2015肇庆二模(理数)

广东省肇庆市2015届高中毕业班第二次模拟检测题

理科数学试题

一、选择题：

1．设i 为虚数单位，则复数

34i

i

-= A ．43i -- B ．43i -+ C ．i 4+3 D ．i 4-3

2．已知向量(1,2),(1,0),(4,3)===-a b c ．若λ为实数，()λ+⊥a b c ，则λ=

A ．

14 B ．1

2

C ．1

D ．2 3．若p 是真命题，q 是假命题，则

A ．p q ∧是真命题

B ．p q ∨是假命题

C ．p ?是真命题

D ．q ?是真命题

4．已知等差数列{n a }，62a =，则此数列的前11项的和11S = A ．44 B ．33 C ．22 D ．11 5．下列函数为偶函数的是

A ．sin y x = B

．)

ln y x = C ．x y e = D

．y =6．5

22

)11)(

2(-+x

x 的展开式的常数项是 A ．2 B ．3 C ．-2 D ． -3

7．若函数x y 2=图象上存在点（x ，y ）满足约束条件??

?

??≥≤--≤-+,,032,03m x y x y x 则实数m 的最大值为

A ．2

B ．

23 C ．1 D ．2

1 8．集合M 由满足：对任意12,[1,1]x x ∈-时，都有1212|()()|4||f x f x x x -≤-的函数()f x 组成．对于两个函

数2

()22,()x

f x x x

g x e =-+=，以下关系成立的是

A ．(),()f x M g x M ∈∈

B ．(),()f x M g x M ∈?

C ．(),()f x M g x M ?∈

D ．(),()f x M g x M ?? 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．在ABC ?中，若1

5,,sin 43

b B A π

=∠=

=，则a = ． 10．若不等式2|4|≤-kx 的解集为}31|{≤≤x x ，

则实数=k ．

11．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，R x ∈，

则)(x f 的最小值是 ．

12．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体

的体积为 ．

正视图 侧视图

13．函数()()()

()

3141log 1a a x a

x f x x

x -+

≥??在定义域R

上不是．．

单调函数，则实数a 的取值范围是 ． （二）选做题（14、15题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 的方程为cos 5ρθ=，则

点π43?

? ??

?

，到直线l 的距离为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，PT 是圆O 的切线，PAB 是圆O 的割线，若2=PT ，1=PA ，o

60=∠P ，则圆O 的半径=r ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知向量()()2,sin 1,cos a b θθ== 与互相平行，其中(0,)2

π

θ∈．

（1）求sin θ和cos θ的值；

（2）若(

)sin 2

π

θ??-=

<<，求cos ?的值．

17．（本小题满分12分）

贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站． 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站． 记者对广东省内的6个车站随机抽取3个进行车站服务满意度调查．

（1）求抽取的车站中含有佛山市内车站（包括三水南站和佛山西站）的概率；

（2）设抽取的车站中含有肇庆市内车站（包括怀集站、广宁站、肇庆东站）个数为X ，求X 的分布列及其

均值（即数学期望）．

如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC ，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，

?=∠=∠90CBD BAC ，AB AC =，?=∠30BCD ，BC=6． （1）证明：平面ADC 平面ADB ；

（2）求二面角A —CD —B 平面角的正切值．

19．（本小题满分14分） 已知在数列{}n a 中，13a =，()111n n n a na ++-=，n N *

∈．

（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （ ）设数列1

(1)n

n a a ?

???-??的前n 项和为n

T ，证明：13n T <．

C B D

A

若函数2

13

21)(2+-

=x x f 在区间 [a ，b]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b]．

21．（本小题满分14分） 已知函数x

kx

x x f +-

+=1)1ln()(，k R ∈． （1）讨论)(x f 的单调区间；

（2）当1k =时，求)(x f 在[0,)+∞上的最小值， 并证明()1111ln 12341

n n ++++<++ ．

肇庆市2015届高中毕业班第二次统测数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题 9．

3

25 10

．2 11． 12． π3

13．()11

0,[,1)1,73??+∞ ??? 14． 3 15

三、解答题 16．（本小题满分12分）

解：（1）∵a 与b 互相平行，∴θθcos 2sin =， （2分） 代入1cos sin 2

2

=+θθ得5

5

cos ,552sin ±

=±

=θθ， （4分） 又(0,

)2

π

θ∈，∴5

5

cos ,552sin =

=

θθ． （6分） （2）∵2

0π

?<

<，2

0π

θ<

<，∴2

2

π

?θπ

<

-<-

， （7分）

由1010)sin(=

-?θ，得10

103)(sin 1)cos(2

=--=-?θ?θ， （9分） ∴cos ?2

2

)sin(sin )cos(cos )](cos[=-+-=--=?θθ?θθ?θθ （12分） 17．（本小题满分12分） 解：（1）设“抽取的车站中含有佛山市内车站”为事件A ，

则54

)(3

6

2

4121422=+=C C C C C A P （4分） （2）X 的可能取值为0，1，2，3 （5分）

()0333361020C C P X C ===，()12

333

69

120C C P X C ===， （7分） ()2133369220C C P X C ===，()30

333

61

320

C C P X C ===， （9分） （10分） X 的数学期望()199130123202020202

E X =?

