07估计总体的数字特征
教学课题：5.2 估计总体的数字特征
三维目标：
1．知识与技能：
⑴能频率分布直方图估计总体的平均数、中位数和众数；正确理解样本数据标准差的意义和作用，
会计算数据的标准差；
⑵能根据实际问题的需要合理地选择样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准
差），并做出合理的解释；
⑶会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
⑷形成对数处理过程进行初步评价的意识.
2．过程与方法：
在解决统计问题的过程中，进一步体会样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.
3．情感、态度与价值观：
通过对数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的学习作风.
教学重点：平均数的计算，标准差的意义与计算方法.
教学难点：根据标准差对事件进行科学的决策，体会样本数字特征具有随机性.
教学课时：1课时
教学过程：
一．引入
师：在日常生活中，我们利用样本估计总体时，不仅需要估计总体的分布形态，还要估计总体的某一些数学特征，今天我们这一节课不来学习这部分知识.
二．新知
以教材实例分析说明：
在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港风帆选手李丽珊，以惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，为香港体育史揭开了“突破零”的新一页. 在风帆比赛中，成绩以低分为优胜. 比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次. 前7场比赛结束后，排名前5位的选手积分如下表所示：
根据上面的比赛结果，我们如何比较各选手之间的成绩及稳定情况呢？如果此时让你预测谁将获得最后的胜利，你会怎么看？
师投影如下表格，与学生分析交流：
师根据以下实例来说明：如何根据频率分布直方图来估算样本数据的平均数、中位数和众数？ 例 从某次测试中随机抽出60名学生，将其成绩分成六组[)[)[]100,90,,60,50,50,40 后得到分部频率分布直方图，如下图所示，回答下列问题：
⑴求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图；
⑵请根据频率分布直方图估计本次考试中的成绩的平均分、中位数和众数.
三．小结：
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本的集中趋势统计量估计总体的集中趋势，用样本的离散程度统计量估计总体的离散程度，并且样本容量越大，估计就越精确.
用样本的数字特征估计总体的数字特征说课稿
普通高中课程标准实验教科书数学3 必修 用样本的数字特征估计总体的数字特征 说课人：王自强 东华高级中学数学组
用样本的数字特征估计总体的数字特征 第1课时 一、教材分析与学情分析 ★教材地位与作用 本节是在已经学习了用图、表来组织样本数据，用样本的频率分布估计总体的分布情况下，进一步学习如何通过样本的频率分布直方图来估计总体的数字特征，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，并初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。 ★学情： 本节课的学习者是普通班学生，他们的观察、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、紧密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。 二、教学目标 ★教学目标 1．知识与技能 ①能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数； ②结合实际, 能选取恰当的样本数字特征，对问题作出合理判断,制定解决问题的有 效方法。 2. 过程与方法 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3.情感、态度与价值观 通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风。 ★教学重点、难点 重点：利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数。 难点：1.从频率分布直方图中计算出中位数； 2.选取恰当的样本数字特征来估计总体，从而正确的对实际问题做出决策。 三、教学方法与策略 本节课让学生通过熟知的一组数据的代表-众数，中位数，平均数下，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，让学生感受在只能得到频率分布直方图的情况下也可以估计总体数字特征。在课堂结构上，我根据学生的认知水平，采取“仔细观察—分析研究---小组讨论---总结归纳”的方法，使知识的获得与知识的发生过程环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案高品质版
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案 教学目标： 知识与技能 （1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 （2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。 （3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 （4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 过程与方法 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 重点与难点 重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。 教学设想 【创设情境】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。 【探究新知】 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗：P62 （1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？ （2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论） 初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。 〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25这个数值呢？
