方势阱中束缚态粒子的归一化波函数

一维定态波函数宇称的讨论

一维定态波函数宇称的讨论 一、一维定态波函数 波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（即测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即）（t z y x ,,,ψψ=，它是薛定谔方程的解，物理意义表达为：在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。 二、简并能级与非简并能级 能级的简并就是微粒运动状态不同，但是能量（能级）一样；非简并就是每个不同运动状态的微粒具有不同的能量。量子力学中，解薛定谔方程能够得到一些相应的量子数，这些量子数能描述微粒的运动状态，比如：氢原子中的电子有：主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m 、自旋量子数s 、自旋磁量子数ms(s 是下标)，拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。在没有外加磁场的情况下，电子的能量只和n 有关，而和其他4个量子数无关，但是同一个n 下有n2种运动状态（量子力学或者原子物理中的相关结论），我们就说能级En 是n2度简并的，表示同一个能级En 下电子最多可以有n2种运动状态。对于线性谐振子来说，n 与能级是一一对应的，所以线性谐振子是非简并系统。需要指出的是，有些简并能级在特殊情况下会变为非简并的，比如电子在磁场中由于磁量子数的变化，能级会分裂。 三、对一维定态波函数宇称的理解 1.对宇称的理解 引入宇称算符比较容易说明。宇称算符没有经典对应的力学量，宇称算符用∧P 标记，表示将波函数的坐标变量对原点做空间反演，即)()(→ →∧-=x x P ψψ。如果势函数是偶函数，那么它在空间反演下是不变的。换句话说，哈密顿量与宇称算符对易。于是可以选哈密顿量和宇称算符的共同本征态作为本征态组，使得问题得到简化。而宇称算符的本征态只有两个：奇宇称态和偶宇称态，所以我们这样选出的本征态组要么是奇宇称要么是偶宇称。当然，我们有选择的自由，完全可以选那些没有一定宇称的态作为本征态，但在多数情况下，这只会徒增麻烦。但

定态薛定谔方程讲义

定态薛定谔方程 一、定态Schr?dinger 方程 2 2(,)[()](,)2i r t V r r t t m ψψ?=-?+? (1) 在一般情况下，从初始状态ψ(r,0)求 ψ(r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V 不显含时间 t （在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。 ()V r 与t 无关时，可以分离变量 令(,)()()r t r f t ψψ= 代入(1)式 2 2()1[()]()()()2i df t V r r f t dt r m ψψ=-?+ E = 其中E 是即不依赖于t ，也不依赖于r 的常量，这样 ()()df t i Ef t dt = (2) 2 2[()]()()2V r r E r ψψμ -?+= (3) ——定态薛定谔方程 由(2)解得 Et i ce t f -=)( 其中c 为任意常数。把常数c 放到()E r ψ 里面去，则 (,)()i Et E r t r e ψψ-= (4) 这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/?按照德布罗意关系E=h ν=?ω，E 就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E ，所以这种状态称为定态，波函数ψ(r,t)称为定态波函数。 定态有两个含义：1、(,)()i Et E r t r e ψψ-= ；2、E 具有确定值；（判断是否为定态的依 据） 空间波函数()E r ψ 可由方程 2 2[()]()()2E E V r r E r m ψψ-?+= 和具体问题()E r ψ 应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger 方程，()E r ψ 也可

