2016年中考第一轮复习第18讲《多边形与平行四边形》

第五单元 四边形

第18讲 多边形与平行四边形

考查学生的综合运用能力.

知识梳理

一、多边形的有关概念及性质

1．多边形的概念

定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．

对角线：连接多边形________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

正多边形：各个角都________，各条边都________的多边形叫做正多边形．

2．性质

n 边形过一个顶点的对角线有________条，共有________条对角线；n 边形的内角和为________，外角和为360°.

二、平面图形的密铺(镶嵌)

1．密铺的定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的________．

2．平面图形的密铺

正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也可以密铺平面．

三、平行四边形的定义和性质

1．定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

2．性质 (1)平行四边形的对边________． (2)平行四边形的对角________．

(3)平行四边形的对角线__________．(4)平行四边形是中心对称图形．

四、平行四边形的判定

1．两组对边分别________的四边形是平行四边形．2．两组对边分别________的四边形是平行四边形．

3．一组对边________的四边形是平行四边形． 4．对角线相互________的四边形是平行四边形．

5．两组对角分别________的四边形是平行四边形．

自主测试

1．正八边形的每个内角为( )

A ．120°

B ．135°

C ．140°

D ．144°

2．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

3．已知ABCD 的周长为32，AB ＝4，则BC ＝( )

A

．

4 B ．12 C ．24

D ．28

4．如图，在ABCD 中，点E

，F 分别在边AD ，BC 上，且BE ∥DF ，若∠EBF ＝45°

，则∠EDF 的度数是__________°.

5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，要使四边形ABCD 为平行四边形，则可添加的条件为______．(填一个即可)

6．如图所示，在ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．

求证：(1)△AFD ≌△CEB ；(2)四边形AECF 是平行四边形．

考点一、多边形的内角和与外角和

【例1】某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是()

A．5 B．6 C．7 D．8

解析：多边形的外角和是360°，不随边数的改变而改变．设这个多边形的边数是x，由题意，得(x－2)·180°＝3×360°，解得x＝8.答案：D

方法总结要记住多边形的内角和公式，当已知边数时，可求内角和；当已知内角和时，可求边数．特别地，正多边形

的每个外角等于360°n.

触类旁通1 正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为()

A．9 B．8 C．7 D．4

考点二、平面的密铺

【例2】下列多边形中，不能够单独铺满地面的是()

A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形

解析：要解决这类问题，我们不妨设有n个同一种正多边形围绕一点密铺，它的每一个内角为α，则有nα＝360°，所以n＝360°÷α，要使n为整数，α只能取60°，90°，120°.也就是说只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形可以单独密铺地面，其他的正多边形是不可以密铺地面的．答案：C

方法总结判断给定的某种正多边形能否密铺，关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点，当围绕一点拼在一起时，几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

触类旁通2 按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有__________(写出所有正确答案的序号)．

考点三、平行四边形的性质

【例3】如图，已知E，F是ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.

(1)求证：△AB E≌△CDF；(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)．

分析：(1)根据平行四边形的性质可知对边平行且相等，又BE⊥AC，DF⊥AC，可以利用“AAS”证明△ABE与△CDF全等；(2)图中有三对全等三角形，写出其他两对即可．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠FCD.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∴△ABE≌△CDF.(2)①△ABC≌△CDA，②△BCE≌△DAF.

方法总结1．利用平行四边形的性质可证明线段或角相等，或求角的度数．

2．利用平行四边形的性质常把平行四边形问题转化为三角形问题，通过证明三角形全等来解决．

触类旁通3 如图，在ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.

求证：∠EBF＝∠FDE.

考点四、平行四边形的判定

【例4】如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥A B，∠DCB＝∠DAB＝60°，∴∠ADE＝∠CBF＝60°.

∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．在ABCD中，AD＝BC，∴ED＝BF.

∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝AF.又∵DC∥AB，即EC∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形．

(2)上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC綊AB.

∴∠ADE＝∠CBF.∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.∴∠AED＝∠CFB.又∵AD＝BC，∴△ADE ≌△CBF.∴ED＝FB.∵DC＝AB，∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA，∴EC綉AF.∴四边形EAFC是平行四边形．方法总结平行四边形的判定方法：(1)如果已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；

(2)如果已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；

(3)如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分．

触类旁通4 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.

求证：GF∥HE.

