2021届厦门第一中学高三12月月考数学试题及答案

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一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案。

1.如果集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,4,8A =，{}1,3,4,7B =，那么()U A B =

A ．{4}

B ．{1，3，4，5，6，7}

C ．{1，3，7}

D ．{2，8}

2.已知复数z 满足(1)35z i i +=+，则z 的共轭复数z = A ．4i -

B ．4i +

C ．1i --

D ．1i -+

3.等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4. 设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ的一个充分条件是 A ．存在两条异面直线a ，b ，a α?，b β?，a β，b α B ．存在一条直线a ，a α，a β C ．存在一条直线a ，a α?，a β

D ．存在两条平行直线a ，b ，a α?，b α?且a β，b β

5.学生甲、乙、丙报名参加校园文化活动，活动共有四个项目，每入限报其中一项， 则甲所报活动与乙、丙都不同的概率等于

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A ．34

B ．

916

C ．

3281

D ．38

6.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ?，空气的温度是0C θ?，t min 后物体的

温度C θ?可由公式0.24010()t e θθθθ-=+-求得．把温度是100C ?的物体，放在10C ?的空气中冷却 t min 后，物体的温度是40C ?，那么t 的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)

A ．6.61

B ．4.58

C ．2.89

D ．1.69

7.已知O 为ABC ?的外心，260OA OB OC ++=，则ACB ∠的正弦值为

B.

12

C.38

8.设抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，与圆22430x y x +-+= 交于点,P Q ，其中点A ，P 在第一象限，则2||||AP QB

+的最小值为 A ．3

B ．5

C ．5

D ．3

二、多选题：本大题4小题，全选对得5分，选对但不全得3分，选错或不答得0分。

9. 在61

()x x

-的展开式中，下列说法正确的有 A ．所有项的二项式系数和为64 B ．所有项的系数和为0

C ．常数项为20

D ．展开式中不含2x 项

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10.已知函数()23sin 22cos 1f x x x -+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12

，纵坐标

保持不变，得到函数()y g x =的图象，若()()124g x g x ?=-，则12x x -的值可能为

A ．54

π B ．34

π C ．

2

π D ．

4

π

11. 已知1F ，2F 是双曲线22

22:1(0,0)x y E a b a b

-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为3π的直线分别

交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1||||PM MF =，下列判断正确的是

A ．216

PF F π

∠=

B ．211

||||2

MF PF =

C ．E 的离心率等于23+

D ．

E 的渐近线方程为2y x =±

12.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形状 多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信 形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形 围成的多面体，古希腊著名数学家阿基米德研究过此类多面体的性质，

故半正多面体又被称为“阿基米德多面体”．半正多面体体现了数学的对称美，如图，是一个 棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1． 则下列关于该多面体的说法中正确的是 A .多面体有12个顶点，14个面

B .多面体的表面积为3

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C .多面体的体积为56

D .多面体没有外接球(即经过多面体所有顶点的球)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校高三年段有三个班级，人数分别为1班40人、2班45人、3班50人，在一次考试中， 三个班级的平均分数分别为81分、86分、90分，则这次考试该年段学生的平均分数为 ▲ ．

14.若,αβ为锐角，tan α，tan β是方程2670x x -+=的两个根，则αβ+= ▲ ．

15.定义在R 的偶函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则不等式(1)0xf x -≤的解集是 ▲ .

16.已知正项等比数列{}n a 中，42516, 15a a a a -=-=，则n a =_▲_，

数列{}n b 满足1111

, 21n n

b b b +==-；若n S 为数列{}1n n a b +的前n 项和，那么3n S =_▲_.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

把解答过程填写在答题卡的相应位置。

17.(本小题10分)

已知在ABC ?中，C ∠为钝角，()3sin 5

A B +=，()1

sin 5A B -=．

(1)求证：tan 2tan A B =；

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(2)设6AB =，求AB 边上的高．

18.(本小题12分)

厦门市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光． 交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了200人，得到 如图示的列联表：

闯红灯 不闯红灯 合计 年龄不超过45岁 6 74 80 年龄超过45岁

24 96 120 合计

30

170

200

(1)能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？

(2)如图是某路口监控设备抓拍的5个月内市民闯红灯人数的统计图．请建立y 与x 的 回归方程???y

bx a =+，并估计该路口6月份闯红灯人数． 附：22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，122

1

?n

i i

i n

i i x y nxy

b x nx ==-=-∑∑，??a y bx =- 2()P K k 0.050

0.025 0.0010 0.005 0.001

k 3.841

5.024

6.635

7.879 10.828

参考数据：5

1

685i i y ==∑，1

1966i i i x y ==∑.

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19.(本小题12分)

如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2

ACB π

∠=

，

,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2CD DE ==22CE EB ==.

(1)证明：ED ⊥平面PCD ； (2)求二面角A PD C --的余弦值.

20. (本小题12分)

在①

1

2

n n S a n +=；②12n n n a a S +=；③()()

22221231216

n n n n a a a a ++++++=

这三个条件中

任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

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已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，满足

. (1)求{}n a 的通项公式；

(2)若n T 为数列{}

2

n

a 的前n 项和，记1

2

n n n n T b T T ++=

?，求证：1212

n b b b ++

+<

.

