斐波那契数列与黄金分割教学教材
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斐波那契(Leonardo Pisano来自百度文库
F
ibonacci ; 1170 1250 )
设一对大兔子每月生一对小兔子,每对新生 兔在出生一个月后又下崽,假若兔子都不死 亡. 问:一对兔子,一年能繁殖成多少对兔 子? (取自斐波那契的《算盘书》(1202年))
1月 1对
2 月 1对
1 月 1对
古希腊的数学家不必说了,中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170—1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒(Kepler, 1571—1630),以及当代的一些著名科学家都 对它十分关注,并投入了大量的精力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在 1202年提出这样一个 问题
斐波那契数有时也称松果数,因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,• • •
菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的,仔细观察 向日葵的果实排列,你会发现两组螺旋线一组顺时针盘绕,另一组 逆时针盘绕,并且彼此镶嵌。虽然不同品种的向日葵顺、逆时针和 螺旋线的数量不同,但都不会超过34和55、55和89、89和114这三 组数字。尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定,但它们也并不随机, 它们是斐波那契序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺 旋。 如此的原因很简单:这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分 地利用阳光和空气,所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成 了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响,真实的植物往往没有 完美的斐波那契螺旋。
1个花瓣的 马蹄莲, 2个花瓣的 虎刺梅, 3个花瓣的 延龄草, 5个花瓣的 飞燕草, 8个花瓣的 大波斯菊, 13个花瓣的 瓜叶菊
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,• • •
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F3 F1 F2 1 1 2
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子数
Fn Fn1 Fn2
按照递推公式计算,得到 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数学 家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”,数列中的每一个数称为斐波那契数.
q1
1 2
5
, q2
1 2
5
找到两个等比数列 {a, aq1,K , aq1n1,K } {b, bq2 ,K , bq2n1,K }
还要满足 得
a b 1, aq1 bq2 1.
a q2 1 ,b 1 q1 .
q2 q1
q2 q1
从而斐波那契数列的通项为
自然界美丽的主宰者
——斐波那契数列与黄金分割
上海大学数学实践工作站
1:1.618 =0.618033988749894848 204586834365………
≈0.618
公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯
公元前3世纪古希腊数学家欧几里得
现在我们中学里学的几何学,本质上还是 以《几何原本》为蓝本的.《几何原本》的 手稿今已失传,现在看到的各种版本都是 根据后人的修改本、注释本或翻译本重新 整理出来的,但和《红楼梦》只传下来大 半部手稿的情形不同,基本上仍保留了原 来的内容和状态。
现在我们来找数列的通项
斐波那契数列满足
an an1 an2
我们将斐波那契数列分解为两个等比数列之和,
再将两个等比数列的第n 项相加得到斐波那契数列的通项公式
等比数列的通项公式 代入条件
an a1q n1
an an1 an2
得 解之得两个根
a1qn1 a1qn2 a1qn3
2 月 1对 3 月 2对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对 6 月 8对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对 6 月 8对 7 月 13对
月数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
小兔子对数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
大兔子对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
总数
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 14 4
一年后兔子总数为144对
第一个月兔子数 第二个月兔子数
《几何原本》共十三卷,多处涉及到黄金分割的内容。
在第六卷中讲比例时,给出了如下的定义: 分一线段为二线段,当整体线段比大线段等于大线段比小线段时,
则称此线段被分为中外比。中外比(extreme and mean ratio )后称为黄金 分割。
在同一卷中,给出了分已知线段为中外比的方法及有关的一些 性质。
Fn =aq1n-1+bq2n-1
q2n q2
q1n q1
1 5
1
2
n
5
1
2
5
n
随着数列项数的增加,前 一项与后一项之比越逼 近
0.6180339887……
———黄金分割数
Fn
1 5
1
2
n
5
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如:
• 从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1, 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字,能夠被 2整除
• 第4、第8、第12项的数字,能夠被3整除 • 第 5、第10项的数字,能夠被5整除 • 其余的,如此类推……
1
2
5
n
黄金分割的精确表示
lim Fn 5 1 0.618033989L
F n n1
2
————黄金分割数
黄金分割和斐波那契数列关系非常密切,它们是 数学家玩的数学游戏吗?是数学家凑出来的吗?
不是!!!
大自然中的斐波那契数列与
黄金分割
花瓣的数目
在第二卷(讲面积)、第四卷(讲五边形)中也有所应用。
第八卷整卷在讲正十二面体、正二十面体的构成时,反复地利用了黄 金分割及有关的性质(中译本计39页)。
考虑到欧几里德只是系统总结了当时几何学已有的成就,有关黄金分 割的概念和知识很可能在2500年前就已经有了。
2500年前古希腊数学家毕达哥拉斯
但这样古老的数学内容不仅没有被历史的 演变和科学的进步所淘汰,相反,却永葆青春, 并越来越引起人们的注意和重视。