高等数学数学基础综合练习题解答

高等数学基础综合练习题解答

一．填空题 1

．函数ln(1)

y x =

-的定义域为 12x x >≠且 。

()40410121ln 1011

x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-

≠⎩⎩

解：且

2．函数

y =

的定义域是

12x -<< 。 2

101

1222

40x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<

<->⎩⎩解： 3．函数

3

y x =

-的定义域是

23x x ≥-≠且 。

202

303

x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨

⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-, 则)(x f 246x x -+ 。 解: 设2x t +=, 则2x t =-且原式2(2)2f x x +=-

即()2()22f t t =--＝242t t -+ 亦即()f x =242x x -+ 4．若函数

4

(1),

(),

x x x f x k x ⎧⎪

-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续, 则k =

4e - 。

()()()

()()()

()41

440

4

lim lim 1lim ,lim 1(0)x x

x x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0

函数f x 在x=0连0 续x 则f f

5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。

曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()0

00x y y y x x '-=-

解: ()001x x x y e -=='=-=-, 00001x y e ===时，

1(0)1y x y x -=--⇒-=-,

6. 函数ln(3)

1

x y x +=

+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。

初等函数在其定义区间连续。

ln(3)

1x y x +=+⇒3010x x +>⎧⎨+≠⎩

⇒3x >-且1x ≠-⇒()()3,1,1,---+∞

7．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。

()

()

1111

ln 1,0111

x x x y x x

y x y x ===''

==

=∴-=-⇒=-解：

8. 设函数(ln 2)y f x =可导, 则=dy 1'(ln 2)f x dx x

。 解: 'dy y dx =＝[](ln 2)'f x dx ＝()'(ln 2)ln 2'f x x dx ＝()1

'(ln 2)

2'2f x x dx x

＝()1'(ln 2)

2'2f x x dx x ＝1

'(ln 2)f x dx x

9.( 判断单调性、 凹凸性) 曲线321

233

y x x x =-+在区间()2,3内是

单调递减且凹 。

解: ()()24331,230y x x x x x y ''=-+=--<<<⇒当时，曲线下降

20y x y ''''=⇒

>⇒－4曲线是凹的

10．设2()1f x x =+, 则'))((x f f 241x + 。

解: ()2'()1'2f x x x =+=, ()()22(())22141f f x f x x x '==+=+, 11．1

31(1cos )x x dx --=⎰ 0 。

解: 3x 是奇函数; 1cos x 和是偶函数, 由于偶+偶=偶, 则1cos x -是偶函数,

因为奇⨯偶＝奇, 因此3x ()1cos x -是奇函数, []1,1-是对称区间 奇函数在对称区间上的积分为零

12．1

1(x x dx -=⎰ 23

。

解: 11(x x dx -=⎰121(x dx --=⎰11

211x dx ---⎰⎰

( 奇⨯偶＝奇) , 故1

10-=⎰;

而2

x 是偶函数, 故1

1

1

2

230102223

3

x dx x dx x -===

⎰⎰ 13．设()()F x f x '=, 则(ln 3)

f x dx x

=⎰ ()ln3F x C + 。 解:

()()11

ln 3ln 3ln 3x dx x dx d x x x ''=∴== ()()1

(ln 3)ln 3ln 3ln 3f x dx f x d x F x C x

==+⎰⎰

14．已知()()F x f x '=, 则2(1)xf x dx -=⎰ ()21

12

F x C -+ 。 解: ()()()()()22222

111(1)12111222

xf x dx f x xdx f x d x F x C -=

-=--=-+⎰⎰⎰ 15．设()F x 为()f x 的原函数, 那么(sin )cos f x xdx =⎰ ()sin F x C + 。 分析: ()F x 为()f x 的原函数⇒()()f u du F u C =+⎰, cos sin xdx d x = 解: ()()(sin )cos sin sin sin f x xdx f x d x F x C ==+⎰⎰

16．设()f x 的一个原函数是sin x , 则()f x '= sin x - 。

解: ()f x 的一个原函数为()F x ⇒()f x ＝'()F x ⇒()f x '=()sin ''x ＝