21. (本小题12分)

已知椭圆22

22:1(0)x y a b a b

Γ+=>>在右、上顶点分别为A 、B ，F 是椭圆Γ

的左焦点，

23,P ??

? ???

是椭圆Γ上的点，且|OB|=|OF|(O 是坐标原点). (1)求椭圆Γ的方程；

(2)设直线l 与椭圆Γ相切于点M(M 在第二象限)，过O 作直线l 的平行线与直线MF 相交于点N, 问：线段MN 的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

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22.已知函数()ln f x x ax =- (1)讨论()f x 的单调性；

(2)若()1212,x x x x <是()f x 的两个零点．

证明：(i)122x x a

+>

；

(ii)21x x a

->

．

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厦门一中2020-2021学年高三上12月考 数学答案

一、单项选择题： 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B 7.D 8.D

8.因为圆的方程为22430x y x +-+=即为22(2)1x y -+=，所以圆心(2,0)，半径1R =， 因为2||||2(||)(||)AP QB AF R BF R +=-+-，所以2||||2||||3AP QB AF BF +=+-， 因为||22A A p AF x x =+

=+，||22

B B p

BF x x =+=+，所以2||||23A B AP QB x x +=++， 设:2l x my =+，所以22

8x my y x

=+??=?，整理得22(48)40x m -++=，所以4A B x x =，

则2||||2323423A B A B AP QB x x x x +=+++=+，当2A x =，22B x =时取等号，

二、多项选择题： 9.AB 10.ABD 11. BC 12.AC

12.可将半正多面体补成棱长为1的正方体，故其顶点是正方体各棱的中点.

半正多面体的棱长为2

，表面积为22

3228633S ??

??=?

?+?=+ ? ? ? ?????

， 体积可看作正方体扣去八个三棱锥，3

115

18626

V ??∴=-??= ???

又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以有外接球.

三、填空题：

13. 86

14.34

π 15. (][],10,3-∞-

16. 12

n -

，81

7

n - 四、解答题：

17.（1）证明：

()3sin 5A B +=，3

sin cos cos sin 5

A B A B ∴+=，

又

sin cos cos sin A B A B -1

5

=

2sin cos 5A B ∴=

，1

cos sin 5

A B =tan 2tan A B ∴= ····························· 4分 （2）解：由（1）知()4cos 5A B +=

，()3

tan 4

A B ∴+= ····························· 5分

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即：tan tan 31tan tan 4

A B A B +=-，

将tan 2tan A B =代入上式并整理得：22tan 4tan 10B B +-= 又因为B 为锐角，tan 0B >

，所以解得tan B =

，

tan 2tan 2A B ∴==． ······························································· 7分

设AB 上的高为CD

，则26tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+==， ··········· 9分

得)2

2CD =，故AB

边上的高为)

2

2． ·································· 10分

18.解： （1）设0:H 闯红灯的行为与年龄无关； ······························1分

由列联表计算2

2

200(6967424) 5.882 5.0243017080120

K ??-?=≈>???， ·

··························· 3分 所以假设不成立，在犯错误概率不超过0.025的前提下可认为闯红灯的行为与年龄有关 即有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．-------------------------------------------5分

（2）由题意得，1

(12345)35

x =?++++=，-------------------------------------------6分

1

(158143134130120)1375

y =?++++=；-------------------------------------------7分

所以5

12

5

2

1

5196653137

?8.95559

5i

i i i i

x y

xy

b

x

x ==--??===--?-∑∑，-------------------------------------------9分

??137(8.9)3163.7a

y bx =-=--?=，-------------------------------------------10分 所以y 与x 的回归方程?8.9163.7y

x =-+，-------------------------------------------11分 6x =时，?8.96163.7110.3y

=-?+=；估计该路口6月份闯红灯人数为110（或111）．---12分

19.解：

（1）PC ⊥平面ABC ，DE ?平面ABC ，PC DE ∴⊥

．22CD DE CE EB ====，-------2分

CDE ∴?为等腰直角三角形，CD DE ∴⊥．PC CD C =，

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DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，DE ∴⊥平面PCD ．--------------4分

（2）由（1）知，CDE ?为等腰直角三角形，4

DCE π

∠=

．

如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，则1DF FC FE ===，又已知1EB =，故2FB =． 由2

ACB π

∠=

，得//DF AC ，

23DF FB AC BC ==，故33

22

AC DF ==． 以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的

正方向建立空间直角坐标系，----------------------------------------------------------------------7分

则(0C ，0，0)，(0P ，0，3)，3

(2

A ，0，0)，(0E ，2，0)，(1D ，1，0)，

(1ED =，1-，0)，(1DP =-，1-，3)，1

(2DA =，1-，0)．-------------------------------8分

设平面PAD 的法向量为1(n x =，1y ，1)z ，

由0n DP =，0n DA =，得1111130102

x y z x y --+=??

