2012届高三数学一轮复习:不等式基本不等式练习题2

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2012届高三数学一轮复习:不等式基本不等式练习题2

第7章 第2节

一、选择题

1.(2010·山东东营质检)在下列各函数中,最小值等于2的函数是( ) A .y =x +1x

B .y =cosx +1cosx ??

?

?0

C .y =

x2+3x2+2

D .y =ex +4

ex -2 [答案] D

[解析] x<0时,y =x +1x ≤-2,故A 错;∵0

cosx ≥2中等号不成立,故B 错;∵x2+2≥2,∴y =x2+2+1

x2+2

≥2中等号也取不到,故C 错,∴选D.

2.(文)(2010·山东潍坊质检)已知x>0,y>0,且2x +1

y =1,若x +2y>m2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .m≥4或m≤-2 B .m≥2或m≤-4 C .-2

D .-4

[答案] D

[解析] ∵x>0,y>0,且2x +1

y =1, ∴x +2y =(x +2y)(2x +1y )=4+4y x +x

y ≥4+2

4y x ·x y =8,当且仅当4y x =x y ,即x =2y 时取等号,

又2x +1

y =1,∴x =4,y =2,∴(x +2y)min =8,要使x +2y>m2+2m 恒成立,只需(x +2y)min>m2+2m ,即8>m2+2m ,解得-4

(理)(2010·东北师大附中)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am ,an 使得aman =4a1,则1m +4

n 的最小值为( ) A.3

2

B.5

3 C.25

6

D .不存在

[答案] A

[解析] 由已知an>0,a7=a6+2a5,设{an}的公比为q ,则a6q =a6+2a6

q ,∴q2-q -2=0,∵q>0,∴q =2,

∵aman =4a1,∴a12·qm +n -2=16a12,∴m +n -2=4, ∴m +n =6,

∴1m +4n =16(m +n)????1m +4n =16????5+n m +4m n ≥16? ??

??5+2

n m ·4m n =3

2,等号在n m =4m n ,即n =2m =4时成立.

3.(2010·茂名市模考)“a =14”是“对任意的正数x ,均有x +a

x ≥1”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件

D .既非充分也非必要条件 [答案] A

[解析] ∵a =14,x>0时,x +a x ≥2x·a x =1,等号在x =12时成立,又a =4时,x +a x =x +4x

≥2

x·4x =4也满足x +a

x ≥1,故选A.

4.(2010·广西柳州市模考)设a ,b ∈R ,则“a +b =1”是“4ab≤1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件

D .既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A

[解析] a ,b 中有一个不是正数时,若a +b =1,显然有4ab≤1成立,a ,b 都是正数时,由1=a +b≥2ab 得4ab≤1成立,故a +b =1?4ab≤1,但当4ab≤1成立时,未必有a +b =1,如a =-5,b =1满足4ab≤1,但-5+1≠1,故选A.

5.若a>0,b>0,a ,b 的等差中项是12,且α=a +1a ,β=b +1

b ,则α+β的最小值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 [答案] D

[解析] ∵12为a 、b 的等差中项,∴a +b =1

2×2=1. a +1a +b +1b ?1+1a +1b =1+a +b ab =1+1

ab , ∵ab ≤a +b 2,∴ab≤a +b 24=1

4.∴原式≥1+4. ∴α+β的最小值为

5.故选D.

6.(文)若直线2ax -by +2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x -4y +1=0截得的弦长为4,则1a +1

b 的最小值是( ) A .1 B .2 C .3

D .4

[答案] D

[解析] 圆(x +1)2+(y -2)2=4,∵弦长为4,故为直径,即直线过圆心(-1,2),∴a +b =1. ∴1a +1b =????1a +1b (a +b)=2+b a +a b ≥4.

当且仅当a =b =1

2时取等号.

(理)半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点,AB ,AC ,AD 两两互相垂直,则△ABC 、△ACD 、△ADB 面积之和S △ABC +S △ACD +S △ADB 的最大值为( ) A .8 B .16 C .32 D .64 [答案] C

[解析] 根据题意可知,设AB =a ,AC =b ,AD =c ,则可知AB ,AC ,AD 为球的内接长方体的一个角.故a2+b2+c2=64,而S △ABC +S △ACD +S △ADB =1

2(ab +ac +bc)≤a2+b2+a2+c2+b2+c24=a2+b2+c22=32. 等号在a =b =c =83

3时成立.