第一章 波函数

第一章 波函数与dinger o Schr 方程 一 内容提要 1 波函数的统计解释 [1] 在量子力学中用波函数描述微观体系的运动状态 ； [2] 2 ),(t r ψ表示粒子在空间出现的几率密度； [3] 波函数归一化条件 1),(2 =ψ? t r ； [4] 波函数应满足的基本条件：单值、有限、连续。 2态的叠加原理 设 ,,,,321n ψψψψ是体系的可能状态，那么态的线性叠加 ∑ψ=ψn n n c 也是体系的一个可能状态； 3 dinger o Schr 方程 [1] 含时间的dinger o Schr 方程 ψ+ψ?μ -=?ψ?),(222t r V t i [2]定态dinger o Schr 方程 当)(r V 不显含时间t 时，波函数的解为定态解： /)(),(iEt e r t r -ψ=ψ )(r ψ满足定态dinger o Schr 方程ψ=ψ+?μ -E r V )](2[22 该方程也是能量算符的本征值方程。 4 几率流密度)(2ψ?ψ-ψ?ψμ=** i j 与几率密度ψψ=ρ*满足连续性方程 0=??+?ρ?j t 5 量子力学中的初值问题 已知量子态的初态波函数)0,(r ψ，原则上可以利用S,eq 求出任意时刻的波函数),(t r ψ

二 例题讲解 1 粒子在一维无限深势阱中运动，阱宽为a ， （1）设a x ASin x π=ψ)(，求归一化系数A 。 （2）设)()(x a Ax x -=ψ，求归一化系数A 并求粒子的最可几位置。 [解] （1）令12)() (220 2 ==π=ψ??a A dx a x ASin dx x a a 则 a A 2 = 那么a x Sin a x π= ψ2)( （2）令130)]([) (5 2 2 2 ==-=ψ?? a A dx x a x A dx x a a 则530a A = 2 证明具有不同能量的两个束缚态，其波函数的重叠积分为零。 解：设1ψ、2ψ分别为对应能量1E 、2E 束缚态波函数，21E E ≠，要证明等式 0)()(2 * 1 =ψ τψ?r r d 。 凡这种与具体势函数无关的结论，第一选择是从S.eq 出发。1ψ、2ψ满足的两个定态S.eq 为： )()()(211112 2r E r V r m ψ=ψ+ψ?- （1） )()()(222222 2r E r V r m ψ=ψ+ψ?- （2） )2()1(* 1*2?ψ-?ψ ，再对空间积分：? τd ，得 )(2)()()(22 *1*12222* 1 21ψ?ψ-ψ?ψτ-=ψτψ-??d m r r d E E )(22*1*122ψ?ψ-ψ?ψ?τ-=?d m 0)(22* 1*122=ψ?ψ-ψ?ψ-=?dS m （束缚态边界条件：0,0,21→ψ→ψ∞→处r ） 因为21E E ≠ 那么有0)()(2* 1=ψτψ? r r d 3 已知描述单粒子一维束缚态的两个本征函数分别为 22 11x Ae α-=ψ 22 12 1)(x e c bx x B α-++=ψ 试求这两个状态的能级间隔。 解：1ψ、2ψ满足的两个定态S.eq 为：

§16.2 物质波的波函数,玻恩的统计解释

§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释 （一）物质波的波函数ψ（r ，t ） 在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下： () -νπ=??????x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ： ??????电磁波的表式单频率平面 ()() λ-νπ=λ-νπ=x t 2c o s H H x t 2c o s E E 0z z 0y y 利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来?： 〔欧拉公式：〕 （16.2.4） 根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如： 〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5） 表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分． 可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出： ??????其物质波的波函数轴运动的自由粒子 沿,x （16.2.6） 这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能 ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ： ??????其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7） 物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明． 如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）： ??????自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8） ? 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版. （16.2.2） （16.2.3）

第十二章-量子物理学

第十二章 量子物理学 §12.1 实物粒子的波粒二象性 一、 德布罗意物质波假设 νλ h E h P == h E P h = = νλ 二、 德布罗意物质波假设的实验证明 1、 戴维森——革未实验 2、 电子单缝实验 例1、运动速度等于300K 时均方根速率的氢原子的德布罗意波长是 1.45A 0 。质量M=1Kg ，以速率v=1cm/s 运动的小球的德布罗意波长是 6.63×10-14A 0 。（h=6.63×10-34J.s 、K=1.38×10-23J.K 、m H =1.67×10-27kg ） 解：（1） m k T v 32= 045.13A k Tm h mv h p h ==== λ （2）0191063.6A Mv h p h -?=== λ 例2、若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康谱 顿波长的几倍？ 解：电子的康谱顿波长为c m h e c =λ，罗意波长为p h = λ 由题知：c v c m c m E k 2 32)1(2020= ?=?=-=γγ c m h v m h p h e e 2 3 2=== γλ，故 3 1= c λλ 三、 德布罗意物质波假设的意义 四、 电子显微镜 例子、若α粒子（电量为２ｅ）在磁感应强度为Ｂ均匀磁场中沿半径为Ｒ的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是:[A] （A ）ｈ／（２ｅＲＢ） ． （B ）ｈ／（ｅＲＢ） ．

