我的精品题库试题 (曲一线科学备考)_20140104_211005

1.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;

(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.

2.(2012安徽,19,13分)设函数f(x)=ae x++b(a>0).

(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;

(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.

3.(2012重庆,16,13分)设f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于y轴.

(1)求a的值;

(2)求函数f(x)的极值.

4. (2012大纲全国,20,12分)设函数f(x)=ax+cos x,x∈[0,π].

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设f(x)≤1+sin x,求a的取值范围.

5.(2012湖北,17,12分)已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2cos ωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈. （1）求函数f(x)的最小正周期

（2）若y=f(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围

6.(2012湖北,18,12分)已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.

(1)求等差数列{a n}的通项公式;

(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.

8.(2012河北高三模拟，21，12分)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时, f(x)有极小值. (1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;

(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围;

(3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f '(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点.

9. (2012沈阳高三模拟，21,12分)已知椭圆+=1(a>b>0)与x轴、y轴的正半轴分别交于

A、B两点,原点O到直线AB的距离为,该椭圆的离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在过点P的直线l与椭圆交于M,N两个不同的点,使=4成立?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.

10.(2013高考仿真试题一，20,12分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作直线l 与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于点C.

(1)证明:∠ACF=∠BCF;

(2)求∠ACB的最大值,并求∠ACB取得最大值时线段AB的长.

11.(2013高考仿真试题二，20，12分)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点.

(1)求椭圆的方程;

(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.

12.(2013高考仿真试题三，20,12分)已知圆x2+y2=1过椭圆+=1(a>b>0)的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切,与椭圆+=1相交于A,B两点. 记λ=·,且≤λ≤.

(1)求椭圆的方程;

(2)求k的取值范围;

(3)求△OAB的面积S的取值范围.

13. (2013高考仿真试题五，21,12分)已知函数f(x)=aln x+x2-(1+a)x,其中a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围;

(3)证明:对于任意正整数m,n,不等式++…+>恒成立.

14.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,20,10分）已知,,其中

(e是自然常数）.

（Ⅰ）求的单调性和极小值；

（Ⅱ）求证：在上单调递增；

（Ⅲ）求证：.

15. (2012江西省临川一中、师大附中联考，20,13分）已知函数，a∈R．

（1）若a＝－4，求函数f(x)的单调区间；

（2）求y＝f(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）．

16. (2012北京海淀区高三11月月考，19,14分）已知函数

．

（Ⅰ）若在处取得极大值，求实数的值；

（Ⅱ）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；（Ⅲ）若，求在区间上的最大值．

17.(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，21,14分）已知函数在

上为增函数，且，，．

（1）求的值；

（2）当时，求函数的单调区间和极值；

（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

18.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，22,14分）设.

（Ⅰ）若对一切恒成立，求的最大值.

（Ⅱ）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线AB的斜率恒大于常数，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：.

答案

理数1.(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.

因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f

'(1)=g'(1).

即a+1=1+b,且2a=3+b.

解得a=3,b=3.

(2)记h(x)=f(x)+g(x). 当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1, h'(x)=3x2+2ax+a2.

令h'(x)=0,得x1=-,x2=-.

a>0时,h(x)与h'(x)的情况如下:

x

-∞,

--

-,

-

-

-,

+∞

h'(x) + 0 - 0 +

h(x) ↗↘↗

所以函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间为.

当-≥-1,即0

函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-a2.

当-<-1,且-≥-1,即2

函数h(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.

当-<-1,即a>6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间

上单调递增.

又因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)2>0,

所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1. 2.(1)f '(x)=ae x-,

当f '(x)>0,即x>-ln a时, f(x)在(-ln a,+∞)上递增;

当f '(x)<0,即x<-ln a时, f(x)在(-∞,-ln a)上递减.

(i)当00, f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-ln a)=2+b;

(ii)当a≥1时,-ln a≤0, f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b. (2)依题意f '(2)=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-(舍去).

所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=.

故a=,b=. 3.(1)因f(x)=aln x++x+1,故f '(x)=-+.

由于曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f '(1)=0,从而a-+=0,解得a=-1.

(2)由(1)知

f(x)=-ln x++x+1(x>0),

f '(x)=--+=

=.

令f '(x)=0,解得x1=1,x2=-因x2=-不在定义域内,舍去.

当x∈(0,1)时, f '(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;

当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数.

故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3. 4.(1)f '(x)=a-sin x. (2分)

(i)当a≥1时,f '(x)≥0,且仅当a=1,x=时, f '(x)=0,所以f(x)在[0,π]上是增函数;

(ii)当a≤0时, f '(x)≤0,且仅当a=0,x=0或x=π时, f '(x)=0,所以f(x)在[0,π]上是减函数; (iii)当0

当x∈[0,x1)时,sin x0, f(x)是增函数;

当x∈(x1,x2)时,sin x>a, f '(x)<0, f(x)是减函数;

当x∈(x2,π]时,sin x0, f(x)是增函数. (6分)

(2)由f(x)≤1+sin x得f(π)≤1,aπ-1≤1,所以a≤.