《总体特征数的估计》教案(1)
总体特征数的估计 教学目标 1．通过实例理解样本的数字特征，如平均数，方差，标准差． 2．能根据实际问题的需求合理地选取样本，从数据样本中提取基本的数字特征，并作出合理的解释． 重点难点 重点（1）用算术平均数作为近似值的理论根据．（2）方差和标准差刻画数据稳定程度的理论根据． 难点：（1）平均数对总体水平进行评价时的可靠性(和中位数和众数之间的联系)．（2）通过实例使学生理解样本数据的方差，标准差的意义和作用． 教学过程 一．算术平均数和加权平均数 （一）问题情境 某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据(单位：ｍ／s2)：9．629．549．789．9410．019．669．88 9．6810．32 9．76 9．45 9．99 9．81 9．56 9．78 9．72 9．93 9．94 9．65 9．79 9．42 9．68 9．70 9．84 9．90 问题1：怎样用这些数据对重力加速度进行估计？ 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数（median）． 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数的众数， 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数． 问题2：用这些特征数据对总体进行估计的优缺点是什么？ 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系．对这些数据所包含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并且易受极端数据的影响． 用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”． 用中位数作为一组数据的代表，可靠性也较差，但中位数也不受极端数据的影响，也可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”． 平均数、中位数、众数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”，它们各自特点如下： 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具备的性质，也正是这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息. 问题3：我们常用算术平均数 ∑ = n i i a n1 1 (其中ai(i＝1，2，…，n)为n个实验数据)作为重力加 速度的近似值，它的依据是什么呢？
样本的数字特征估计总体的数字特征练习题
限时练 093 一、选择题 1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是 ( ) A ．85，85，85 B ．87，85，86 C ．87，85，85 D ．87，85，90 2．(2015·乐清高一检测)某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表： 次品数 0 1 2 3 4 频率 则次品数的众数、平均数依次为 ( ) A ．0， B ．0，1 C ．4，1 D ．，2 3．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数x 方差s 2 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为 ( ) A ．6 C ．66 D ． 5．(2015三门峡高一检测)若样本1＋x 1，1＋x 2，1＋x 3，…，1＋x n 的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x 1，2＋x 2，…，2＋x n ，下列结论正确的是 ( ) A ．平均数是10，方差为2 B ．平均数是11，方差为3 C ．平均数是11，方差为2 D ．平均数是10，方差为3 6.(2013·重庆)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 7．(2013·山东)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分， 7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A ．1169 B ．367 C ．36 D ．67 7
用样本的数字特征估计总体的数字特征(教案)
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 一、教学目标 1．能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． 2．会求样本的众数、中位数、平均数． 3．能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 二、教学重难点 重点：根据实际问题，对样本数据提取基本的数字特征并做出合理解释，估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性． 难点：在频率分布直方图中分析众数、中位数、平均数. 三、众数、中位数、平均数的概念 1.众数的概念 一组数据中重复出现次数_____的数叫做这组数的众数 2.中位数的定义 把一组数据按大小顺序排列，把处于_____位置的那个数称为这组数据的中位数； 当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的____的那个数； 当数据个数为偶数时，中位数是按大小顺序排列的最中间两个数的_________。 3.平均数的概念 如果有n 个数12,,,n x x x ，那么这n 个数的算术平均数就是这组数平均数，即 例1：在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下： 甲运动员：7,8,6,8,6,5,8,10,7,4 乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7 观察上述样本数据，分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数？ 甲运动员命中环数： 众数： 中位数： 平均数： 78686581074 6.9 10x +++++++++= = 乙运动员命中环数： 众数： 中位数：