（C）１／（２ｅＲＢｈ）．（D）１／（ｅＲＢｈ）．例2、如图所示，一束动量为ｐ的电子，通过缝宽为ａ的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度ｄ等于:[D] （A）２ａ2／Ｒ．] （B）２ｈａ／ｐ． （C）２ｈａ／（Ｒｐ）． （D）２Ｒｈ／（ａｐ）．

一维方势阱

2.4 一维方势阱 本节我们要讨论一维方势阱问题。所谓一维方势阱指的是在一维空间中运动的微观粒子，其势能在一定的区间内，为一负值，而在此区间之外为零，即 00,0,(),0,0,,x U x U x a x a ≤?? =-≤≤??≥? （2.76） 其相应的势能曲线如图2.6所示 图2.6 一维方势阱 下面我们就E 大于与小于零的两种情形分别讨论如下： （1）E>0的情形。 此时，描述粒子运动状态的波函数()x φ所满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ== （2.77） 202 22()0,l m d m E U dx φφ=+= （2.78） 22220,r r d m E dx φφ== (2.79) 式中,l m φφ与r φ分别为粒子位于左方区间、势阱区间与右方区间中的波函数。 为方便起见，令 22 12022 22，()。m m k E k E U = =+ （2.80） 则上述三式可改写为 2212 0,l l d k dx φφ== (2.81) 22 22 0,m m d k dx φφ== (2.82) 2212 0,r r d k dx φφ== (2.83) 其解分别为 1 1 (),ik x ik x l x Ae A c φ-'=+ （2.84） 2 2 (),ik x ik x m x Be B c φ-'=+ （2.85）

1 1 (),ik x ik x r x Ce C c φ-'=+ （2.86） 显然，C 必须为零，利用φ及其导数的连续性条件即可求得、 A C '与A 关系为 2222 1222212122()sin ,()()ik a ik a i k k k a A A k k e k k e --'=--+ (2.87) 122122212124,()()ik a ik a ik a k k e C A k k e k k e --=--+ (2.88) 从而求得其反射系数R 与透射系数T 分别为 222 2122222222 12212()sin ,()sin 4k k k a R k k k a k k -=-+ （2.89） 22 12 222222 12212 4,()sin 4k k T k k k a k k -=-+ （2.90） 由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T 小于1，而反射系数R 则大于零，二者之和也是等于1。 显然，在2(1,2,)k a n n π== 的特定情形下，其透射系数T 等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有 22 022(),m E U a n π+= (2.91) 与之相应的能量为 222 02 ,2n E U ma π=- (2.92) E n 叫做共振能级。当阱深与阱宽一定时，透射系数T 与人射粒子能量E 的关系如图2.7所示。 图2.7 势阱的透射系数T 与入射能量的关系 当粒子能量E 与阱深一定时，有 0min 2 00 4() ,4()E E U T E E U U += ++ (2.93) 又当入射粒子能量与阱宽一定时，透射系数是阱深U 0的函数，且当满足 222 02 ()2n U n E ma π=- (2.94) 时，T =1。 （2）E<0的情形。 此时，粒子的波函数应满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ-= (2.95)