7.(文)已知c 是椭圆x2a2+y2

b2=1(a>b>0)的半焦距,则b +c a 的取值范围是( ) A .(1,+∞) B .(2,+∞)

C .(1,2)

D .(1,2]

[答案] D

[解析] 由题设条件知,a

a >1,

∵a2=b2+c2,∴b +c 2a2=b2+c2+2bc a2

≤2b2+c2a2=2,∴b +c

a ≤ 2.故选D.

(理)已知F1、F2分别为双曲线x2a2-y2

b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|2

|PF2|的值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A .(1,+∞)

B .(1,2]

C .(1,3]

D .(1,3]

[答案] D [解析] |PF1|2|PF2|=

2a +|PF2|2|PF2|=4a2|PF2|+|PF2|+4a≥4a +4a =8a ,当且仅当4a2

|PF2|=|PF2|,即|PF2|=2a 时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|得6a≥2c ,即e =c

a ≤3,∴e ∈(1,3].

8.(2010·南昌市模拟)已知a ,b ∈R +,a +b =1,M =2a +2b ,则M 的整数部分是( ) A .1 B .2 C .3

D .4

[答案] B

[解析] ∵a ,b ∈R +,a +b =1,∴0

t ≥22,等号在t =2时成立,又t =1或2时,M =3,∴22≤M<3,故选B. 9.(2010·河南新乡调研)已知全集R ,集合E ={x|b

2},F ={x|abb>0,则集合M 等于( ) A .E ∩F

B .E ∪F

C .E ∩(?RF)

D .(?RE)∩F

[答案] C

[解析] ∵a>b>0,

∴a =a +a 2>a +b

2>ab>b2=b ,

如图可见集合M 在E 中,不在F 中,故M =E ∩?RF.

10.(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC 中,点D 是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB 、

AC 于E 、F 两点,若AB →=λAE →(λ>0),AC →=μAF →

(μ>0),则1λ+4μ的最小值是( ) A .9 B.72 C .5

D.92

[答案] D

[解析] ED →=AD →-AE →=12(AB →+AC →)-AE →

=12(λAE →+μAF →)-AE →=????λ2-1AE →+μ2AF →,

EF →=AF →-AE →

.

∵ED →与EF →共线,且AE →与AF →

不共线,∴λ2-1-1=μ21,

∴λ+μ=2,∴1λ+4μ=12???

?

1λ+4μ(λ+μ)

=12????5+μλ+4λμ≥92

,等号在μ=43,λ=23时成立. (理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC 中,点P 是斜边BC 的中点,过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若AB →=mAM →,AC →=nAN →,则mn 的最大值为(

)

A.12

B .1

C .2

D .3

[答案] B

[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系,设等腰直角△ABC 的腰长为2,则P 点坐标为(1,1),B(0,2)、C(2,0),∵AB →=mAM →,AC →=nAN →

, ∴AM →=AB →m ,AN →=AC →n ,∴M ????0,2m 、N ???

?2n ,0,

∴直线MN 的方程为my 2+nx

2=1,

∵直线MN 过点P(1,1),∴m 2+n

2=1,∴m +n =2,

∵m +n≥2mn ,∴mn≤m +n 2

4=1,当且仅当m =n =1时取等号,∴mn 的最大值为1. 二、填空题

11.(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知b>0,直线b2x +y +1=0与ax -(b2+4)y +2=0互相垂直,则ab 的最小值为________. [答案] 4

[解析] ∵两直线垂直,∴ab2-(b2+4)=0,∴a =b2+4b2,∵b>0,∴ab =b2+4b =b +4

b ≥4,等号在b =4

b ,即b =2时成立.

12.(文)(2010·重庆文,12)已知t>0,则函数y =t2-4t +1

t 的最小值为________. [答案] -2

[解析] y =t2-4t +1t =t +1t -4 因为t>0,y =t +1

t -4≥2

t·1

t -4=-2.

等号在t =1

t ,即t =1时成立.

(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数y =2x ,y =x2,y =8

x 的图象都过点A ,且点A 在直线x m +y

2n =1(m>0,n>0)上,则log2m +log2n 的最小值为________.

[答案] 4

[解析] 由题易得,点A 的坐标为(2,4),因为点A 在直线x m +y

2n =1(m>0,n>0)上,所以1=2m +42n ≥22m ·4

2n ,∴mn≥16,所以log2m +log2n =log2(mn)≥4,故log2m +log2n 的最小值

为4.

