2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(3)

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3）姓名_______

一、填空题，每题8分 1.设1

sin cos 2

+=x x ，则33sin cos +=x x

2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i

3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a

4.集合

[][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大

整数。

5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是

6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设

O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112

,23

==A

M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于

7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于

二、简答题

8.已知数列{}n a 满足211012

2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。用数学归纳法证明：

223+=-n n a

9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并

求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n

2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案

三、填空题，每题8分 1.设1

sin cos 2

+=

x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+=

x x ，可得112s i n c o s 4+=x

x ，故3

sin cos 8

=-x x ，从而33sin cos +=x x 221311

(sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816

+-+=

+=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得2016

1(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故

201620161009(1)(1)2++-=i i

3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得

10.505=a

4.集合

[][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大

整数。

解答：设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ，当01≤

0,1,2,3.由此

()f x 得值域{}6,61,6

2,63=+++∈S k k

k k k Z

,[][][]{}{}231,2,,100417167++∈=?-= x x x x R 个元素。

5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 解答：设2()-=x

f x x e ，则2

'()(2)-=-x

f x x x e

当0≤x 时，2()-=x

f x x e 单调递减，当

02≤≤x 时，2()-=x f x x e 单调递增，当2≥x 时，2()-=x f x x e 单调递减，(0)0=f ，

2(2)4-=f e ，当→+∞x 时()0→f x 因此，2()-==x f x x e a 有三个不同的实根当且仅

当2

04-<

6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设

O 为正方体的中心，点,M N 分别在

棱111,A D CC 上，112

,23

==A

M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 解答：以A 为原点，1,,

AB AD AA 为

,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则有11112

(,,0),(0,,1),(1,1,),(1,0,1)

2223

O M N B 由此四面体1OMNB 的体积1111672

=??=

V OB ON OM

7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于

解答：不妨设椭圆E 的方程为22

221(0)+=>>x y a b a b

，P

经过E 的两个焦点，222=+x cy c

222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E

得离心率等于5

=

=

c e a 四、简答题

8.已知数列{}n a 满足2

11012

2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。用数学归纳法证明：

223+=-n n a

证明：2301123,523,==-==-a a 从而223+=-n n a 对0,1=n 成立。 当2≥n 时假设1123+-=-n n a ，223-=-n n a 由递推公式可得

2121221122392(23)3(23)94215292322(23)23

+++---------?-?+====---n n n n n n n n n n

n a a a a 由此，223+=-n n a 对一切0≥n 成立。

9.证明：对任意的实数,,a b c

≥并

求等号成立的充分必要条件。

+≥两边平方

22222

2()42()()?+++++++++a a b c b c a a b c b c

移项合并21

()2

?

+++a a b c bc 两边平方展开可得

4322222

4

3

2

2222

()()()1()(()2)()2

?++++++++≥+++++++++a a b c a b bc c abc b c b c a a b c a b c bc c abc b c b c

移项合并 22222233

()()042

?

+≥?-≥a b c a bc a b c 不等式成立的必要是()0-=a b c

当0=a 不等式等号成立等价于0≥bc ，当=b c 时不等式等号成立。

综上所述，不等式等号成立的充分必要条件是0=a 且0≥bc 或者=b c

证明方法二：设向量(,),()2222

αβ=+

=+b c a a

则αβ+=

αβ+==根据三角不等式αβαβ+≥+即可得所要证明的不等式，不等号成立的充分必要条件

是αβ、平行且方向相同。当αβ∥时，(-()=0()02

2

++?-=）

b

c c a b a a b c ，以下同证明方法一。

10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n

解答：引理1:ln ()=

x

f x x

在](0,e 上单调递增，在[),+∞e 上单调递减。 引理2：当0>x 时，ln(1)+

由引理1可得ln ln >?

>n m m n

m n m n

有以下情形， 情形一：1,2=≥n m ，(,)m n 均满足题设

情形二：2,5=≥m n 设2

()22,5=--≥x

g x x x x 则'

()2ln2220=-->x

g x x

由(5)3,(6)16=-=g g ，可得满足题设条件的(,)m n 只有(2,5)

情形三：3,2==m n 易知满足要求。 情形四：3,1≥≥+m n m ，设

()=--x m g x m x mx 当1≥+x m 时

'11()ln 0--=-->--≥->x m m m m g x m m mx m x mx m x m 所以 ()=--x m g x m x mx 单调递增，因此，

111()(1)(1)(1)(1)(1)++?

?≥+=-+-+=-+-+???

?m m m m g n g m m m m m m m m m m

当3=m 时，()5=g m

当4≥m 时，()(1)0>-+>m g m m m m 无(,)m n 满足题设条件。 综上，所有满足题设条件的正整数为{}

(,1),(2,5)(3,2)2≥m m