+?+?+?= （12分）

E

C

B

D

A

F

18．（本小题满分14分）

（1）证明：因为,,,ABC BCD BD BC ABC BCD BC BD BCD ⊥⊥=? 面面面面面， 所以BD ABC ⊥面． （3分） 又AC ABC ?面，所以BD AC ⊥． （4分） 又AB AC ⊥，且BD AB B = ，

所以AC ADB ⊥面． （5分） 又AC ADC ?面，所以ADC ADB ⊥面面．（6分） （2）取BC 的中点E ，连接AE ，则AE BC ⊥， （7分）

又,ABC BCD ⊥面面,ABC BCD BC = 面面所以,AE BCD ⊥面 （8分）

所以,AE CD ⊥过E 作EF DC F ⊥于，连接AF ，则,DC AEF ⊥面则,DC AF ⊥所以AFE ∠是二面角

A CD

B --的平面角． （11分）

在Rt CEF ?中，0

1330,22

ECF EF CE ∠===，又3AE =， （13分）

所以tan 2AE

AFE EF

∠==，即二面角A CD B --平面角的正切值为2．（14分） 19．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：

由()111n n n a na ++-=，得()()12211n n n a n a +++-+=， （2分） 两式相减，得()()()12221n n n n a n a a +++=++，即122n n n a a a ++=+， （4分） 所以数列{}n a 是等差数列． （5分） 由??

?=-=1

23

211a a a ，得52=a ，所以212=-=a a d ， （6分）

故12)1(1+=?-+=n d n a a n 21n a n =+． （8分）

方法二：

将1)1(1=-++n n na a n 两边同除以)1(+n n ，得

1

1111+-=+-+n n n a n a n n ，（3分） 即

n a n a n n 1

111-=+-+． （4分） 所以

1

1

11-=-a n a n （5分）

所以12+=n a n （6分） 因为12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列． （8分） （2）因为

()111111(1)2(21)21(21)22121n n a a n n n n n n ??

=<=- ?-+-+-+??

， （11分）

所以n

n n a a a a a a T )1(1

)1(1)1(12211-+

+-+-=

)]121121()7151()5131[(2161+--++-+-+≤

n n 3

124131<+-=n （*N n ∈） （14分） 20．（本小题满分14分）

解：()f x 在(),0-∞上单调递增，在[0,)+∞上单调递减． （1分） （1）当0a b <<时，假设有()()2,2f a a f b b ==， （2分） 则()2f x x =在(),0-∞上有两个不等的实根a ，b ． （4分） 由()2f x x =得2

4130x x +-=，

因为0>ab ，所以13-≠ab ，故假设不成立． （5分）

（2）当0a b <≤时，假设有1322b =，即13

4

b =． （6分）

当0413<≤-

a 时，a f x f 2)4

13()(min ==，得6439

=a 不符合； （7分）

当4

13

-

解得172--=a 或172+-=a （舍去）． （9分）

（3）当0a b ≤<时，假设有???==a b f b a f 2)(2)(，即???????=+-=+-a

b b a 22132

2213

22

2 （11分）

解得1

3

a b =??

=?． （13分） 综上所述所求区间[,]a b 为[1,3]

或1324?

?-???? （14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）()f x 的定义域为()1,-+∞． （1分）

22

1(1)1()1(1)(1)x x x k

f x k x x x +-+-'=

-=

+++ （3分） 当0k ≤时，()'0f x >在()1,-+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()1,-+∞，无单调递减区间． （5分）

当0k >时，由()'0f x >得1x k >-，由()'0f x <得1x k <-，所以()f x 的单调递增区间是()1,k -+∞，单调递减区间是()1,1k --， （7分）

（2）由（1）知，当1k =时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上的最小值为

()00f =． （9分）

所以

)1ln(1x x x

+<+（0>x ） （10分） 所以)1

1ln(111

n n n +<+，即

n n n ln )1ln(11-+<+（*N n ∈）． （12分） 所以)1ln()ln )1(ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 1

1

3121+=-+++-+-<++

++n n n n （14分）