13.(文)(2010·南充市)已知正数a ,b ,c 满足:a +2b +c =1则1a +1b +1

c 的最小值为________. [答案] 6+4 2

[解析] 1a +1b +1c =a +2b +c a +a +2b +c b +a +2b +c c =????2b a +a b +????c a +a c +????c b +2b c +4≥22+2+22+4=6+42,

等号在2b a =a b ,c a =a c ,c b =2b

c 同时成立时成立. 即a =c =2b =1-2

2时等号成立.

(理)(2010·北京延庆县)已知x>0,y>0,lg2x +lg8y =lg2,则xy 的最大值是________. [答案] 112

[解析] ∵lg2x +lg8y =lg2,∴2x·8y =2,即2x +3y =2,∴x +3y =1,∴xy =13x·(3y)≤13·???

?

x +3y 2

2=112,等号在x =3y ,即x =12,y =1

6时成立.

14.(文)(2010·重庆一中)设M 是△ABC 内一点,且AB →·AC →

=23,∠BAC =30°,定义f(M)=(m ,n ,p),其中m ,n ,p 分别是△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积.若f(M)=????12,x ,y ,则1x +

4

y 的最小值是________. [答案] 18

[解析] ∵AB →·AC →=|AB →|·|AC →

|cos30° =3

2|AB|·|AC|=23,∴|AB|·|AC|=4, 由f(M)的定义知,S △ABC =1

2+x +y , 又S △ABC =1

2|AB|·|AC|·sin30°=1, ∴x +y =1

2(x>0,y>0)

∴1x +4y =2(x +y)????1x +4y =2???

?5+y x +4x y ≥2(5+24)=18,等号在y x =4x y ,即y =2x =13时成立,

∴???

?1x +4y min =18.

(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆x2+y2=1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,则AB 的最小值为______. [答案] 2

[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在,且不为零,故设切线方程为x a +y b =1,则ab a2+b2

=1,

∴a2b2=a2+b2≥2ab ,切线与两轴交于点A(a,0)和(0,b),不妨设a>0,b>0,∴ab≥2,则AB =|AB|=a2+b2≥2ab ≥2. 三、解答题

15.已知α、β都是锐角,且sinβ=sinαcos(α+β). (1)当α+β=π

4,求tanβ的值;

(2)当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值. [解析] (1)∵由条件知,sinβ=22sin ????π4-β,

整理得32sinβ-1

2cosβ=0, ∵β为锐角,∴tanβ=1

3.

(2)由已知得sinβ=sinαcosαcosβ-sin2αsinβ, ∴tanβ=sinαcosα-sin2αtanβ, ∴tanβ=sinαcosα1+sin2α=sinαcosα

2sin2α+co s2α

tanα2tan2α+1

=12tanα+1tanα

≤122=2

4. 当且仅当1

tanα=2tanα时,取“=”号, ∴tanα=22时,tanβ取得最大值2

4, 此时,tan(α+β)=tanα+tanβ

1-tanαtanβ

= 2.

16.(文)(2010·江苏盐城调研)如图,互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ,

现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ,要求P 在射线AM 上,Q 在射线AN 上,且PQ 过点C ,其中AB =30米,AD =20米.记三角形花园APQ 的面积为S.

(1)当DQ 的长度是多少时,S 最小?并求S 的最小值. (2)要使S 不小于1600平方米,则DQ 的长应在什么范围内? [解析] (1)设DQ =x 米(x>0),则AQ =x +20, ∵QD DC =AQ AP ,∴x 30=x +20AP ,

∴AP =30x +20x ,则S =1

2×AP×AQ =15x +202x =15(x +400

x +40)≥1200,当且仅当x =20时取等号. (2)∵S≥1600,∴3x2-200x +1200≥0, ∴0

3或x≥60

答:(1)当DQ 的长度是20米时,S 最小,且S 的最小值为1200平方米; (2)要使S 不小于1600平方米,则DQ 的取值范围是0

3或DQ≥60.

(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q =3x +1

x +1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产

1万元此产品仍需再投入32万元,若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.

(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数;

(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?

[解析] (1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q +3)万元,每万件销售价为32Q +3

Q ×150%+x

Q ×50%,

∴年销售收入为(32Q +3Q ×150%+x

Q ×50%)·Q

=32(32Q +3)+12x ,

∴年利润W =32(32Q +3)+1

2x -(32Q +3)-x =1

2(32Q +3-x)=-x2+98x +352x +1(x≥0).