令g(x)=sin x-x,则g'(x)=cos x-.

当x∈时,g'(x)>0,

当x∈时,g'(x)<0.

又g(0)=g=0,所以g(x)≥0,

即x≤sin x. (9分)

当a≤时,有f(x)≤x+cos x.

(i)当0≤x≤时,x≤sin x,cos x≤1,

所以f(x)≤1+sin x;

(ii)当≤x≤π时, f(x)≤x+cos x=1+-sin≤1+sin x.

综上,a的取值范围是. (12分) 5. (1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωx·cos ωx+λ

=-cos 2ωx+sin 2ωx+λ

=2sin+λ.

由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin=±1,

所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),即ω=+(k∈Z).

又ω∈,k∈Z,所以k=1,故ω=.

所以f(x)的最小正周期是.

(2)由y=f(x)的图象过点,

得f=0,

即λ=-2sin=-2sin=-,

即λ=-.

故f(x)=2sin-,

由0≤x≤,有-≤x-≤,

所以-≤sin≤1,

得-1-≤2sin-≤2-,

故函数f(x)在上的取值范围为[-1-,2-]. 6. (1)设等差数列{a n}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得

解得或

所以由等差数列通项公式可得a n=2-3(n-1)=-3n+5或a n=-4+3(n-1)=3n-7.

故a n=-3n+5或a n=3n-7.

(2)当a n=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;

当a n=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.

故|a n|=|3n-7|=

记数列{|a n|}的前n项和为S n.

当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;

当n≥3时,S n=S2+|a3|+|a4|+…+|a n|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)

=5+=n2-n+10.

当n=2时,满足此式,

综上,S n=7.(1)当n=k∈N+时,S n=-n2+kn取最大值,即

8=S k=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,

从而a n=S n-S n-1=-n(n≥2).

又a1=S1=,所以a n=-n.

(2)因为b n==,

T n=b1+b2+…+b n=1+++…++,

所以T n=2T n-T n=2+1++…+-=4--=4-. 8.(1)因为f(x)=x4+bx2+cx+d,

所以f '(x)=x3-12x+c. 设h(x)=x3-12x+c,(2分)

由题意知,方程h(x)=0有三个互异的实根,∵h'(x)=3x2-12,令h'(x)=0,得x=±2.

x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) h'(x) + 0 - 0 +

h(x) 增c+16(极大值) 减c-16(极小值) 增

所以故-16分)

(2)存在c∈(-16,16),使f '(x)≥0,即x3-12x≥-c,

所以x3-12x>-16,即(x-2)2(x+4)>0,(*)

在区间[m-2,m+2]上恒成立. (6分)

所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集,

所以或m-2>2,即-2或m>4. (8分)

(3)证明:由题设,可得存在α,β∈R,使f '(x)=x3+2bx+c

=(x-t1)(x2+αx+β),且x2+αx+β≥0恒成立. (9分)

又f '(t2)=0,且在x=t2两侧同号,

所以f '(x)=(x-t1)(x-t2)2. (10分)

另一方面,g'(x)=x3+2bx+c-(x-t1)=x3+(2b-1)x+t1+c=(x-t1)[(x-t2)2-1].

因为t12,且t2-t1<1,所以-11-t22<0.

所以0<(x-t2)2<1,所以(x-t2)2-1<0,而x-t1>0,

所以g'(x)<0,所以g(x)在(t1,t2)内单调递减.

从而g(x)在(t1,t2)内最多有一个零点. (12分)9.(Ⅰ)由题意得,直线AB的方程为

bx+ay-ab=0(a>b>0),(1分)

由=及=,得a=2,b=1. (3分)

所以椭圆的方程为+y2=1. (4分)

(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,M(0,-1),N(0,1),易知符合条件,此时直线l的方程为x=0. (6分) 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+,

代入+y2=1得(9+36k2)x2+120kx+64=0.

由Δ=14 400k2-256(9+36k2)>0,解得k2>.

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,①

x1x2=,②(9分)

由=4得x1=4x2,③(10分)

由①②③消去x1,x2,得=,

即=1,无解.

综上,存在符合条件的直线l,且其方程为x=0. (12分)10.(1)证明:由题设知,F,C, 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+,

代入抛物线方程y2=2px,得y2-2pmy-p2=0.

则y1+y2=2pm,y1y2=-p2. (4分)

不妨设y1>0,y2<0,则

tan∠ACF=====,

tan∠BCF=-=-,

∴tan∠ACF=tan∠BCF,又∠ACF,∠BCF∈(0,π),

∴∠ACF=∠BCF. (8分)

(2)如(1)所设y1>0,tan∠ACF=≤=1,当且仅当y1=p时取等号,此时∠ACF取最大值

,∠ACB=2∠ACF取最大值,

并且A,B,|AB|=2p. (12分)

失分警示:(1)不能准确地得出∠ACF与∠BCF的正切值.

