2012四川大学数学分析考研真题

四川大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试题

一.极限问题（每小题8分，共32分）

1.设集合

?≠A ，A sup =α，A ?α. 证明A 中存在严格单调递增数列}{n x ，满足α=∞→n n x lim .

2.设a x =0，b x =1)0(b a <<，且1

1-+=n n n x x x ，)1(≥n .证明}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim . 3.求4

01sin lim 2

x x x e x x --→. 4. 求)

1ln(cos cos lim 230+-→x x x x .

二.计算积分（每小题8分，共32分）

1.求dx x

x x ?-1

010052011ln . 2.设)(x f 在]1,0[上可积，且满足dx x f x f x x ?=-1022)()()(ln ，求dx x f ?1

0)(的值.

3.计算

ds z y x L ?++)2(2，其中L 为球面1222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线. 4.计算?+-L y x ydx xdy 2

22，其中L 是圆周222)2(r y x =+-（0>r ，0≠r ），取逆时针方向. 5.计算dxdy z dzdx z y dydz y x S )2()()2(+++++??

其中S 为椭球面122

2222=++c

z b y a x 的上半部分，其方向为下侧.

三.(15分)设正项级数∑∞=1n n a 发散，且∑==n k k n a S 1，讨论∑∞=1n n n S a α的敛散性，其中0>α.

四.（15分）讨论函数 ??

???=≠++=)0,0(),(0)0,0(),(1sin )(),(2

22y x y x y x y x y x f 的偏导数x f ，y f 在原点的连续性和

f 在原点的可微性.

五.（15分）设)(x f 在)2,0(上二阶可导，0)1(''>f . 证明:存在)2,0(,21∈x x ，使得

1212)()()1('x x x f x f f --=.

六.（12分）设连续函数

R R f →:在所有无理数处取有理数值，且1)0(=f ，求)(x f .

七.（每小题7分，共21分）设

dt t t xt x f ?+∞+=12)

1(sin )(,),(∞-∞∈x 证明：1.证明积分dt t t xt ?+∞+1

2)1(sin 关于x 在),(∞-∞一致收敛 2.证明

0)(lim =+∞→x f x 3.证明

)(x f 在),(∞-∞上一致连续.