一维势垒问题总结

一维势垒中的透射系数 利用传递矩阵方法研究了粒子在一维势垒中运动时的粒子的透射系数,主要研究的是在一个方势垒两个方势垒中透射系数，对以上的透射系数的总结，推出了对于任意势垒中透射系数， 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系. 一维方势垒 势垒模型 在方势垒中，遇到的问题和 值得注意的地方。在求方势垒波 函数中，首先要知道这是一个什 么样问题，满足什么样的方程， 方程可以写成什么样的形式，在 求解方程中，波函数的形式应该 怎样需要怎样的分段，分段的过程中，特别要强调的边界条件问题。并且验证了概率流密度。 在量子力学中，粒子在势垒附近发生的现象是不一样的，能量E 大于势垒高度0u 的粒子在势垒中有一部分发生反射，而能量小于0u 的粒子也会有部分穿过势垒，这在经典力学中是不会发生的。 下面讨论的是一维散射（即在非束缚态下问题，在无穷远处波函数不趋于零）。重点讨论的是粒子通过势垒的透射和反射，重点在于求出波函数，这就必须求解薛定谔方程，由于)(x U 是与时间无关的，此处是定态薛定谔方程。 定态薛定谔方程通式： ψψψE U m =+?-2 22h 在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程 t i U x m ??=+??-ψ ψψh h 2222 一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令 t E i e x t x h -=)(),(ψψ

由此得到 ψψψ E U dx d m =+- 2 222h 按照势能()U x 的形式, 方程(2)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式 022 2=+ψψ k dx d ?? ?><<<=. ,0,0; 0,)(0a x x a x u x U 先讨论0u E >的情形 粒子满足薛定谔方程分解为三个区域： ?????? ???>=-<<=+-<=-a x x E x dx d m a x x E x u x dx d m x x E x dx d m ),()(20),()()(20),()(2332 2 222022 2 2112 2 2ψψψψψψψh h h （1） ???? ?????>=+<<=-+<=+a x x mE x dx d a x x u E x dx d x x mE x dx d ,0)(2)(0,0)()()(0,0)(2)(3232220222 12 122ψψψψψψh h 特征方程02=++q pr r 的两个根21,r r 方程 0=+'+''qy y p y 的通解 两个不相等的实根21r r ≠ x r x r e C e C y 2121+= 两个相等的实根21r r = x r e x C C y 1)(21+= 一对共轭复根 βαi r ±=2,1 )sin cos (21x C x C e y x ββα+= 注： 0=+''qy y 的通解:特征方程02=+q r ,当0

第二章 一维定态问题

第二章 一维定态问题 一 内容提要 1 几个重要的一维定态问题 [1] 一维无限深势阱 {0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ,3,2,122 2 22=μπ= n a n E n ∞≥≤<<π? ??=ψx x a x a x n a x n ,000 s i n 2)( [2] 一维线性谐振子 2221)(x x V μω= ,3,2,1)2 1 (=ω +=n n E n )()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ [其中 ! 2n N n n πα= μω = α ] [3] 定轴转动子 I L H 2??2?= I m E n 22 2 = ),3,2,1,0(21 =π = ψ? m e im n 2 一维定态问题的性质 设)()(* x V x V = [1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解，那么)(x * ψ也是定态S.eq 的解。 [2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。 [3] 如果)(x V 是x 的连续函数，那么)(x ψ和)(' x ψ也是连续的； 如果)(x V 为阶梯形方势???><=a x V a x V x V 2 1)(且12V V -有限， 那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的； 如果∞→-12V V 时，那么)(x ψ连续而)(' x ψ不连续；