(2)没有注意到∠ACF取得最大值时,y1=p. 11.(1)由题意可设椭圆方程为

+=1(a>b>0),

则解得

所以椭圆方程为+y2=1. (4分)

(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,OP,OQ的斜率存在,

故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0且m≠±1),P(x1,y1),Q(x2,y2),

由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,

Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,

且x1+x2=,x1x2=.

故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.

因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,

所以·==k2,

即+m2=0,

又m≠0,所以k2=,即k=±.

又m≠±1,且Δ>0,∴02<2且m2≠1.

又S△OPQ=|x1-x2||m|=|m|=,所以S△OPQ的取值范围为(0,1). (12分) 失分警示:根据直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列求出k的值,从而用m表示出

S△OPQ. 12.(1)由题意知2c=2,c=1.

因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而b=1,故a=,

所以所求椭圆方程为+y2=1. (3分)

(2)因为直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,

所以原点O到直线l的距离为=1,即m2=k2+1. (5分)

由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. (7分)

λ=·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=,由≤λ≤,得≤k2≤1,

即k的取值范围是∪. (9分)

(3)|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2-,由≤k2≤1,得≤|AB|≤. (11分)

设△OAB的AB边上的高为d,则S=|AB|d=|AB|,

所以≤S≤. (12分)

失分警示:(1)没有将几何关系转化为代数式;(2)计算时不细心或不耐心. 13.f

'(x)=+x-(1+a)==.

(1)当a≤0时,若0则f '(x)<0,若x>1,则f '(x)>0,故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞);

当0时,随着x的变化, f '(x),f(x)的变化情况如下表:

x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∞)

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以函数f(x)的单调递增区间是(0,a),(1,+∞),单调递减区间是(a,1).

当a=1时,f '(x)=≥0,函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞);

当a>1时,同理可得,函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a,+∞),单调递减区间是(1,a). (4分) (2)由于f(1)=--a,显然当a>0时, f(1)<0,此时f(x)≥0不是恒成立的;当a≤0时,根据(1)知,函数f(x)在区间(0,+∞)上的极小值,也是最小值,为f(1)=--a,此时只要f(1)≥0即可,解得a≤-, 故实数a的取值范围是. (7分)

(3)证明:由(2)得,当a=-时, f(x)=-ln x+x2-·x≥0,当且仅当x=1时等号成立,即ln x≤x2-x,当x>1时,可以变换为>=,(9分)

在上面不等式中分别令x取m+1,m+2,…,m+n,

然后不等式两边再相加得

++…+>++…+=+

+…+=-=.

所以++…+>. (12分)

失分警示:(1)忽略a=1的情形;(2)在证明第(3)问时,没有注意到(2)的结论. 14.（Ⅰ）函

数的定义域是，，

令，解得；

令，解得.

当变化时，的变化如下表所示：

1

- 0 + 0

↘极小值↗

由表知，函数单调递减区间是，单调递增区间是，的极小值为. ------（4分）

（Ⅱ）函数的定义域是，，

当时，，∴，

∴在上是增函数. ------（7分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数在上的最小值为，

∴，，

由（Ⅱ）知函数在上的最大值是，

∴，

即不等式成立. ------（10分）15.（1）函数的定义域是

.，

，……..3分

令，解得；令，解得.

所以函数的单调递增区间为（-1,3），单调递减区间为（3,+∞）. ……….5分（2）函数的定义域是，

.

，

此时函数在定义域上是减函数，不存在极值点. ……..7分

当时，关于的方程

令，解得，………………9分

则，

若，则，

令，解得；令，解得，或.

当变化时，的变化如下表所示：

- 0 + 0 -

↘极小值↗极大值↘

由表知，函数的极小值点；极大值点是. ……………..11分

若，，

令，解得；令，解得.

当变化时，的变化如下表所示：

+ 0 -

↗极大值↘

由表知，函数的极大值点是，不存在极小值点.

……………..12分

综上所得，当时，函数不存在极值点；当时，函数的极小值点

，极大值点是；当时，函数的极大值点是

，不存在极小值点. ……………..13分16.（Ⅰ）

，………………2分

令，解得，，

令，解得或；令，解得.

当变化时，，随的变化情况如下表：

0 0

增极大值减极小值增

………………4分

由表知，函数在处取得极大值，

所以. ………………5分

（II），………………6分

因为，直线都不是曲线的切线，

所以对成立，………………7分

则只要的最小值，

所以. ………………8分

(III) ，，

因为所以

当时，对成立，在R上是增函数，

所以当时，取得最大值；………………9分

当时，在时，，是增函数，

在时，，是减函数，

所以当时，取得最大值；………………10分当时，在时，，单调递减，

所以当时，取得最大值；………………11分

当时，在时，，是减函数，

在时，，是增函数，

又，

当时，在取得最大值，

当时，在取得最大值，

当时，在，处都取得最大值.

综上所得，

当或时，取得最大值；

当时，在，处都取得最大值；

当时，在取得最大值；

当时，取得最大值. ………………14分17.（1）

，

又函数在上为增函数，∴，即恒成立，

∵，∴，∴在上恒成立，

即在上恒成立，

又在的最大值是1，∴，

又，

∴仅有.……………………4分