平均数： 9578768677 7 10x +++++++++= = 例2、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示： 分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 . 众数（最多的）： ；中位数（最中间的）： 平均数 ： 四、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 思考1：如何从频率分布直方图中估计出众数的值？ 例3：在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，这些样本数据的频率分布直方图如下所示：观察图形，估计出众数的 思考2：如何从频率分布直方图中估计出中位数的值？ 在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数 反映到频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。 所以，中位数在频率分布直方图中，就是使其左右小矩形面积和相等 思考3：如何从频率分布直方图中估计出平均数的值？
12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理
第十二讲 矩阵特征值估计 特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。 一、 特征值界的估计 定理1. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 () Im M λ≤其中，ij ji 1i ,j n a a M m a x 2 ≤≤-= 证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A x x =λ， H x x 1=， 则 H x A x λ= → ( ) () H H H H H x A x x A x x A x λ== = () ()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[] T 12n x ,,,=ξξξ ()()n n H T i ij ji j i 1 j 1 x A A x a a ==-=ξ-ξ∑∑ () ()()n n i ij ji j i 1j 1 n n i ij ji j i 1 j 1 2I m a a a a ====λ= ξ-ξ≤ ξ-ξ∑∑ ∑∑ n ' i j ij ji i ,j 1 a a == ξξ-∑ （'∑表示不含i ＝j ） n ' i j i ,j 1 2M =≤ξξ∑ () 2 n 2 2 ' i j i ,j 1 I m M =? ?λ≤ξξ ? ? ? ∑
() n 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑ () n 2 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1==-ξξ∑ n n n n n 2 2 2 2 4 2 4 ' i j i j i i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 i 1 i 1 =====ξξ= ξξ- ξ≤ ξ- ξ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )n 2 2 i i i 11== ξ-ξ∑ 不妨写为： ( ) ( ) ( )n 2 222 2 2 1 1 2 2 i i i 3 111==ξ-ξ +ξ -ξ + ξ -ξ∑ ( )( )( )2 2 2 2 2 2 n 11 22 2 2 i i i 3 1112 2 =????ξ +-ξξ +-ξ ? ? ≤++ ξ-ξ ? ? ? ???? ? ∑ 12 ≤ 取等号的条件为2 2 1 2 12 ξ=ξ= ，但 2 x 1 =，所以其它2 i ξ= ∴ () Im M λ≤定理2. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ ()R e n λ≤τ () I m n s λ≤ 其中，ij 1i,j n m a x a ≤≤ρ =，ij ji 1i,j n m a x a a ≤≤τ =+，ij ji 1i,j n s m a x a a ≤≤=- 二、 盖尔圆法 定义：设() n n ij n n A a C ??= ∈,由方程 n ii i ij j 1 i j z a R a =≠-≤= ∑ 所确定的圆称 为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。
(完整版)用样本的数字特征估计总体的数字特征(高考题)
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 链接高考 1.(2014课标Ⅰ,18,12分,★★☆)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表: 质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 (1)作出这些数据的频率分布直方图; (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定? 2.(2014陕西,9,5分,★★☆)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2, (x10) 其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为() A.,s2+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2
3. (2015广东,17,12分,★★☆)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以 [160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图 . (1)求直方图中x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 4. (2014课标Ⅱ节选,19,★★☆)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下: 甲部门 乙部门 4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655200 632220 3 4 5 6 7 8 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345
