函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质

基础知识：

1.奇偶性

（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f (－x )与f (x )的关系；

③作出相应结论：

若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；

若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；

②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇

2.单调性

（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

（2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

（3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：

①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]

在A 上是增函数；

②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

①任取x 1，x 2∈D ，且x 1

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

④若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.

3.函数的周期性

如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.

性质：

①如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期.

②若周期函数f (x )的周期为T ，则)(x f ω（0≠ω）是周期函数，且周期为||ωT

。

③若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2

(a

对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.

例题： 1.11x y x -=+的递减区间是 ；)23(log 22

1-+-=x x y 的单调递增区间是 。 2.函数)112lg()(-+=x

x f 的图象（ ） A.关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线x y =对称

3.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当0≥x 时，)1(log )(3x x f +=，则=-)2(f 。

4.定义在R 上的偶函数)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，若)(x f 在]0,2[-上递增，则（ ）

A.)5.5()1(f f > B ．)5.5()1(f f < C ．)5.5()1(f f = D ．以上都不对

5.讨论函数x

x x f 1)(+=的单调性。 6.已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。

7.已知函数)(x f 的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有)1()1()(++-=x f x f x f 。若2004)0(=f ，求)2004(f 。

习题：

题型一：判断函数的奇偶性

1.以下函数：（1）)0(1≠=x x y ；（2）14+=x y ；（3）x

y 2=；（4）x y 2log =；（5）

)1(log 2

2++=x x y ，(6)221)(2

-+-=x x x f ；其中奇函数是 ，偶函数是 ，非奇非偶函数是 。

2.已知函数)(x f =11++-x x ,那么)(x f 是( )

A.奇函数而非偶函数

B. 偶函数而非奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既非奇函数也非偶函数

题型二：奇偶性的应用

1.已知偶函数)(x f 和奇函数)(x g 的定义域都是(-4,4),它们在(]0,4-上的图像分别如 图（2-3）所示，则关于x 的不等式0)()(

y=g(x)-4-2y=f(x)

-2-40

x y x 0图(2-3)

2.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f ____

3.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）

A.()sin f x x =

B.()1f x x =-+

C.()1()2x x f x a a -=+

D.2()ln 2x f x x

-=+ 4.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0

解析式为 。

5.若()f x 是偶函数,且当[)0,x ∈+∞时, ()1f x x =-,则()10f x -<的解集是（ ）

A.{}10x x -<<

B. {}012x x x <<<或

C. {}02x x <<

D. {}

12x x << 题型三：判断证明函数的单调性 1.判断并证明12)(+=

x x f 在),0(+∞上的单调性 2.判断122)(2-+-=x x x f 在)0,(-∞上的单调性

题型四：函数的单调区间

1.求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间。

2.下列函数中，在)0,(-∞上为增函数的是（ ）

A.842+-=x x y

B.)0(3≥+=a ax y

C.12+-=x y

D.)(log 2

1x y -= 3.函数x x x f 1)(+

=的一个单调递增区间是（ ） A.()∞+,0 B.()0,∞- C.(]1,

0 D.[)+∞,1 4.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( ) A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=

x

4 D.y=x 2-4x+3 5.函数y=245x x --的递增区间是( )

A.(-∞，-2)

B.[-5，-2]

C.[-2，1]

D.[1，+∞)

题型五：单调性的应用

1.函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )

A.[3，+∞ )

B.(-∞，-3]

C.{-3}

D.(-∞，5]

2.已知函数f(x)=2x 2-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)时是减函数，则f(1)等于( )

A.-3

B.13

C.7

D.由m 而决定的常数．

3.若函数7)(23-++=bx ax x x f 在R 上单调递增，则实数a , b 一定满足的条件是（ ）

A ．032<-b a B.032>-b a C ．032=-b a D ．132

<-b a 4.函数1)(],1,1[,223)(≥-∈--+=x f x a b ax x f 若恒成立，则b 的最小值为 。

5.已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0，解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0。 题型六：周期问题

1.奇函数)(x f 以3为最小正周期，3)1(=f ，则)47(f 为( )

A.3

B.6

C.-3

D.-6

2.设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，f (x )在(0,3)内单调递增，且y=f (x )的图象关于直线x =3对称，则下面正确的结论是( )

A.f (1.5)

B.f (3.5)

C.f (6.5)

D.f (3.5)

3.已知()x f 为偶函数,且()()x f x f -=+22,当02≤≤-x 时,()x

x f 2=,则()2006f =（ ）

A ．2006

B ．4

C ．4-

D ． 4

1 4.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____

5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期.

6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数,

求证:2m 是f(x)的一个周期.

7、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.