浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟(一)试题 Word版 含解析

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1） 姓名_______

一、填空题

1、已知函数1)1(ln )(22+-+=ax x a x f )0(>a ，则=+)1(l

n )(l n a f a f ____________.

2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62=和1)2(:⊙22=+-y x C 上，则AB 的取值范围是____________.

3、若??

? ??

<≤<=20tan 3tan παβαβ，则βα-的最大值为____________.

4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC =BC =1，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得DB =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为____________.

5、已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ，0)2()8(<+-x f mx f 恒成立，则正．

实数．．x 的取值范围为____________.

6、已知向量c ,b ,a 满足)(3::2||:||:||*N k k ∈=，且)(2-=-，若α为c ,a 的夹角，则αcos 的值为____________.

7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.

8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________.

二、解答题

9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ，向量()B C A sin ,sin sin +=p ，向量),(a b c a --=q ，且满足q p ⊥.

(Ⅰ)求△ABC 的内角C 的值；

(Ⅱ)若c =2，2sin2A +sin(2B +C )=sin C ，求△ABC 的面积.

10.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：n n n a a ,a a 22211+==+.

(1)求证：数列{})1lg(+n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式;

(2)若2

11++=

n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1

11.(本小题满分14分)设a ax e x f x --=)(.（e 是自然对数的底数）

(Ⅰ)若0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立，求a 的取值范围；

(Ⅱ)求证：211008)20162015(-

12.(本小题满分15分)设正数x ,y 满足y x y x -=+33，求使12

2≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值.

13.(本小题满分15分)已知椭圆12:22=+y x C 及点)2

1,1(P ，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于点Q .

(1)求点Q 的轨迹方程；

(2)求△ABQ 的面积的最小值.

数学竞赛模拟试卷（1）答案

1.【解析】

22)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222=+-+=++++-+=-+x a x a ax x a ax x a x f x f .

2.【解析】由于1-=AC AB ，则只需要考虑AC 的范围.

，故又2,0,3)1(426)2()2(min 222222=≥++=++=+-=+-=AC x x x x x x y x AC 故AB 的取值范围为[)∝+，1

. 3.【解析】()6

tan 33tan 3tan 12tan 31tan 2tan tan 1tan tan tan 2πβββββαβαβ=≤+=+=+-=-α .2020παπαβ<-≤∴≤≤≤β， .6

π=-∴βα 4.【解析】由题意可知， 4π=

∠CDB ，且∠BDA 与∠CDA 之和为

π.如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面DA B 1

αcos 的值为6

-. 7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条