雅克比法求矩阵特征值特征向量
C语言课程设计报告 课程名称：计算机综合课程设计 学院：土木工程学院 设计题目：矩阵特征值分解 级别： B 学生姓名： 学号： 同组学生：无 学号：无 指导教师： 2012年 9 月 5 日 C语言课程设计任务书 （以下要求需写入设计报告书） 学生选题说明: 以所发课程设计要求为准，请同学们仔细阅读； 本任务书提供的设计案例仅供选题参考；也可自选，但难易程度需难度相当； 鼓励结合本专业（土木工程、力学）知识进行选题，编制程序解决专业实际问题。
限2人选的题目可由1-2人完成（A级）；限1人选的题目只能由1人单独完成（B级）；设计总体要求: 采用模块化程序设计； 鼓励可视化编程； 源程序中应有足够的注释； 学生可自行增加新功能模块（视情况可另外加分）； 必须上机调试通过； 注重算法运用，优化存储效率与运算效率； 需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件)； (cpp文件、txt或dat文件等) 提交设计报告书，具体要求见以下说明。 设计报告格式： 目录 1．课程设计任务书（功能简介、课程设计要求）； 2．系统设计（包括总体结构、模块、功能等，辅以程序设计组成框图、流程图解释）； 3．模块设计（主要模块功能、源代码、注释（如函数功能、入口及出口参数说明，函数调用关系描述等）； 4．调试及测试：（调试方法，测试结果的分析与讨论，截屏、正确性分析）； 5．设计总结：（编程中遇到的问题及解决方法）； 6．心得体会及致谢； 参考文献
1.课程设计任务书 功能简介： a）输入一个对称正方矩阵A，从文本文件读入； b）对矩阵A进行特征值分解，将分解结果：即U矩阵、S矩阵输出至文本文件； c）将最小特征值及对应的特征向量输出至文本文件； d）验证其分解结果是否正确。 提示：A=USU T,具体算法可参考相关文献。 功能说明： 矩阵特征值分解被广泛运用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率与自振周期、结构特征屈曲问题等。 注：以三阶对称矩阵为例 2.系统设计 3.模块设计 #include
江苏省宿迁市高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计1练习(含答案)苏教版必修3
2.3总体特征数的估计（一） 【新知导读】 1.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21,则该电池的平均寿命估计是( ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 2．如果1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 的平均数为3，那么12(3)a -、22(3)a -、32(3)a -、 42(3)a -、52(3)a -、62(3)a -的平均数为 ( ) A ．0 B ．3 C ．6 D ．1 3.2004奥运首金获得者杜丽在决赛中的成绩如下表： 下列说法正确的是（ ） A ．平均成绩是(9.4+10.62+10.7+10.42+10.1+10.2+10.82)10=10.5???÷ B ．众数是10.8环 C ．极差是1.2环 D ．中位数是10.5环，比平均成绩高0.1环 【范例点睛】 例1 李先生是一家快餐店的经理，下面是该快餐店所有工作人员8月份的工资表： (2) 计算出平均工资能反映打工人员这个月收入的一般水平吗？ (3) 去掉李某工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般打工人员当月的收入水平吗？ 【课外链接】 1．如果数据1x 、2x 、3x 、．．．n x 的平均数是10，则数据172x -，272x -，372x -，．．．，72n x -的平均数为___________________ ． 【随堂演练】 1．从测量所得数据中取出a 个x ，b 个y ，c 个z ，d 个ω组成一个样本，则这个样本的平均数x 是（ ）
A ． 4x y z ω+++ B ．4a b c d +++ C ．ax by cz d a b c d ω++++++ D ．4 ax by cz d ω +++ 2．期中考试之后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M N 为( ) A ． 4041 B ．1 C ．4140 D ．2 3．设n 个实数1x ，2x ，．．．，n x 的算术平均数为x ，若a x ≠，设2212()()p x x x x =-+-+ 323()...()n x x x x -++-，2222123()()()...()n q x a x a x a x a =-+-+-+-，则一定有( ) A ．p q > B ．p q < C ．p q = D ．p = 4．某商店备有100千克蔬菜，上午按1.2元/千克的价格售出50千克，中午按1元/千克的价格售出30千克，下午按0.8元/千克的价格售出20千克，那么这批蔬菜的平均售价是每千克____________元． 5．一位教师出了一份含有3个问题的测验卷，每个问题1分．班级中30%的学生得了3分，50%的学生得了2分，10%的学生得了1分，另外还有10%的学生得0分，则全班的平均分是_________． 6．已知一个数列有11项，其平均值为1.78,且该数列的前10项的平均值为1.74,则该数列的第11项的值为 __________． 7．有一容量为100的某校毕业生起始月薪的样本．数据的分组及各组的频数如下： 从上表中，估计该校毕业生起始月薪平均值是______________． 8．某校在一次学生身体素质调查中，在甲、乙两班中随机抽10名男生测验100m 短跑，测得成绩如下 (单位：s )： 问哪个班男生100m 短跑平均水平高一些？
用样本数字特征估计总体数字特征(平均数,方差,实用标准差等)
考点174 用样本数字特征估计总体数字特征（平均数，方差，标准差等） 1．(13辽宁T16) 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加 该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本 数据中的 最大值为 . 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】较难 【参考答案】10 【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知 2222212345 123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5 x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个 整数的平 方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可 得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10. 2.（13上海T10）设非零常d 是等差数列12319,,,,x x x x L 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x L ，则方差_______D ξ=. 【测量目标】方差. 【难易程度】中等 |d 【试题解析】
