数值分析报告应用举例

《数值分析》综合举例

一、名词解释

1、模型误差：从复杂的实际问题中抽象出数学模型,需要忽略某些次要因素,这种近似产生的误差叫做模型误差；

2、相对误差限：绝对误差与精确值之比，即()

()r x x x

εε=，称为*

x 的相对误差。若存在0

η>使

()r x εη≤，则称η为相对误差限；

3、有效数字：若近似数*

x 的绝对误差限小于某一数位上的半个单位，且该位直到*

x 的第一

位非零数字共有n 位，则称该近似数*

x 有n 位有效数字；

4、矩阵的条件数：设A 为可逆矩阵，则1

A A -称为矩阵A 的条件数，记为Cond(A)；

5、迭代法的局部收敛：设x *

为()x g x =在区间I 上的的一个不动点，若存在x *

的一个邻

域S I ?，对任意的0x S ∈，相应的迭代格式()1k k x g x +=产生的序列{}k x S ?，且{}k x 收敛于x *

，则称迭代法的局部收敛；

6、插值型求积公式：若求积公式()()0

n

b

k

k

a

k I f x dx A f x ==

≈∑?中的求积系数K

A

是由插值

公式确定的，则称该求积公式为插值型求积公式；

7、代数精度：若求积公式()()0

n

b

k

k

a

k I f x dx A f x ==≈∑?对于任意不高于m 次的多项式准确

成立，而对1

m x

+却不能准确成立，则称该求积公式的代数精度为.m

8、数值解的局部截断误差：设()i i y y x =，且1i y +是由某近似公式算出的近似值，则

()111i i i R y x y +++=-称为数值解公式的局部截断误差。

二、填空题

1、数2.71838和2.71828分别作为 e 的近似值有 4 ， 6 位有效数字；

2、已知 1111A -??

= ???

,则 1||||A = 2 ,Cond ∞)(A = 2 .

三、基本计算题

1、已知变量y x ,的一组数据对点如下

试求关于以上数据的形如y be =的拟合曲线. 解:由y=be

ax

两边取对数，可化为：lny(x)=lnb+ax.取Ω=span{1,x},计算可得：

5lnb+7.5a=9.404， 7.5lnb+11.875a=14.422

解之，有lnb ≈1.122,a ≈0.5056,于是有lny 1*

(x) ≈1.122+0.5056x.从而有

y 1*(x) ≈13.071e x 5056.0。

2、已知变量

y x ,的一组数据对点如下

试求关于以上数据的形如y be =的拟合曲线. 解:由y=be

ax

两边取对数，可化为：lny(x)=lnb+ax.取Ω=span{1,x},计算可得：

9lnb+45a=13.383， 45lnb+285a=80.513

解之，有lnb ≈0.352,a ≈0.2266,于是有lny 1*

(x) ≈0.352+0.2266x.从而有

y 1*(x) ≈1.422e 0.2266x 3、已知一个三次方程为32

4100x x +

-=，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造一

种收敛的迭代格式，计算该方程在1.5附近的一个根(4

10-=ε).

解：格式1: 1φ（x ）=（x

+410

）1

2

取x 0=1.5，用以上2种格式计算，结果如下表：

若用Newton 法计算，取x 0=1.5，计算可得:124、已知一个三次方程为3

10x x --=，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造一种收敛的迭代格式，计算该方程在1.5附近的一个根(4

10-=ε).

解：取x 0=1.5，用收敛迭代格式计算，结果为： 1.3245x *

≈

5、用龙贝格积分法求1

x I e dx =?

的近似值，其中

1 1.8591409T ≈

2 1.7539311T ≈ 4 1.7272219T ≈ 8 1.7205186T ≈

解:由公式2441n n n T T S -=-，222441

n n

n S S C -=-，264641n n n

C C R -=-计算可得： 1

1.7182818x I e dx =≈?

6、用龙贝格积分法求dx x x

I ?=

1

sin 的近似值，其中 9207355.01≈T 9397933.02≈T 9445135.04≈T 9456909.08≈T

解:由公式2441n n n T T S -=-，222441

n n

n S S C -=-，264641n n n

C C R -=-计算可得： 1

sin 0.9460831x I dx x =≈?

7、用改进的欧拉格式(预估—校正方法)求初值问题2

1,0

1(0)2

dy y x x dx

y ?=-+>???

?=??

的近似解)(x y （取步长0.2h =，小数点后至少保留七位）.

解: 由改进的Euler 方法,有

y 1+n =y n +2

h [ y n -x 2n +1+ y n +( y n -x 2n +1)-(x n +h)2+1],

用h=0.2代入，有

y 1+n =1.22 y n -0.22 x 2n -0.44 x n +0.216，n=0，1………

X n 改进Euler 方法y n

0.8

2.11020357

8、用改进的欧拉格式(预估—校正方法)求初值问题,0

(0)1;0.2

dy

x y x dx y h ?=+≥???==?的近似解)(x y （取

步长0.2h =，小数点后至少保留七位）.

解: 由改进的Euler 方法,并用h=0.2代入，有

y 1+n =1.4y n +0.22x n +0.02, n=0，1,…

故(0.8) 2.6510y ≈ 四、综合计算题

1、设四阶方阵2012432226516312A ????

--?

?=??---??-??

1）用紧凑格式求单位下三角阵L 和上三角阵U 使A LU =；

12112143117L ?? ?- ?= ?-- ? ?- ???, 201

2342145227U ?? ? ?= ? ?

?- ??

?

2）用以上LU 分解，求解方程组AX b =,其中()5,1,4,10T

b =--

(1,1,1,1)T X =

2、设四阶方阵

?????????

???=30

10

342110100201

A ,

1）用紧凑格式求单位下三角阵L 和上三角阵U 使A LU =；

1011210101L ?? ?

?= ? ???, 1020101212U ?? ? ?= ? ???

2）用以上LU 分解，求解方程组AX b =,其中()5,3,17,7T

b =；

(1,1,2,2)T X =

五、证明与讨论题

1、证明复化梯形公式的余项为2

[](),[,]12

T b a R f h f a b ηη-''=-

?∈。 证:利用梯形公式在各小区间上的余项之和,再由积分中值定理与介值定理可证.详见教材

P156光年与课件之讨论。

2、设B 为n 阶方阵，I 为 n 阶单位阵。且1

1）B I +为非奇异矩阵； 2）1

1

()1I B B

-+≤

-.

证:证明详见教材P11中定理1。5。

3、证明：在][x P 中存在一个次数不高于2次的多项式2()P x 满足：

222(0)0,(1)1,(2) 1.

P P P ===

解:

再由牛顿基本插值公式可得:22()22

P x x x =-

+。