湖南大学物理(2)第16章课后习题参考答案

第16章 电磁场

一、选择题

1(A)，2(A)，3(C)，4(C)，5(D)，6(D)，7(C)，8(B)，9(D)，10(A) 二、填空题

(1). )2/cos(/d d π+==t A NbB t x NbB ωωε 或t NBbA ωωεsin =. (2). πBnR 2, O . (3). 相同(或22

1R B ω), 沿曲线由中心向外.

(4). 小于, 有关. (5). 0 (6). )8/(2220a I πμ. (7). 9.6 J.

(8). ?????S

S D t d 或 t D /d d Φ , ?????-S S B t d 或 t m /d d Φ-.

(9). 垂直纸面向里. 垂直OP 连线向下.

(10). RC

t RC

E r /002e -πε, 相反

三 计算题

1. 如图所示，有一弯成θ 角的金属架COD 放在磁场中，磁感强

度B

的方向垂直于金属架COD 所在平面．一导体杆MN 垂直于

OD 边，并在金属架上以恒定速度v 向右滑动，v

与MN 垂直．设

t =0时，x = 0．求下列两情形，框架内的感应电动势 i ．

(1) 磁场分布均匀，且B

不随时间改变． (2) 非均匀的时变磁场t Kx B ωcos =．

解：(1) 由法拉第电磁感应定律：

x y xy

B θΦtg 2

1

== t x v =

t B t x x B x B t t i 22tg /d d 2tg 2

1

)tg 21(d d /d d v θθθΦ=-=-

=-= 在导体MN 内 i 方向由M 向N ．

(2) 对于非均匀时变磁场 t Kx B ωcos = 取回路绕行的正向为O →N →M →O ，则 ξηd d d B S B ==Φ θξηtg = ξθωξξθξΦd tg cos d tg d 2

t K B ==

ξθωξΦΦd tg cos d 0

2

t K x

??==θωtg cos 31

3t Kx =

i =t d d Φ-

θωθωωtg cos tg sin 3

1

23t Kx t x K v -= )c o s s i n

3

1(tg 233

t t t t K ωωωθ-=v

N

O

i >0，则 i 方向与所设绕行正向一致， i <0，则 i 方向与所设绕行正向相反．

2. 如图所示，一电荷线密度为λ的长直带电线(与一正方形线圈共面并与其一对边平行)以变速率v =v (t )沿着其长度方向运动，正方形线圈中的总电阻为R ，求t 时刻方形线圈中感应电流i (t )的大小(不计线圈自身的自感)．

解：长直带电线运动相当于电流λ?=)(t I v ． 正方形线圈内的磁通量可如下求出 x a x a I d 2d 0

+?

π=μΦ 2ln 2d 2000

?π

=+π=

?Ia x a x Ia a

μ

μΦ 2ln d d 2d d 0t I a t

i π=-

=μΦ?2ln d )

(d 20t

t a v λμπ=

2ln d )

(d 2)(0

t

t a

R

R

t i i

v λμπ=

=

?

3. 求长度为L 的金属杆在均匀磁场B

中绕平行于磁场方向的定轴

OO ＇转动时的动生电动势．已知杆相对于均匀磁场B

的方位角为θ，

杆的角速度为ω，转向如图所示．

解：在距O 点为l 处的d l 线元中的动生电动势为

d l B

d )(??=v θωsin l =v

∴ ???π=?=L

d cos

)21sin(v d )v (l B l B L α

??==

Λ

θωθθωL

l l B l lB 0

2

d sin sin d sin

θω2

2sin 2

1BL =

的方向沿着杆指向上端

4. 有一很长的长方的U 形导轨，与水平面成θ角，裸导线

ab 可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感强度B

竖直向上的均匀磁场中，如图所示．设导线ab 的质量为m ，电阻为R ，长度为l ，导轨的电阻略去不计，abcd 形成电路，t =0

时，v =0. 试求：导线ab 下滑的速度v 与时间t 的函数关系．

解：ab 导线在磁场中运动产生的感应电动势 θcos v Bl i =?