1 1219 110 1918 19 +2 9 1919 x d x x x E x d x ξ ? + ++ ===+= … （步骤1） 2 2222222 (981019)30 19 d D d ξ=+++++++= L L．（步骤2） 3.(13北京T16) 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． JC113 （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）设 i A表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)． 根据题意，P( i A)＝ 1 13 ，且 i j A A I＝?(i≠j)． 设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝ 58 A A U. 所以P(B)＝P( 58 A A U)＝P( 5 A)＋P( 8 A)＝ 2 13 .（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且 P(X＝1)＝()()()()() 3671136711 4 13 P A A A A P A P A P A P A =+++= U U U，
福建省长泰一中高考数学一轮复习《总体特征数的估计》学案
福建省长泰一中高考数学一轮复习《总体特征数的估计》学 案 11221122k k n n x n x n x n x n x p x p x p +++= =+++ 这里12 k n n n n =++ 3．方差（1）()2211n i i S x x n ==-∑ 2,(0)S S S >分别称为数据12,, ,n x x x 的方差和标准差，它们反映的是数据的稳定与波动，集中与离散的程度． （2）22222121[()]n S x x x nx n =+++- （3）12,,,n x x x 数值较大时，可以将各数据减去一个恰当的常数a ,得到 1122,,,,n n x x a x x a x x a '''=-=-=-则2 2222121[()]n S x x x nx n ''''=+++- 例1．某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 统计量 级别 平均 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班的平均成绩和标准差． 解：设第一组20名学生的成绩为(1,2,,20)i x i =; 第二组20名学生的成绩为(1,2,,20)i y i =, 1220190()20x x x =+++ 典型例题 基础过关
1220 180()20y y y =+++故全班平均成绩为： 22222222122012202222212222221(40)401(2020202040)40 1(649080285)512S x x x y y y Z S x S y Z = +++++++-=+++-=+++-?= 51S = 变式训练1：对甲乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下： 甲：60 80 70 90 70 乙：80 60 70 80 75 问：甲乙谁的各科平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？ 解：74x =甲 73x =乙 2104S =甲 256S =乙 因为x x >甲乙，22S S >甲乙．所以甲的平均成 绩较好,乙的各门发展较平衡． 例2. 甲乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为（单位：mm ） 甲： 10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 乙： 10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10 分别计算上面两个样本的平均数与方差．如果图纸上的设计尺寸为10mm ，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适． 解：110x =甲（10.2+10.1+10.9+ +10.1）=10 1(10.310.49.610)1010x = ++++=乙 2110S =22甲2[（10.2-10)+(10.1-10)++(10.1-10)]=0.228
矩阵理论3.1 特征值界的估计
第三部分 矩阵特征值的估计 引言： 矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是很重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的。幸好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值，而只需有一个粗略的估计就够了。比如：在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A 的特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内；在差分方程的稳定性理论以及自动控制理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复平面上的某一确定的区域中。 §1. 特征值的界的估计 引理1. n 阶复矩阵A ，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A 的特征值。即存在一个酉矩阵U 和三角矩阵T ，使T AU U T = 引理2. 设n n n n ij C a A ??∈=)(，则∑∑====n i n j F ij H A a AA tr 11 2 2 )( Proof :设n n ij H b AA B ?==)(则 ∑∑===++==n j j n n n j j j a a a a a a a a a b 1 2 11112121 11111111 ∑∑====n j j n j j j a a a b 1 2 21 2222
