3.3 导数的综合应用

§3.3 导数的综合应用

(时间：45分钟满分：100分)

一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)

1．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M － m 的值为 .

2．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥4

3，则p 是q 的

条件.

3．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极值，则实数a 的取值范围是 . 4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为 .

5．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是 . 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__________． 7．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________． 8．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是，则点P 纵坐标的取值范围是__________．

9．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．二、解答题(本大题共4小题，共55分)

10．(12分)设函数f(x)＝ax 3－3x 2 (a ∈R)，且x ＝2是y ＝ f(x)的极值点． (1)求实数a 的值，并求函数的单调区间； (2)求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间．

11．(13分)已知实数a ≠0，函数f (x )＝ax (x －2)2 (x ∈R)有极大值32.

(1)求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．

12．(14分)已知x ＝1是函数f(x)＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m <0.

(1)求m 与n 的关系表达式； (2)求f(x)的单调区间；

(3)当x ∈时，函数y ＝f (x )的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围． 13.(16分)已知函数f (x )＝x 2

－mx (m ∈R)，g (x )＝ln x .

(1)记h (x )＝f (x )－ g (x )，当m ＝1时，求函数h (x )的单调区间； (2)若对任意有意义的x ，不等式f (x )>g (x )成立，求m 的取值范围；

(3)求证：当m >1时，方程f (x )＝g (x )有两个不等的实根. 答案

1. 32

2. 充要

3. (－∞，－3)∪(6，＋∞)

4. (2，＋∞)

5. ????0，12

6. a <－3或a >6

7. m<－1

8. ????34，3 9. (－2,2) 10.解 (1)f (x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(2)＝0，即

6(2a －2)＝0，因此a ＝1.

经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．

所以y ＝f (x )的单调增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；单调减区间是(0,2)．

(2)g (x )＝e x (x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x ，因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)，(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)，(0，6)．

11. 解 (1)∵f (x )＝ax 3－4ax 2＋4ax ，

∴f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a ＝a (3x －2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2

或x ＝2.

∵f (x )＝ax (x －2)2 (x ∈R)有极大值32， ∴当x ＝2

3时，f (x )取得极大值32，

即23a ???

?23－22

＝32，∴a ＝27. (2)由(1)知，f (x )＝27x (x －2)2， ∴f ′(x )＝27(3x －2)(x －2)．令f ′(x )>0，则x >2或x <23；

令f ′(x )<0，则2

所以函数f (x )的单调增区间是????－∞，23，(2，＋∞)；单调减区间是????2

3，2. 12. 解 (1)f ′ (x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n.

因为x ＝1是f (x )的一个极值点，所以f ′(1)＝0，即3m －6(m ＋1)＋n ＝0，所以n ＝3m ＋6. (2)由(1)知，f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6

＝3m (x －1)???

?x －????1＋2m . 当m <0时，有1>1＋2

m ，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：

由上表知，当m <0时，f (x )在????－∞，1＋2m ，(1，＋∞)上单调递减，在????1＋2

m ，1上单调递增．

(3)由已知，得f ′(x )>3m ，即mx 2－2(m ＋1)x ＋2>0.

∵m <0，∴x 2

－2m (m ＋1)x ＋2m <0，即x 2－2????1＋1m x ＋2m <0，x ∈．① 设g (x )＝x 2－2????1＋1m x ＋2

m ，其函数图象开口向上．由题意①式恒成立．

∴(1)0(1)0-

1＋2＋2m ＋2m <0，

－1<0

??????

4m <－3，－1<0?m >－43

又m <0，∴－4

∴m 的取值范围是???

?－4

3，0. 13. (1)解当m ＝1时，h (x )＝x 2

－x －ln x (x>0)，

h′(x )＝2x －1－2121

x x x x

--=

＝(x －1)(2x ＋1)

(x >0)，

当0

当x >1时，h′(x )>0，∴h (x )的单调增区间为(1，＋∞). (2)解 f (x )> g (x )等价于x 2

－mx >ln x ，其中x >0，

2ln ln .x x x m x x x

-∴<=-

令t (x )＝x －ln x

x ，得t′(x )＝2

2ln 1x x x

+-，当01时，t′(x )>0. ∴m

(3)证明设h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－mx －ln x ，其中x >0.

