数学建模小实例

1、司乘人员配备问题

某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下：

设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员？

解: 设i x 为第i 班应报到的人员

)6,,2,1( =i ，建立线性模型如下：

∑==6

1min i i

x Z

??????

?????≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+0

,...,,3020

506070

60..62

1655

4433221

61x x x x x x x x x x x x x x x t s LINGO 程序如下：

MODEL:

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x6>=60; x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x5>=20; x5+x6>=30; END 得到的解为:

x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0;

配备的司机和乘务人员最少为150人。

2、铺瓷砖问题

要用40块方形瓷砖铺下图所示形状的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果无法铺好。试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢？

3、 棋子颜色问题

在任意拿出黑白两种颜色的棋子共n 个，随机排成一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子，再重复以上的过程，这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？

分析与求解：

由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子，两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子，故可将黑色棋子用1表示，白色棋子用-1表示。这是因为-1×(-1)=1，1×1=1，这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子；1×(-1)= -1，这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。 设棋子数为n ，12,,,n a a a 为初始状态。

当n=3时

步数 状态(舍掉偶次项)

0 1a 2a 3a 1 21a a 32a a

13a a

2 31a a 21a a 32a a

3 32a a

31a a 21a a

4 12a a 23a a 31a a 说明当n=3时，经过3步进入初始状态。 当n=4时

步数 状态(舍掉偶次项)

0 1a 2a 3a 4a 1 21a a 32a a 43a a 14a a 2 31a a 42a a 31a a 42a a 3 4321a a a a 4321a a a a 4321a a a a 4321a a a a

4 24232221a a a a 24232221a a a a 24232221a a a a 2

4232221a a a a

说明当n=4时，经过4步全变为黑色棋子。 既不循环也不全为黑子

结论：当棋子数为n 2时，至多经过n 2次操作，就可以全部变为黑子，当棋子数不为n 2时则一般不能全变为黑子。 Matlab 程序:进行实验 %棋子颜色问题演示 % 1---黑子,-1 -----白子 n=4; %定义棋子数

times=6;%定义迭代次数 x0=zeros(1,n);

x1=zeros(1,n); %定义数组 for i=1:n k=rand(1,1);

if(k>0.5) x0(i)=1; else x0(i)=-1; end

end; % 赋初值 x0

for i=1:times i

for k=1:n-1

x1(k)=x0(k)*x0(k+1); end

x1(n)=x0(n)*x0(1); x1 %显示各次结果 x0=x1; end

程序语句解释：

1.zeros(m,n),产生一个m ×n 的0矩阵，通常用于定义一个指定大小的矩阵.zeros(1,n)则

产生一个全部为0的行向量。

2.rand(m,n),产生一个m ×n 的随机矩阵，每个元素都服从[0,1]上的均匀分布.rand(1,1)则产生一个服从[0,1]上的均匀分布的数字。

4. 选修课策略问题

某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如表1所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程。

如果某个学生既希望选修课程的数量少，又希望所获得的学分多，他可以选修哪些课程？

表1 课程情况

模型的建立

1不考虑学分情形：

记i=1，2，…，9表示9门课程的编号。设1=i x 表示第i 门课程选修，0=i x 表示第i 门课程不选。问题的目标为选修的课程总数最少，即

9

1

min i i Z x ==∑

约束条件包括两个方面： 第一方面是课程数量的约束： 每个人最少要学习2门数学课，则

123452x x x x x ++++≥ 每个人最少要学习3门运筹学课 ，则

356893x x x x x ++++≥

每个人最少要学习2门计算机课，则有：

46792x x x x +++≥

第二方面是先修课程的关系约束：

如“数据结构”的先修课程是“计算机编程”，这意味着如果14=x ，必须17=x ，这个条件可以表示为74x x ≤（注意当04=x 时对7x 没有限制）。这样，所有课程的先修课要求可表为如下的约束

“最优化方法”的先修课是“微积分”和“线性代数”，有：

2313,x x x x ≤≤

“数据结构”的先修课程是“计算机编程”，有： 47x x ≤

“应用统计”的先修课是“微积分”和“线性代数”，有：

5152,x x x x ≤≤

“计算机模拟”的先修课程是“计算机编程”，有：

67x x ≤ “预测理论”的先修课程是“应用统计”，有：

85x x ≤

“数学实验”是“微积分”和“线性代数”，有：

9192,x x x x ≤≤

这样一来，总的0-1规划模型为：

9

1

min i i Z x ==∑

123453568946793132475

1526785

9192

1292

32,..,,,,,01

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x

x x x ++++≥??++++≥??+++≥?

≤≤??≤??≤≤??≤?

≤??≤≤??=? 或

解得：

1236791,1,1,1,1,1x x x x x x ======。

即选修课程为：微积分,线性代数.最优化方法,计算机模拟,计算机编程,数学实验。

LINGO 程序为： model: sets:

item/1..9/:c,x; endsets data:

c=5,4,4,3,4,3,2,2,3; enddata

min=@sum(item(i):x(i));!课程最少; x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2; x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3; x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2; x(3)<=x(1); x(3)<=x(2); x(4)<=x(7); x(5)<=x(1); x(5)<=x(2); x(6)<=x(7); x(8)<=x(5); x(9)<=x(1); x(9)<=x(2);

@for(item(i):@bin(x(i))); end

2 考虑学分情形：

当要求学分最多时，设各门课程学分为i c ，则增加学分最大的目标函数为：

9

1

max i i i Z c x ==∑

这样总的双目标0-1规划模型为：

9

11min i i Z x ==∑

9

21

max i i i Z c x ==∑

123453568946793132475

1526785

9192

129232,..,,,,,01

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x

x x x ++++≥??++++≥??+++≥?

≤≤??≤??≤≤??≤?

≤??≤≤??=? 或

当把选修课程指定为6门时，对学分最大求最优，解得：

1235791,1,1,1,1,1x x x x x x ======。最大学分为z=22。

即选修课程为：微积分,线性代数.最优化方法, 应用统计,计算机编程,数学实验。学分达到22分。 LINGO 程序为： model: sets:

item/1..9/:c,x; endsets data:

c=5,4,4,3,4,3,2,2,3; enddata

max=@sum(item(i):c(i)*x(i)); @sum(item(i):x(i))=6; !课程为6门; x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2; x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3; x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2; x(3)<=x(1); x(3)<=x(2); x(4)<=x(7); x(5)<=x(1); x(5)<=x(2); x(6)<=x(7); x(8)<=x(5); x(9)<=x(1); x(9)<=x(2);

@for(item(i):@bin(x(i))); end