∑∑====n j ij n j ij ij ii a a a b 12 1 ∑∑∑======n i n j ij n i ii H a b B tr AA tr 11 2 1 )()( 引理3. A 为正规矩阵?A 酉相似于对角矩阵。 （注：正规矩阵：A A A A H H ?=?）即存在酉矩阵U 使 ),,,(21n H diag AU U λλλ = Th 1.设A 为n 阶矩阵，n λλλ,,,21 为其特征值，则： ?=≤∑∑∑===n i n i n j F ij i A a 1 11 2 2 2 λA 为正规矩阵，等号成立。 Proof:由引理1.存在酉阵U ，使T AU U H =（三角阵）——① 对①两边取共轭转置：U A U AU U T H H H H H ==)(——② ①?②得 H H H H T T U A U AU U ?=?)()( H H H T T U AA U ?=?（为酉阵） )()()(H H H H T T tr AA tr U AA U tr ?==? 即∑∑∑∑∑∑=======≥=n i n j n i n i i ii ij n i n j ij t t a 11 1 1 2 2 2 11 2 λ 设n n C A ?∈，令2 ,2H H A A C A A B -=+=， 则A =B +C ： 其中B 为Hermit 阵（即H B B =）实 C 为反Hermit 阵（即H C C -=）虚
苏教版必修3单元测试卷【8】总体特征数的估计(B)(含答案)
7.总体特征数的估计（B） （时间：120分钟；满分：160分） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，） 1．在用样本的频率分布估计总体分布的过程中，下列说法正确的是 . (1)总体容量越大，估计越精确 (2)总体容量越小，估计越精确 (3)样本容量越大，估计越精确 (4)样本容量越小，估计越精确 2．一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为0.3，则该组的频数是 . 3．有一样本容量为100的数据，分组和各组的频数如下：(] 2123 ，，1；(] ，， ，，1；(] 1921 1719 3；(] 2931 ，，30．根据累计频率分 ，，16；(] 3133 ，，28；(] 2325 ，，3；(] 2527 ，，18；(] 2729 布，估计大于29的数据大约占总体的 . 4．数据5，7，7，8，10，11的标准差是 . 5．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为 . 6．已知一组从小到大排列的数据为1046 -，，，，，且这组数据的中位数为5，那么这组数据 x 的众数为 . 7．为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个稳定，通常需要知道这两个人数学成绩的 . (1)平均数 (2)众数 (3)方差(4)频率分布 8．在频率分布直方图中共有11个小矩形，其中中间小矩形的面积是其余小矩形面积之和的4倍，若样本容量为220，则该组的频数是 . ，9．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10穴的分蘖数后，计算出样本方差分别为211 s= 甲 2 3.4 ，由此可以估计 . s= 乙
三种常用固有振动特征值解法的比较
2005全国结构动力学学术研讨会 海南省海口市，2005.12.19-20 中国振动工程学会结构动力学专业委员会 三种常用固有振动特征值解法的比较 宫玉才1 周洪伟 陈 璞 袁明武 （北京大学力学与工程科学系 北京，100871） Email ：yuanmw@https://www.360docs.net/doc/0a558248.html, 摘要： 本文以高效的细胞稀疏直接快速解法为核心步骤，实现了快速的固有振动广义特征值问题解法, 并在相同的允许模态误差的意义下检验了三种结构动力学中常用的大型矩阵特征模态算法——子空间迭代法、迭代Ritz 向量法和迭代Lanczos 法的计算效率。迭代Ritz 向量法平均而言最快，子空间迭代法最慢，三种解法效率相差不是太大。与ANSYS 的子空间迭代和Lanczos 法相比，本文的子空间迭代比ANSYS 的效率高很多，Lanczos 法和ANSYS 的差不多 。大量较大规模的例题显示，本文对特征值算法的改进是十分有效的，算法的健壮性，通用性都达到了高水平。 关键词：特征值，结构振动，迭代法，高效能计算 1 高等学校博士学科点专项科研基金资助项目 （编号：20030001112） 引言 在工程有限元分析中常常要求解广义代数特征值问题 0K M ?λ??= (1)的部分低阶特征值与特征向量。对于矩阵阶数超过1000的大型问题，子空间迭代法、Ritz 向量法和Lanczos 法被公认为求解部分低阶极端特征值和特征向量的有效方法。尽管国内外的有限元软件都提供广义代数特征值问题(1)的多种解法，但结果仍然不能令人完全满意，漏根与多根、自由模态误判都时有发生。 传统上，低端特征值问题求解过程极度依赖于谱变换的线性方程组 ()T K M x LDL x My μ?== (2) 的解法，移轴矩阵K M μ?的LDLT 三角分解是计算量最大的主要步骤。在以变带宽解法为核心步骤的特征值解法中，它常常占到特征值问题计算时间的70%到90%。本文采用了文[1]提出的一个效率非常高的有限元解法-细胞稀疏直接快速解法（简称细胞解法）替换变带宽解法，极大地提高了三角分解的效率。 如果要求不太多的特征模态，例如10个，通常认为Ritz 向量法和Lanczos 法具有比子空间迭代法更高的计算效率，Ritz 向量法和Lanczos 法比子空间迭代法平均快4～10倍[2]。但是，标准的Ritz 向量法和Lanczos 方法对收敛的判定是相对含糊的，在实用的工程计算中可能造成漏根或多根。
估计总体的数字特征教案
估计总体的数字特征教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§1.6估计总体的数字特征(二) 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 （2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。 （3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 （4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 2、过程与方法： 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观： 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 二、重点与难点 重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。 三、教学方法： 探究归纳，思考交流 四、教学过程 （一）、创设情境 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。 （二）、探究新知 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗：（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心
