

四、(10 分) 设(L, )为格，与之等价的代数格为。

(1) 任取a,b,c,d L ，若a b ，c d ，证明：a c b d ，a c b d ；

(2) 任取a,b L ，且a b 。令S={x|x L 且a x b}。证明：< S,>是< L, >的子格。

五、(15 分)证明或者反驳：(1) (8分)f(x)= x 53x 27在R 0上不可约；(2) (7分)f(x)= x 52x 2+10在R 0上不可约。

六、(10 分) 构造一个9元域并写出其运算表（给出含主对角线的上三角即可）。

七、(5 分)设Z n={0, 1, 2, …, n-1}，(Z n ,n)为模n加法群。证明：(Z4 ,4)到(Z5 ,5)之间仅有一种同态映射。