(2)令x +1=t(t≥1),则 W =

-t -12+98t -1+35

2t

=50-???

?t 2+32t . ∵t≥1,∴t 2+32

t ≥2t 2·32

t =8,即W≤42,

当且仅当t 2=32

t ,即t =8时,W 有最大值42,此时x =7. 即当年广告费为7万元时,企业利润最大,最大值为42万元.

17.(文)(2010·广州市调研)已知点F(0,1),直线l :y =-1,P 为平面上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为Q ,且QP →·QF →=FP →·FQ →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程;

(2)已知圆M 过定点D(0,2),圆心M 在轨迹C 上运动,且圆M 与x 轴交于A 、B 两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求l1l2+l2

l1的最大值. [解析] (1)设P(x ,y),则Q(x ,-1), ∵QP →·QF →=FP →·FQ →,

∴(0,y +1)·(-x,2)=(x ,y -1)·(x ,-2). 即2(y +1)=x2-2(y -1),即x2=4y , 所以动点P 的轨迹C 的方程为x2=4y. (2)设圆M 的圆心坐标为(a ,b),则a2=4b ① 圆M 的半径为|MD|=a2+b -2 2. 圆M 的方程为(x -a)2+(y -b)2=a2+(b -2)2. 令y =0,则(x -a)2+b2=a2+(b -2)2, 整理得,x2-2ax +4b -4=0②

将①代入②得x2-2ax +a2-4=0,解得x =a±2, 不妨设A(a -2,0),B(a +2,0), ∴l1=a -22+4,l2=a +22+4.

∴l1l2+l2l1=l12+l22l1l2=2a2+16a4+64

=2

a2+82

a4+64

=2

1+16a2a4+64③

当a≠0时,l1l2+l2

l1=21+16a2+64a2

≤21+162×8

=2 2.

当且仅当a =±22时,等号成立. 当a =0时,由③得,l1l2+l2

l1=2.

故当a =±22时,l1l2+l2

l1的最大值为2 2.

(理)已知椭圆C :x2a2+y2b2=1(a>b>0)以双曲线x2

3-y2=1的焦点为顶点,其离心率与双曲线的离心率互为倒数. (1)求椭圆C 的方程;

(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为点A ,B ,点M 是椭圆C 上异于A ,B 的任意一点. ①求证:直线MA ,MB 的斜率之积为定值;

②若直线MA 、MB 与直线x =4分别交于点P 、Q ,求线段PQ 长度的最小值.[来源:https://www.360docs.net/doc/0f1440312.html,] [分析] 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数a 、b ,即可写出椭圆方程,进而可求得点A ,B 坐标,设出M 点坐标,可列出kMA·kMB 的表达式,利用M 在椭圆上可消元,通过计算验证结果为常数,再根据点A 、M 、P 三点共线和M 、B 、Q 三点共线就可以找到点P 、Q 的纵坐标之间的关系,即可求出线段PQ 长度的最小值.

[解析] (1)易知双曲线x23-y2=1的焦点为(-2,0),(2,0),离心率为23,故在椭圆C 中a =2,

e =32,∴c =3,b =1,故椭圆C 的方程为x2

4+y2=1.

(2)①设M(x0,y0),(x0≠±2),由题易知A(-2,0),B(2,0),则kMA =y0x0+2,kMB =y0

x0-2,

故kMA·kMB =y0x0+2·y0x0-2=y02

x02-4,

点M 在椭圆C 上,则x02

4+y02=1,

即y02=1-x024=-14(x02-4),故kMA·kMB =y02x02-4=-1

4,直线MA ,MB 的斜率之积为定

值.

②解法一:设P(4,y1),Q(4,y2),则kMA =kPA =y16,kMB =kBQ =y22,由①得y16·y22=-1

4,即y1y2=-3,当y1>0,y2<0时,|PQ|=|y1-y2|≥2-y1y2=23,当且仅当y1=3,y2=-3时等号成立,同理可得,当y1<0,y2>0时,当且仅当y1=-3,y2=3时,|PQ|有最小值2 3.

解法二:设直线MA 的斜率为k ,直线MA 的方程为y =k(x +2),从而P(4,6k),由①知直线MB 的斜率为-14k ,直线MB 的方程为y =-14k (x -2),故得Q ???

?4,-12k ,故|PQ|=|6k +12k

|≥23,当且仅当k =±3

6时等号成立.