∵h′(x )＝2x －m －2121

0,x mx x x

--=

等价于2x 2

－mx － 1＝ 0，此方程有且只有一个正根为x 0

且当x ∈(0，x 0)时，h′(x )<0， ∴h (x )在(0，x 0)上单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，h′(x )>0， ∴h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增；

∴函数只有一个极值h (x )min ＝h (x 0)＝2

0x －mx 0－ln x 0.

当m >1时，x 0＝4

m +关于m 在(1，＋∞)上递增，

∴x 0∈(1，＋∞)，ln x 0>0.

∵m >1，∴(m 2

＋8)－9m 2

＝8(1－m 2

)<03.m <

∴x 0－m －m 0,<

h (x )min =＝h (x 0)＝x

0－mx 0－ln x 0

＝x 0(x 0－m )－ln x 0<0，

当m >1时，方程f (x )＝g (x )有两个不等的实根.

精选-高考数学大二轮复习专题二函数与导数2-3二导数的综合应用练习

2.3（二）导数的综合应用【课时作业】 A 级 1．(2018·昆明市高三摸底调研测试)若函数f (x )＝2x －x 2 －1，对于任意的x ∈Z 且x ∈ (－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为() A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，4] D ．(－∞，5] 解析：对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，可转化为对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，2x ≤x 2 ＋1恒成立．令g (x )＝2x ，h (x )＝x 2 ＋1，当x <0时，g (x )h (x )．综上，实数a 的取值范围为(－∞，5]，故选D. 答案： D 2．已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋ x >0，则函数F (x ) ＝xf (x )＋1 x 的零点个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：由F (x )＝xf (x )＋1 x ＝0，得xf (x )＝－1 x ，设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，因为x ≠0时，有f ′(x )＋x >0，所以x ≠0时，＋x >0，即当x >0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数g (x )单调递增，

此时g (x )>g (0)＝0，当x <0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，此时函数g (x )单调递减，此时g (x )>g (0)＝0，作出函数g (x )和函数y ＝－1 x 的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数 F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数为1个．答案： B 3．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x ) 在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3 －32 x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________．解析： ∵f (x )＝x 3－32 x 2＋1，∴f ′(x )＝3x 2 －3x ，∴f ″(x )＝6x －3.令f ″(x )>0，即 6x －3>0，解得x >12.∴x 的取值范围是? ?? ??12，＋∞. 答案： ? ?? ? ?12，＋∞ 4．已知函数f (x )＝ ex x ，g (x )＝－(x －1)2＋a 2 ，若当x >0时，存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，等价于f (x )min ≤g (x )max . 因为g (x )＝－(x －1)2 ＋a 2 ，x >0，所以当x ＝1时，g (x )max ＝a 2 . 因为f (x )＝ex x ，x >0，所以f ′(x )＝ex·x－ex x2 ＝－x2 . 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝e.

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增，在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ，（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；（2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减；当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值极小值此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。题型二已知单调性求参数取值范围问题例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ，若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

导数的综合应用

导数的综合应用 ★★★高考在考什么【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为（A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0

导数的综合应用公开课教案

§3.4 导数的综合应用基础知识自主学习要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 )(' x f ； (2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)(' x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数 )('x f ；(3)解方程)(' x f ＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)(' x f ＝0的根x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0 处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0 处取极小值． 3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 )(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导； (2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值； (3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b);

(4)比较函数 )(x f 的各极值与f (a)，f (b)的大小，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ； (2)求导数 )(' x f ，解方程)(' x f ＝0； (3)判断使)(' x f ＝0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．基础自测 1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若 )(x f ＝x 3 ＋3ax 2 ＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 __________________________． 3．若函数 )(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为 4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )

导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)

导数的综合应用题型及解法题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程：（1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式；（Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值；求实数 f (x) 总有两个不同的极值（2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ）

3 （A ）（B ）（C ）（D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间（2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 0,函数f (x ) = x 3 - ax 在[1,+∞) 上是单调函数. （1）求实数 a 的取值范围；（2）设 x 0 ≥1， f (x ) ≥1，且 f ( f (x 0 )) = x 0 ，求证： f (x 0 ) = x 0 .