a

O

O

B

?v

d

abcd 回路中流过的电流 θcos R

Bl R I i

i v ==

? ab 载流导线在磁场中受到的安培力沿导轨方向上的分力为： θθθcos cos cos Bl R

Bl Bl I F i v ==

由牛顿第二定律： t m Bl R Bl mg d d cos cos sin v

v =-θθθ m R

l B g t θ

θ2

22cos sin d d v v

-

= 令 θsin g A =，)/(cos 222mR l B c θ= 则 )/(d d v v c A t -=

利用t = 0，v = 0 有

???---=-=v

v v v v v 0

00)d(1d c A c A c c A d t t A

c A c

t v

--=ln

1 ∴ )e 1(cos sin )e 1(2

2

2ct ct

l B mgR c A ---=-=θ

θv

5. 一根长为l ，质量为m ，电阻为R 的导线ab 沿两平行的导电轨道无摩擦下滑，如图所示．轨道平面的倾角为θ，导线ab 与轨道组成矩

形闭合导电回路abdc ．整个系统处在竖直向上的均匀磁场B

中，忽略

轨道电阻．求ab 导线下滑所达到的稳定速度．

解∶动生电动势θcos Bl i v =? R

Bl R

I i

θ

cos v =

=

? 导线受到的安培力 lB I f m =

ab 导线下滑达到稳定速度时重力和磁力在导轨方向的分力相平衡 θθcos sin m f mg =

θθ

θcos cos sin lB R

Bl mg v =

∴ θ

θ

222cos sin l B mgR =v

6. 如图所示，一个恒力F 作用在质量为m ，长为l 垂直于导轨滑动的裸导线上，该导线两端通过导体轨与电阻R

相通(导线电阻也计入R )．导线从静止开始，在均匀磁场B

中运动，其速度v

的方向与B 和导线皆垂直，假定滑动是

无摩擦的且忽略导线与电阻R 形成的回路的自感，试求导

线的速度与时间的关系式．

解：在均匀磁场中运动导线切割磁力线，在导线上产生的动生电动势： =v Bl ．式 中l 为导线的长度，v 为其运动的速度．

导线中电流为： R Bl R I //v == 根据安培力公式，导线受磁力 R l B lB I f /22v ==

f 和F

方向相反．

导线运动的微分方程为： v v R l B F t m 2

2d d -= 其解为： )exp()(2

222t mR l B G l

B RF t -?+=v 其中 exp(x ) =e x , G 为待定常量．当t =0，v =0，求得)/(22l B RF G -=，故

)]exp(1[)(222

2t mR l B l

B RF t --=v

7. 两线圈顺接，如图(a)，1、4间的总自感为1.0 H ．在它们的形状和位置都不变的情况下，如图(b)那样反接后1、3之间的总自感为0.4 H ．求两线圈之间的互感系数．

解：设顺接的总自感为L S ，反接的总自感为L F ． ∵ M L L L S 221++= M L L L F 221-+=

∴ 4/)(F S L L M -== 0.15 H

8. 同轴电缆由半径为R 1的实心圆柱形导体和半径为R 2(R 2 > R 1)的薄圆筒(忽略壁厚)构成，在圆柱体和薄筒之间充满相对磁导率为μr 的绝缘材料，求同轴电缆单位长度上的自感系数(设柱形导体磁导率为μ0).

解：设电流为I ．当0 < r < R 1， )2/(2

11R rI H π= 磁能密度为

)8/(2

1

412220210R I r H w π==

μμ 单位长度内贮存的磁能为 π

=

ππ

==??

16d 28d 2

00

41

2

2

20111

I r r R

I r V w W R V

μμ

当R 1 < r < R 2，

)2/(2r I H π=

磁能密度为 )8/(2

1

22202202r I H w r r π==

μμμμ r r r

I V w W R R r V d 28d 2

12

22022ππ==??μμ12

20ln 4R R I r π=μμ 2

212

1LI W W W =

+= 123

(a)

顺接

(b) 反接

∴ 1

2

00

ln

28R R L r

π

+

π

=

μμμ

9. 一根电缆由半径为R 1和R 2的两个薄圆筒形导体组成，在两圆筒中间填充磁导率为μ 的均匀磁介质．电缆内层导体通电流I ，外层导体作为电流返回路径，如图所示．求长度为l 的一段电缆内的磁场储存的能量．

解：

?∑?=i I l H d ， I rH =π2 (R 1< r < R 2)

r I H π=

2， r I

H B π==2μμ 2

2

22)2(22r I B w m π=

=μμμ l r r w V w W m m m ?π==d 2d d r rl r I d 2)2(22

2

ππ=

μ

∴ ?