点” （2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论） 初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。 〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢为什么（请大家思考作答） 分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。 〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？ 分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。 〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）（图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗（让学生讨论，并举例） <二>、标准差、方差 1．标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。 例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运
高中数学《总体特征数的估计》学案1 北师大版必修3
第7课时：总体特征数的估计（二） 【目标引领】 1． 学习目标： 理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并使学生领会通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性水平估计的方法。 2． 学法指导： ①．方差和标准差计算公式： 设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为x ，则 样本方差：s 2 = n 1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2 〕 样本标准差：s=])x x ()x x ()x x [(n 12n 2 221----++-+- ②．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。 【教师在线】 1． 解析视屏： ①若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2 ，则n 21ax ,ax ,ax 的方差为22s a ②若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2 ，则b ax ,b ax ,b ax n 21+++ 的方差为22s a ；特 别地，当1=a 时，则有b x ,,b x ,b x n 21+++ 的方差为s 2 ，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性； ③方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度；对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大； ④方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。 2． 经典回放： 例1： 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）： 如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？ 解：x 甲≈750.2 x 乙≈750.6
《总体特征数之平均数》学案
总体特征数的估计（一） 【目标引领】 1．学习目标： 理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。初步了解如何运用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性和科学性。感受统计不仅是列表，画图的低层次工作，而且是 一门具有高度科学性的理论与实际相结合的科学。 2．学法指导： 在初中，总体平均数(又称为总体期望值)描述了一个总体的平均水平。对很多总体来说，它的平均数不易求得，常用容易求得的样本平均数：对它进行估计，而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应的两个总体的平均数的大小。 1．解析视屏： ①．平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小； ②．数据的平均数或均值，一般记为； ③．若取值为的频率分别为，则其平均数为 ④．在一组数据中，平均数、众数、中位数能够反映该组数据的集中趋势和平均水平，但有时需要去掉极端值（极大值或极小值），再去计算平均数则更能反映平均水平。 2．经典回放： 例1：一个水库养了某种鱼10万条，从中捕捞了20条，称得它们的质量如下：(单位：KG) 1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.25 1.19 1.15 1.21 1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12 1.16 计算样本平均数，并根据计算结果估计水库里所有这种鱼的总质量约是多少？ 解：样本平均数为 1.1715,根据样本平均数估计水库里所有这种鱼的总质量约是1.1715=117150KG。 例2：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得几次测量分别得到共几个数据，我们规定所测量的物理量的“量佳近似值”是这样一个量：与其他近似值的比较，与各数据差的平方和最小，依此规定，从推出的＝ 分析：最佳近似值是使最小时的自变量的取值。 解：求最小时自变量的值 点评：样本平均数与样本数据的离差最小。 例3：某校高二年级进行一次数学测试，抽取40人，算出其平均成绩为80分，为