?-=??，取12x =，

得(2n =，1，1)．

由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量(1m BD ==，1-，0)，----------------10分 3cos ,||||m n m n m n <>=

=，故所求二面角A PD C --3

．---------------------------12分

20.解：

① 在横线上填写

1

2

n n S a n +=.解：即12n n S na +=，（i ）1n =时，122S a =，即22a = （ii ）1n >时，12(1)n n S n a -=-，作差得12(1)n n n a na n a +=--，即1(1)n n n a na ++=

即

11n n a a n n +=+，即1211121

n n a a a a n n +====+ 综上n a n =.

解：（i ）1n =时，1212a a S =，即22a =

（ii ）1n >时，112n n n a a S --=，作差得11()2n n n n a a a a +--=，又0n a >即112n n a a +--=

即21212k k a a +--=，21{}k a -是以1位首项，2位公差的等差数列.则2121k a k -=-

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同理2+222k k a a -=，2{}k a 是以2位首项，2位公差的等差数列.则22k a k = 综上n a n =.

（i ）1n =时，11a =， （ii ）1n >时，()()

22221231

1216

n n n n a a a a

---+++

+=

， 作差得()()()()

2

212112166

n n n n n n n a n ++--=

-=，又0n a >即n a n =.

综上n a n =.------------------------6分

（2）1

2

12(12)

2222212

n n

n n T +-=+++==--，

1111111111

2211n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T b T T T T b T T T T T T T T T T T T +++++++++++--======-?????

所以12n+21223

1111111

1111111=

+++

==2222

n n n n b b b T T T T T T T T +++++-----<------------12分 21.解：（1）由题意可得222

22311

24b c a b c a

b ??=?=+???+=?，解得22a =，21b =，21

c =，

∴椭圆C 的方程为2

212

x y +=；---------------------------4分

（2）设0(M x ，0)y ，

M 在第二象限，故切线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为()00y k x x y =-+，即00y kx y kx =+-，与椭圆2

221x y +=联立，整理得：

2220000(12)4()2()20k x k y kx x y kx ++-+--= (*)

因为直线与椭圆相切，所以△2222000016()8[()1](12)0k y kx y kx k =----+=----------------6分

整理得2220

000

(2)210x k

kx y y -++-= ① 又因为点0(x ，0)y 在椭圆上，所以22

0012x y +=代入①

得22

2

200

0002202x y k kx y k ++=+=，所以002x

k y =-， 所以切线方程为0

000

()2x y y x x y -=-

-，即220000222x x y y y x +=+=；---------------------8分

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①(1,

2M -，直线:1MF x =-

，则(1,2

N --

,||MN =. ②直线00:(1)1y MF y x x =++，联立两直线方程可得22

00

22

0000

2222N y y x x y x x =-=-+++

2222

22

22

000000022

000(1)+(22)||[1()]()1(1)(2)N y x y y x x MN x x x x x +++=+-=?+++

2

2

02

0022

00(211)(22)2(1)(2)x x x x x x +++-+=?++2

00202(44)=2(2)x x x ++=+

，||MN =为定值. 22.解：（1）()f x 定义域()0,+∞，()11ax

f x a x x

-'=

-=

则当0a ≤时，()'0f x > ，()f x 在()0,+∞为增函数； ····························· 1分

当0a >时，()10,,'0x f x a ??∈> ???，()f x 在10,a ??

???

为增函数，

()1,,'0x f x a ??∈+∞< ???在1,a ??

+∞ ???

为减函数 ·········································· 3分 （2）证明：（ⅰ）原不等式等价于

121

2x x a

+>， 因为11ln ax x =① 22ln ax x =② 由②-①得，()2121ln ln a x x x x -=-则21

21

ln ln x x a x x -=-，

则

1212x x a

+>等价于1221

212ln ln x x x x x x +->

- 因为210x x >>所以21ln ln 0x x ->即证()

212112

2ln ln x x x x x x -->

+ ③

等价于2122

1

1

21ln 01x x x x x x ??- ?

??->+，设21x

t x =，()1t >设()()21ln 1t g t t t -=-+，()1t >

③等价于()0g t >，()()()()

2

22

112011t g t t t t t -'=-=>++

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()g t 在()1,+∞上为增函．212211

21ln 01x x x x x x ??- ???->+，()()10g t g >=，即121

2x x a +>------7

分

（ⅱ）设()ln x h x x =

，则()2

1ln x

h x x -'= 所以()h x 在(]0,e 上递增，在(),e +∞上递减 因为()a h x =有两个不相等的实根，则1

0a e

<<

且121x e x <<< 易知ln 1x x <-对()()0,11,x ∈?+∞恒成立，则1

ln

1x x

>-对()0,1x ∈恒成立 1111

1ln 1ln

1x e

ax x e x -=-=>-，因为10x >，所以21120ax x e -+> 又因为0a >，440ae ?=->

，所以11x a <

或11x a > 因为10x e <<且10a e

<<

，所以11x a <

因为1212x x a +>

，所以121112x x x a a ?+->- ??

即21x x a

->

·········································································· 12分