人教a版数学【选修2-2】练习：2.1.1类比推理(含答案)

选修2-2第二章 2.1 2.1.1第2课时

一、选择题

1．下面几种推理是合情推理的是()

①由圆的性质类比出球的有关性质

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°

③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)

A．①②B．①③④

C．①②④D．②④

[答案] C

[解析]①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．

2．(2013·华池一中期中)平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和

为定值

3

2a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为()

A．

4

3a B．

6

3a

C．

5

4a D．

6

4a

[答案] B

[解析]将正三角形一边上的高

3

2a类比到正四面体一个面上的高

6

3a，由正三角形

“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．

3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是()

A．①②B．②③

C．③④D．①④

[答案] B

[解析] 根据立体几何中线面之间的位置关系知，②③是正确的结论．

4．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝

2S

a ＋

b ＋c

；类比这个结论可

知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )

A ．V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

B ．2V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

C ．3V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

D ．4V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

[答案] C

[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数1

3

，从而可知选C.

证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝1

3S 1r

＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4

. 5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b >0?a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0?a >b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2?a ＝c ，b ＝d ”；

③若“a ，b ∈R ，则a －b ＝0?a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0?a ＝b ”．其中类比结论正确的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[答案] C

[解析] 在实数集中，a >b ?a －b >0，但在复数集中，不全为实数的两个数不能比较大小，如a ＝2＋i ，b ＝1＋i ，有a －b ＝1>0，但a >b 不成立；∵a 、b 、c 、d ∈Q ，∴a －c ，b

－d ∈Q ，∵a ＋b 2＝c ＋d 2，∴(a －c )＋(b －d )2＝0，∴????? a －c ＝0b －d ＝0，∴?????

a ＝c

b ＝d

，故②正确；由复数相等的定义知，若a ＝x 1＋y 1i(x 1、y 1∈R )，b ＝x 2＋y 2i(x 2、y 2∈R )，则由a －b ＝(x 1

－x 2)＋(y 1－y 2)i ＝0?????? x 1－x 2＝0y 1－y 2＝0，∴?????

x 1＝x 2y 1＝y 2

，∴a ＝b ，故③正确． 6．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；

②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；

④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a

b ”．

其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

[答案] B

[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 二、填空题 7．设f (x )＝

1

2x

＋2

，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．

[答案] 3 2

[解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (0)＋f (1)]，

而当x 1＋x 2＝1时，有f (x 1)＋f (x 2)＝12x 1＋2＋1

2x 2＋2

＝22＋(2x 1＋2x 2)2(2x 1＋2x 2)＋2x 1＋x 2＋2＝22＋(2x 1＋2x 2)

2(2x 1＋2x 2＋22)

＝

12＝22

，故所求答案为6×2

2＝3 2.

8．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．

[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)

[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，

而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝(19－2n )(a n ＋1＋a 19－n )

2

＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n

时的情形．

由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n

＋1

＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到

答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．

解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，故在等比数列{b n }中，由b 9＝1，可知应有“积”的性质b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－

n (n ＜17，n ∈N

*

)成立. (1)

证明如下：当n ＜8时，等式(1)为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b n b n ＋1…b 17－n ， 即：b n ＋1·b n ＋2…b 17－n ＝1.(2) ∵b 9＝1，∴b k ＋1·b 17－k ＝b 29＝1.

∴b n ＋1b n ＋2…b 17－n ＝b 17－2n

9

＝1.

∴(2)式成立，即(1)式成立；

当n ＝8时，(1)式即：b 9＝1显然成立； 当8＜n ＜17时，(1)式即：

b 1b 2…b 17－n ·b 18－n ·…b n ＝b 1b 2…b 17－n ， 即：b 18－n ·b 19－n …b n ＝1(3) ∵b 9＝1，∴b 18－k ·b k ＝b 29＝1，

∴b 18－n b 19－n ·…·b n ＝b 2n －17

9

＝1，

∴(3)式成立，即(1)式成立．

综上可知，当等比数列{b n }满足b 9＝1时，有： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立．

9．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，前n 项积为T n ，类比等差数列的性质，填写等比数列的相应性质(m ，n ，k ，w ∈N *).

[n 1n m m n k w ＝2w ，则a m ·a n ＝a 2w T n ，T 2n T n ，T 3n

T 2n

构成等比数列 三、解答题

10．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．

(1)已知a 、b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .

(2)已知a 、b 、c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c . [解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.

(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ， ∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .

[点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab )·c ＋1＞ab ＋c 是关键．

用归纳推理可推出更一般的结论：a i 为实数，|a i |＜1，i ＝1、2、…、n ，则有：a 1a 2…a n

＋(n －1)＞a 1＋a 2＋…＋a n .

一、选择题

11．下列类比推理恰当的是( )

A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y

B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y

C ．把(ab )n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n

D ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c [答案] D

[解析] 选项A ，B ，C 没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误． 12．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →

时，其离心率为5－12，

此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )

A ．

5＋1

2

B ．

5－1

2

C ．5－1

D ．5＋1

[答案] A

[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， ∴FB →＝(c ，b )，AB →

＝(－a ，b )， 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0， ∴c 2－a 2－ac ＝0， ∴e 2－e －1＝0，

∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，

故应选A.

13．(2013·辽师大附中期中)类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边长的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质：

(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的1

4

(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3) D ．都不对

[答案] C

[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．

二、填空题

14．(2014·阜阳一中模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .由类比推理可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝________.

[答案] b 2n －

1n

[解析] 将等差数列前n 项和类比到等比数列前n 项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .所以类比

可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝b 2n －

1

n .

15．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________．

[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·

S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的

射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·

S △DBC . 16．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则圆的面积S 圆＝πr 2，过点P

的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2

.在椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半

轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S 椭圆＝________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭

圆的切线方程为________．

[答案] πab

x 1a 2·x ＋y 1

b

2·y ＝1 [解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S 椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0

r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为

x 1a 2·x ＋y 1

b

2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 三、解答题 17．点P ??

??

22

，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y ＝1与圆相交，点R ????

12，12在圆C 的内部．直线12x ＋1

2y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？

[解析] 点P (a ，b )在⊙C ：x 2＋y 2＝r 2上时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相切；点P 在⊙C 内时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相离；点P 在⊙C 外部时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相交．容易证明此结论是正确的．

18．我们知道：

12＝ 1， 22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……

n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1， 左右两边分别相加，得

n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ∴1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

2

.

类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ，

S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)． 已知

13＝ 1， 23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……

n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1. 将左右两边分别相加，得

S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n .

由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)

6

.