1．(2012江苏无锡)若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为()

A．6 B．7 C．8 D．9

2．(2012浙江杭州)已知ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝()

A．18°B．36°C．72°D．144°

3．(2012四川巴中)不能判定一个四边形是平行四边形的条件是()

A．两组对边分别平行B．一组对边平行另一组对边相等C．一组对边平行且相等D．两组对边分别相等

4．(2012湖南怀化)如图，在ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝________.'

5．(2012四川广安)如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2＝__________.

6．(2012贵州铜仁)一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是__________．

7．(2012广东湛江)如图，在ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.

求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形．

1．如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了()

2 3

A．60米B．100米C．90米D．120米

2．图，在周长为20 cm的ABCD中AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为() A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm

3．图，ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，则EF的长为() A．2 B．23C．4 D．4 3

4．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝42，则△CEF的周长为()

5 6

A．8 B．9.5 C．10 D．11.5

5．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()

A．180°B．220°C．240°D．300°

6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于__________．7．如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有__________个．

8

8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD上的点，∠1＝∠2.求证：△ABE≌△CDF.

9．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.求证：四边形ABCD是平行四边形．

参考答案

导学必备知识

自主测试1．B2．B3．B4．455．AD∥BC(或AB＝CD) 6．证明：(1)在ABCD中，AD＝CB，AB＝CD，∠

D＝∠B.又∵E，F分别是AB，CD的中点，∴DF＝1

2CD，BE＝

1

2AB.∴DF＝BE.∴△AFD≌△CEB.

(2)在ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，由(1)得BE＝DF，∴AE綉CF.∴四边形AECF是平行四边形．

探究考点方法

触类旁通1．8 触类旁通2．②③根据镶嵌的条件可知单独一种图形，能够进行镶嵌的有①②③，而正三角形不能只通过平移来镶嵌．所以只通过平移方式就能进行平面镶嵌的只有②③.

触类旁通3．证明：连接BD交AC于O点．如图所示．

∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD.又∵AE＝CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形，∴∠EBF＝∠FDE.

触类旁通4．分析：要证明GF ∥HE ，关键是说明四边形EGFH 是平行四边形，本题出现了对角线，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明．

证明：∵ABCD 中，OA ＝OC ，∵AF ＝CE ，AF －OA ＝CE －OC ，∴OF ＝OE .

同理得，OG ＝OH .∴四边形EGFH 是平行四边形．∴GF ∥HE .

品鉴经典考题

1．C 设多边形的边数为n ，由题意得：(n －2)·180°＝1 080°，所以n ＝8.

2．B ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C ＝∠A ，BC ∥AD ，∴∠A ＋∠B ＝180°.∵∠B ＝4∠A ，∴∠A ＝36°，

∴∠C ＝∠A ＝36°，故选B. 3．B 因为一组对边平行另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以B 项的条件不能判定一个四边形是平行四边形．

4．4 因为AD ＝8，所以BC ＝8；点E ，F 分别是BD ，CD 的中点，则EF 为△CBD 的中位线，则EF ＝12

BC ＝4. 5．240° ∠1＋∠2＝2×180°－(180°－60°)＝240°. 6．9 因为360÷40＝9，所以这个多边形的边数是9.

7．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C .在△ABE 与△CDF 中，?????

AB ＝CD ，∠A ＝∠C ，AE ＝CF ，

∴△ABE ≌

△CDF (SAS)．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC 且AD ∥BC .∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF .

又DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．

研习预测试题1．C 2．D 3．B

4．A ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，BC ＝AD ＝9.∴∠DAF ＝∠AEB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF

＝∠DAF .∴∠AEB ＝∠BAF .∴BE ＝AB ＝6.∴EC ＝3.在Rt △ABG 中，AG ＝2，∴AE ＝4.易证△ABE ∽△FCE ，得AE EF ＝BE EC

， ∴EF ＝2，可证CF ＝EC ＝3.∴△CEF 的周长为8.

5．C 6．3 7．100 8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝DC .又∵∠1＝∠2，∴△ABE ≌△CDF .

9．证明：∵AB ∥CD ，

∴∠1＝∠2.在△ABO 和△CDO 中，∵????? ∠1＝∠2，BO ＝DO ，∠3＝∠4，

∴△ABO ≌△CDO (ASA)，∴AO ＝CO .

∵BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．