二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中，{0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ， 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子，)6 1(12)(2/2222 π -=-=n a x x a x 讨论 ∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。 证明：2sin 2)(020 2 a dx a x n x a dx x x x a a n =π=ψ=?? )6 1(124)()(2220 22 2 2 2 2 π-=- ψ=-=-?n a a dx x x x x x x a n 经典情况下，在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为 a dx 则 20a a dx x x a ==? 320 22a a dx x x a ==? 1243)(2222 22a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中，粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ，A 为归一化常数。 [1] 求A ；[2] 粒子处于能量本征态a x n a x n π=ψsin 2)(的几率n P 。 解：[1] 由归一化条件 ?? +∞ ∞ -=-=ψa dx x a Ax dx x 0 2 2 1)]([)( 得530 a A = 所以)(30 )(5x a x a x -=ψ [2] )(x ψ用)(x n ψ展开，)()(x c x n n ψ =ψ∑ )c o s 1(15 4)()(3 3π-π =ψψ=? n n dx x x c n n 2662 ])1(1[240n n n n c P --π= = 999.0])1(1[2402 16 1≈--π =P 这表明)(x ψ与)(1x ψ的几率几乎相同。 3设粒子处于一维无限深势阱中的基态)1(=n ，设0=t 时势阱宽突然变为a 2，粒子的波 函数来不及改变，即a x a x x π= ψ=ψsin 2)()0,(1 问 [1] )0,(x ψ是否还是能量本征态？ [2] 粒子处于能量1E 的几率。 解：[1] 加宽后的一维无限深势阱的能量本征值和本征态分别是：

一维定态波函数宇称的讨论

一维定态波函数宇称的 讨论 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

一维定态波函数宇称的讨论 一、一维定态波函数 波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（即测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即）（t z y x ,,,ψψ=，它是薛定谔方程的解，物理意义表达为：在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。 二、简并能级与非简并能级 能级的简并就是微粒运动状态不同，但是能量（能级）一样；非简并就是每个不同运动状态的微粒具有不同的能量。量子力学中，解薛定谔方程能够得到一些相应的量子数，这些量子数能描述微粒的运动状态，比如：氢原子中的电子有：主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m 、自旋量子数s 、自旋磁量子数ms(s 是下标)，拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。在没有外加磁场的情况下，电子的能量只和n 有关，而和其他4个量子数无关，但是同一个n 下有n2种运动状态（量子力学或者原子物理中的相关结论），我们就说能级En 是n2度简并的，表示同一个能级En 下电子最多可以有n2种运动状态。对于线性谐振子来说，n 与能级是一一对应的，所以线性谐振子是非简并系统。需要指出的是，有些简并能级在特殊情况下会变为非简并的，比如电子在磁场中由于磁量子数的变化，能级会分裂。 三、对一维定态波函数宇称的理解 1.对宇称的理解 引入宇称算符比较容易说明。宇称算符没有经典对应的力学量，宇称算符用∧P 标记，表示将波函数的坐标变量对原点做空间反演，即)()(→→∧-=x x P ψψ。如果势函数是偶函数，那么它在空间反演下是不变的。换句话说，哈密顿量与宇称算符对易。于是可以选哈密顿量和宇称算符的共同本征态作为本征态组，使得问题得到简化。而宇称算符的本征态只有两个：奇宇称态和偶宇称态，所以我们这样选出的本征态组要么是奇宇称要么是偶宇称。当然，我们有选择的

量子力学_王学雷_第二章波函数薛定谔方程

§2.1 波函数的统计解释 一．波动－粒子二重性矛盾的分析 物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？ 实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约 1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。 传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。 对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。 二．波函数的统计解释 1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。 描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。 几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。 描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定； 描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。 设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、 y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体 积和强度 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。

