标准正交

合集下载
相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1 1,1,1,1, 2 1,1,1,1, 3 2,1,1,3
正交.
思考题解答
解 设所求向量为x (a, b, c, d ),则由题意可得 :
a2 b2 c2 d 2 1, a b c d 0, a b c d 0,
2a b c 3d 0.
解之可得: x (2
Rn )的一个基,如果e1 , e2 , , er两两正交且都是单位 向量,则称e1 , e2 , , er是V的一个规范正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 0 0 0
1
00,
几何解释 上的投影向量,即 a3
b3
c2 [a2 , b1 ] b1 b1 b1
[a2 ,b1] b1 2
b1
,
b2 a2 c2;
c3 为a3 在平行于b1 , b2的
c32
c3
c31
c2
b2 a2
平面上的投影向量,
a1 b1
由于b1 b2 ,故 c3等于a3分别在b1,b2上的投影
向量c31及 c32之和,即
4* 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是两
r
两正交
的非
零向量组,


1
,
2
,
,

r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1
1 1, 2 2
1
1
正交,试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
5 规范正交基
定义3 设n维向量 e1 , e2 , , er是向量空间 V (V
定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的行向量都
是单位向量且两两正交.
定义5 若 P 为正交阵,则线性变换y Px 称为正
交变换.
性质 正交变换保持向量的长度不变.
证明 设y Px为正交变换,
则有 y yT y xT PT Px xT x x .
例5 判别下列矩阵是否为正交阵.
1
1 1
2
c3
c31
c32
[a3
,
b1]
2
b1
[a3
,
b2]
2
b2
,
b3 a3 c3 .
b1
b2
例4

知a1
1 1,
求一组
非零向量a
2
,
a
3
,
使
a1
,
a
2
,
1
a3 两两正交. 解
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵 .
定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都 是单位向量且两两正交.
范正交化 . 若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
(1)正交化,(施密特正交化)
b1 a1
b2 b3
a2 a3
[[bbbb1111,,,,abab1213]]bb11,
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
1 8 4
2
9 8
9 1
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9Байду номын сангаас
7 9
例6* 验证矩阵
1 1 1 1
2 1
22 1 1
2 1
P
2 1
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
所以P是正交矩阵.
五、小结
1.将一组基规范正交化的方法: 先用施密特正交化方法将基正交化,然后再将
其单位化. 2. A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立:
1 A1 AT ; 2 AAT E; 3 A的列向量是两两正交的单位向量;
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
思考题
求一单位向量,使它与
例2 用施密特正交化方法,将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化. 解
1 1 4
例3

a1
2
,a2
3
,
a
3
1
,
试用施密
1 1 0
特正交化过程把这组向量规范正交化.

b1 c2
a1; 为a2在
b1
2 ,0,
13 ,)
13 26 26

x (2 2 ,0, 1 , 3 ).
13 26 26
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
思考
规范正交基比一般的基、正交基由什么好 处呢?
6 求规范正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
3 正交向量组的性质
定理1
若n维向量1,
2,
,
是一组两两正交的
r
非零向量,则1,2, ,r线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
(2)单位化,取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .
相关文档
最新文档