?π

=

=2

1

2

1

d 4d 2R R R R m m r

r

l I W W μ1

2

2ln

4R R l

I π

=

μ

四 研讨题

1. 我们考虑这样一个例子: 设一个半径为R 的导体圆盘绕通过其中心的垂直轴在磁场中作角速度为ω的匀速转动,并假设磁场B 均匀且与轴线平行,如图所示。显然,如果在圆盘中心和转动着的圆盘边缘用导线连成导体回路,该回路中会有感应电流通过。这表明在圆盘中心和圆盘边缘之间产生了感应电动势。从动生电动势的角度来看,导体圆盘在转动过程中不断切割磁感应线,当然产生感应电动势；但从法拉第电磁感应定律出发,穿过以转动着的圆盘作为一部分的导体回路的磁通量并未发生任何变化,感应电动势的产生似乎是矛盾的。物理学家费曼(见《费曼物理学讲义》中译本第2卷第195页)称其为“通量法则”(即法拉第电磁感应定律)的一个例外。法拉第电磁感应定律真的有这个例外吗?

参考解答：

法拉第电磁感应定律真的有例外吗? 当然没有,作为一个基本定律,法拉第电磁感应定律不应该也不可能出现任何例外。

法拉第电磁感应定律：

???-=Φ-

=S S B t

t d d d

d d ε 如果磁通量的变化仅仅是由构成回路的一段导线的运动所引起的，则由上式所求得的感

应电动势当然就是该运动导线的动生电动势，这里S 也就是导线运动过程中所扫过的面积。有必要明确指出： 法拉第电磁感应定律中所涉及的“回路” 必须是一个闭合的数学曲线。 所以在用法拉第电磁感应定律动生电动势时，所直接涉及的运动导体必须是线状导体即导线，而对于非线状导体就不能再简单笼统地应用法拉第电磁感应定律了。

在前面的例子中，

问题的关键就恰恰在于运动导体不是线状导体

而是一个圆盘， 当考虑导体圆盘绕通过其中心的垂直轴转动而在其中心和边缘之间产生的感应电动势时， 我们可以把导体圆盘看成是由无限多个长度为R 的理想的线状导体在半径为R 的圆周和圆心之间密集排列所形成的，对于构成圆盘的某一条长度为R 的导线(设为OP )来说，无论是由动生电动势还是由法拉第电磁感应定律均会得到完全相同的结果： 动生电动势： l B l B d d )(v v -=??

，l l B l B d d d ?-=-=ωεv

ωωεε22

1d d BL l l B L

o oa -=?-==??

法拉第电磁感应定律：

)2

(d d )(d d |d d |||θ

εl l t B BS t t ?==Φ=ωθ2221d 2d Bl t B l ==

方向都是从中心O 指向圆盘的边缘。

只要明确“闭合回路”的确切含义，法拉第电磁感应定律对于动生电动势的问题是普遍适用的， 即法拉第电磁感应定律没有任何例外。

2. 变压器的铁心为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？

参考解答：

变压器的铁心由高导磁材料硅钢片制成，它的导磁系数μ约为空气的导磁系数的2000倍以上。大部分磁通都在铁心中流动，主磁通约占总磁通的99％以上，而漏磁通占总磁通的1％以下。也就是说没有铁心，变压器的效率会很低。 变压器的铁心做成片状并涂上绝缘漆相互隔开，是为了阻断铁心中涡流的通路，以减少铁心中的涡流发热。铁片放置的方向应沿着线圈中磁场的方向，绝不可以使铁片与磁场的方向垂直，否则铁心中的涡流仍将很大。

3. 金属探测器的探头内通入脉冲电流，才能测到埋在地下的金属物品发回的电磁信号。能否用恒定电流来探测？埋在地下的金属为什么能发回电磁信号？

参考解答：

当金属探测器的探头内通入脉冲电流（变化电流）时，它就会产生变化的磁场，从而使位于地下的金属物品中产生感应电流。这个感应电流是随时间变化的电流，变化的电流又可以产生变化的磁场，因而金属物品可以发回电磁信号，这样就能探测到埋在地下的金属物品。如果探头内通入的是恒定电流，金属物品中就不会有感应电流，不能发回电磁信号，也就无法探测到地下的金属物品。因此，探头中不能通入恒定电流。

金属探测器的电路框图