一维定态波函数宇称的讨论

一维定态波函数宇称的讨论 一、一维定态波函数 波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（即测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即）（t z y x ,,,ψψ=，它是薛定谔方程的解，物理意义表达为：在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。 二、简并能级与非简并能级 能级的简并就是微粒运动状态不同，但是能量（能级）一样；非简并就是每个不同运动状态的微粒具有不同的能量。量子力学中，解薛定谔方程能够得到一些相应的量子数，这些量子数能描述微粒的运动状态，比如：氢原子中的电子有：主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m 、自旋量子数s 、自旋磁量子数ms(s 是下标)，拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。在没有外加磁场的情况下，电子的能量只和n 有关，而和其他4个量子数无关，但是同一个n 下有n2种运动状态（量子力学或者原子物理中的相关结论），我们就说能级En 是n2度简并的，表示同一个能级En 下电子最多可以有n2种运动状态。对于线性谐振子来说，n 与能级是一一对应的，所以线性谐振子是非简并系统。需要指出的是，有些简并能级在特殊情况下会变为非简并的，比如电子在磁场中由于磁量子数的变化，能级会分裂。 三、对一维定态波函数宇称的理解 1.对宇称的理解 引入宇称算符比较容易说明。宇称算符没有经典对应的力学量，宇称算符用∧P 标记，表示将波函数的坐标变量对原点做空间反演，即)()(→ →∧-=x x P ψψ。如果势函数是偶函数，那么它在空间反演下是不变的。换句话说，哈密顿量与宇称算符对易。于是可以选哈密顿量和宇称算符的共同本征态作为本征态组，使得问题得到简化。而宇称算符的本征态只有两个：奇宇称态和偶宇称态，所以我们这样选出的本征态组要么是奇宇称要么是偶宇称。当然，我们有选择的自由，完全可

量子力学中的波函数

量子力学中的波函数 ***（********） 摘要：本文主要介绍了量子力学中描述微观粒子状态的波函数，分别阐释了态叠加原理以及波函数的性质，并基于波恩统计诠释，讨论了波函数需要满足的条件，最后简单解释了波函数的推导，以及一些新的理解。 关键词：量子力学波函数概率波态叠加原理 量子力学是研究微观粒子的运动规律 的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。本篇文章中要提到的波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。 1、波粒二象性 在经典物理学中，粒子性是指它具有一定的质量、电荷等属性，同时还具有确定的空间位置和运动轨道。波动性中的波是指某些实际的物理量的空间分布的周期性变化，更重要的是呈现出的干涉和衍射现象。显然二者不能用来同时描述一个物体，如果一定要用经典的概念来解释波粒二象性，就只能做一个设想，比如其中一个是基本单元，另一个是由这个组成衍生出来的，这显然是不成立的。首先，波的衍射现象可以看出波动性并不依赖于粒子之间的相互作用，波动性是适用于单个粒子的。其次，将粒子看成是一个小波包，根据德布罗意关系，波包在传播过程中，会迅速扩散开，以至消失。所以，要完全用经典的波和粒子把它统一起来是 不可能。所以德布罗意提出“物质波假说”，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。 2、概率波的物理意义 在量子力学中，微观粒子的状态都是用上面所说的波函数来描述的，只要知道了体系的波函数，原则上其他的力学量都可以根据波函数得到。但是波函数自身并不指任何的可观测量，它是用来描述粒子出现在空间某一点附近的概率大小的物理量，可表示为 |Ψ（r，t）|2dxdydz 上式表示在点r附近的小体积元dxdydz 中找到粒子的概率，这就是波恩的统计诠释，它是量子力学的基本假设之一。 由此看出，量子力学中的波函数和经典物理中的波函数是截然不同的两个概念。量子力学中的波函数是一种概率波。波恩提出波函数的概率理念很好地阐释了波粒二象性。概率波的概念，可以解释微观粒子的干涉和衍射现象，而且没有涉及粒子本身的结构。当概率波变化时，改变的只是粒子在空间各点出现的概率，并不会改变粒子的结构，所以它和粒子性并不矛盾。 3、态叠加原理 态叠加原理是量子力学的基本假设之一，它是量子力学与经典力学根本差别。它的线性叠加为 Ψ(r,t)=Ψ1(r,t)+Ψ2(r,t)+……=Σc iΨi(r,t) 态叠加原理表述方式有很多种，其中一 种表述为“叠加态Ψ(r,t)既不是Ψ1(r,t)态 也不是Ψ2(r,t)态，它是一个新态”。叠加态是体系的一个新态，有别于原来的各态，性质也有别于原来的各态。例如，许多非束缚态的平面波可以叠加成为一个束缚态、自旋态等，都说明了叠加态是个新态。 3、概率波函数的性质