第1讲导数的综合应用

第1讲导数的综合应用 [最新考纲] 1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2．会利用导数解决某些简单的实际问题. 知识梳理 1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．辨析感悟 1．函数最值与不等式(方程)的关系 (1)(教材习题改编)对任意x >0，ax 2＋(3a －1)x ＋a ≥0恒成立的充要条件是a ∈???? ?? 15，＋∞.(√) (2)(2011·辽宁卷改编)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．(√) 2．关于实际应用问题 (3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．(√) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(×) (5)(2014·鹰潭模拟改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单

位：万件)的函数关系式为y＝－1 3x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．(√) [感悟·提升] 1．两个转化一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)． 2．两点注意一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)．二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)；若在开区间内有极值，则一定有最优解. 考点一导数与生活中的优化问题【例1】(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝1 5r(300－4r 2)，从而V(r)＝πr2h＝π 5(300r－4r 3)．

导数的综合应用练习题及答案

导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2 1(2)()[2,2]1f x x = -+； (3)()[0,3]f x =； 2 (4)()1 [1,1]x f x e =-- 解：2 (1)()23 [1,1.5]f x x x =--- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-，使()410f ξξ'=-=，解出14 ξ=。解：2 1(2)()[2,2]1f x x = -+ 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1 (2)5 f = ，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-，使22 2()0(1)f ξ ξξ-'= =+，解出0ξ=。解：(3)()[0,3]f x = 该函数在给定闭区间上连续，其导数为() f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =， (3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈，使()0 f ξ'==，解出2ξ=。解：2 (4)()e 1 [1,1]x f x =-- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2 ()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2 ()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 3 (1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2] f x x =； 32(3)()52 [1,0] f x x x x =-+-- 解：3 (1)()[0,](0)f x x a a =>

第4讲导数的综合应用

第4讲导数的综合应用高考定位在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点? ???? 12，f ? ????12处的切线与y 轴垂直. (1)求b ； (2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1. (1)解 f ′(x )＝3x 2＋b . 依题意得f ′? ?? ?? 12＝0，即34＋b ＝0，故b ＝－34. (2)证明由(1)知f (x )＝x 3－34x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－34.令f ′(x )＝0，解得x ＝－12或x ＝1 2. f ′(x )与f (x )的情况为：因为f (1)＝f ? ???? －12＝c ＋14，所以当c <－1 4时，f (x )只有大于1的零点. 因为f (－1)＝f ? ???? 12＝c －14，所以当c >1 4时，f (x )只有小于－1的零点. 由题设可知－14≤c ≤1 4. 当c ＝－14时，f (x )只有两个零点－1 2和1.

当c ＝14时，f (x )只有两个零点－1和12. 当－140；当x ∈? ?? ?? π2，π时，g ′(x )<0，所以g (x )在? ????0，π2上单调递增，在? ???? π2，π上单调递减. 又g (0)＝0，g ? ???? π2>0，g (π)＝－2，故g (x )在(0，π)存在唯一零点. 所以f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点. (2)解由题设知f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0. 由(1)知，f ′(x )在(0，π)只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，π)上单调递减. 又f (0)＝0，f (π)＝0，所以当x ∈[0，π]时，f (x )≥0. 又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax . 因此，a 的取值范围是(－∞，0]. 考点整合 1.利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.

考点06 函数与导数的综合运用(1)(解析版)

考点06 函数与导数的综合应用（1）【知识框图】【自主热身，归纳提炼】 1、(2016南京学情调研）已知函数f (x )＝1 3x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．【答案】???? 32，4 【解析】因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x ) 在(1,2)上有极值点．解法 1 令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1?(1,2)，因此则需10，解得3 2