2019年河北高中数学竞赛试题参考解答与评分标准

2019年河北高中数学竞赛试题参考解答与评分标准

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

【一】选择题〔本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多项选择、不选、错选均不得分，每题5分，共50分〕 1. 53[

,]42ππθ∈

D 〕

A 、2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ 解答：因为53[

,]42ππθ∈

cos sin cos sin θθθθ

--+ 2cos θ=。正确答案为D 。

2、如果复数()()21a i i ++的模为4，那么实数A 的值为〔 C 〕

2 B. 2±

D. ±

42a =?=±。正确答案为C 。 那么P 是Q 的〔B 〕

A.充分且必要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.非充分且非必要条件

解答：P 是Q 的充分非必要条件。正确答案为B 。

4.过椭圆2

212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，那么AB 为〔C 〕

A.

B.

C.3

D.

解答：椭圆的右焦点为〔1，0〕，那么弦AB为

1,

y x

=-代入椭圆方程得

2

12

4

3400,

33

x x x x AB

-=?==?==

。正确答案为C。

5.函数

150

()

510

x

x

x

f x

x

-

?-≥

=?

-<

?，那么该函数为〔A〕

单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数

C.单调增加函数、偶函数

D.单调递减函数、奇函数

解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。

6.设有一立体的三视图如下，那么该立体体积为〔A〕

正视图侧视图俯视图〔圆和正方形〕

A.4＋

5

2

π

B.4＋

3

2

π

C.4＋2

π

D.4＋π

解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一

部分〔2

π

〕，所以该几何体的体积为

5

22134

22

ππ

π

??+-=+

。正确

答案为A。

7、某程序框图如右图所示，现将输出〔

,)

x y值依

次记为：1122

(,),(,),,(,),;

n n

x y x y x y

假设程序运行中

输出的一个数组是

(,10),

x-那么数组中的x=〔B〕

A、64

B、32

C、16

D、8

答案经计算32

x=。正确答案为B。

8.在平面区域

{}

(,)||1,||1

x y x y

≤≤

上恒有

22

ax by

-≤，那么动

点

(,)

P a b所形成平面区域的面积为〔A〕

A.4

B.8

C.16

D.32

2

2

3

1

解答：平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点〔—1，—1〕，〔—1，1〕，〔1，—1〕，〔1，1〕满足22ax by -≤，即有

22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤

由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。正确答案为A 。

9.函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π??????上有两个零点，那么M 的取值范围为〔C 〕 A.1, 12

?? ???B 1, 12??????C.1, 12??????D.1, 12?? ??? 解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π=-与直线y m =在0,2π??????上有两个交点，

所以M 的取值范围为1, 12

??????。正确答案为C 。 10.[1,1]a ∈-，那么2(4)420x a x a +-+->的解为〔C 〕

A.3x >或2x <

B.2x >或1x <

C.3x >或1x <

D.13x <<

解答：不等式的左端看成a 的一次函数，

2()(2)(44)f a x a x x =-+-+ 由

22(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>?<或3x >。 正确答案为C 。

【二】填空题〔本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分〕

11.

函数()2sin

2x f x x =的最小正周期为＿＿＿＿＿＿4π＿＿＿＿。 解答：最小正周期为4π。

12.等差数列

{}n a 前15项的和15S ＝30，那么1815a a a ++＝＿＿＿＿6＿＿＿＿＿＿＿.

解答：由1513072S a d =?+=，而181513(7)6a a a a d ++=+=。

13.向量(1,sin )a θ=

，(cos b θ=，R θ∈，那么a b -的取值范围为【1，3】。

解答：(1cos a b -=-=

3，最小值为1，取值范围为【1，3】。

14.直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ?是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点〔含端点〕，D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。那么直线,AP PE 的夹角为＿90＿。

解答：因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ⊥BC ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以 AD ⊥PE ，又PE ⊥PD ，PE ⊥平面APD ，所以PE ⊥PD 。即夹角为90。

15、设y x ,为实数，那么=+=+)(max 22104522y x x y x ＿＿＿＿＿4＿＿＿＿＿＿＿＿。

解答：

222254104105002x y x y x x x +=?=-≥?≤≤ 22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-?+≤

16.马路上有编号为1，2，3，…，2017的2017只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，那么满足条件的关灯

方法共有＿＿＿3001710C ＿＿＿＿＿＿＿种。〔用组合数符号表示〕

解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有3001710C 种关灯方法。

17.设z y x ,,为整数，且3,3333=++=++z y x z y x ，那么

=++222z y x ＿3或57＿。

解答：将3z x y =--代入

3333=++z y x 得到 8

3()9xy x y x y =+-++，因为,x y 都是整数，所以

1428,,,,25116x y x y x y x y xy xy xy xy +=+=+=+=????????====????前两个方程组无解；后两个方程组解

得1;4,5x y z x y z ======-。所以

=++222z y x 3或57。 【三】解答题〔本大题共3小题，每题17分，共计51分〕

18.设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。

解答：当

20,(1)1,x y x ≤=--+ 当

20,(1)1,x y x >=--－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分