基本不等式经典例题精讲

新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式) 典题精讲 例1(1)已知0<x <3 1,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x >0,因而不能直接使用基本不等式,需分x >0与x <0讨论. (1)解法一:∵0<x <3 1,∴1-3x >0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1[ 2) 31(3x x -+]2= 12 1,当且仅当3x=1-3x ,即x= 6 1时,等号成 立.∴x= 6 1时,函数取得最大值 12 1 . 解法二:∵0<x <3 1,∴ 3 1-x >0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3[ 23 1x x -+ ]2= 12 1,当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时,等号成立. ∴x= 6 1时,函数取得最大值12 1. (2)解:当x >0时,由基本不等式,得y=x+x 1≥2x x 1? =2,当且仅当x=1时,等号成立. 当x <0时,y=x+ x 1=-[(-x)+ ) (1x -]. ∵-x >0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时,等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析:x >-1?x+1>0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

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双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2+1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . .

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络

其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时,

(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式 一. 基本不等式 ①公式:(0,0)2 a b a b +≥≥≥,常用a b +≥ ②升级版:22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序:考试中,优先选择原公式,其次是升级版 二.考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则:一正 二定 三相等 一正: 指的是注意,a b 范围为正数。 二定: 指的是ab 是定值为常数 三相等:指的是取到最值时a b = 典型例题: 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析:x 范围为负,提负号(或使用对钩函数图像处理) 解:1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解:123 y x x =+- (“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值) 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥, 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析:sin x 的范围是(0,1),不能用基本不等式,当y 取到最小值时,sin x 不在范围内 解:令sin (0,1)t x t =∈, 2y t t =+ 是对钩函数,利用图像可知: 在(0,1)上是单减函数,所以23t t + >,(注:3是将1t =代入得到) (3,)y ∴∈+∞ 注意:使用基本不等式时,注意y 取到最值,x 有没有在范围内, 如果不在,就不能用基本不等式,要借助对钩函数图像来求值域。

高中数学基本不等式题型总结

专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式:)0,0a b a b +≥>> (1)基本不等式成立的条件: ; (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)()24a b ab +≤(),a b R ∈;(2))+0,0a b a b ≥>>; 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则4x x y +的最小值为 . 【变式2】(2013年天津)设2,0a b b +=>, 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】(2012河西)已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>,且280x y xy +-=,则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=,则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>,若不等式 212m a b a b +≥+总能成立,则实数m 的最大值为 . 【例6】(2013年天津市第二次六校联考)()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 为直角三角形,则 2212a b +的最小值为 .

【例7】(2012年南开二模)若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足 120PF PF ?=,则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=,则11x y +的最小值是( ) A .6 B .5 C .3+ D . 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+,若120,0x x >>,且()()121f x f x +=,则()12f x x +的最小值为 .

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新????

最新高三数学专题精练:不等式

高三数学专题精练:不等式 一、选择题(10小题,每题5分) 1.设x ,y 满足约束条件?? ? ??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ,若目标函数z=ax+by (a>0, b>0)的值是最大值为12,则23a b +的最小值为( ). A.625 B.38 C. 3 11 D. 4 2.若不等式组034 34x x y x y ≥??+≥??+≤? 所表示的平面区域被直线4 3 y kx =+分为面积 相等的两部分,则k 的值是(A )73 (B ) 37 (C )43 (D ) 34 3.“”是“ 且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、若不等式f (x )=2ax x c -->0的解集{}|21x x -<<,则函数y =f (-x )的图象为( ) 5.设,x y 满足24, 1,22,x y x y x y +≥?? -≥??-≤? 则z x y =+ (A )有最小值2,最大值3 (B )有最小值2,无最大值 (C )有最大值3,无最小值 (D )既无最小值,也无最 B

大值 6.已知D 是由不等式组20 30 x y x y -≥?? +≥?,所确定的平面区域,则圆 224x y +=在区域D 内的弧长为 [ ] A 4π B 2 π C 34π D 32π 7.设变量x ,y 满足约束条件:3 123x y x y x y +≥?? -≥-??-≤? .则目标函数z=2x+3y 的最 小值为 (A )6 (B )7 (C )8 (D )23 8.在平面直角坐标系中,若不等式组101010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? (α为常数)所表示 的平面区域内的面积等于2,则a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 39.不等式对任意x 实数恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A . (,1][4,) -∞-+∞ B .(,2][5,)-∞-+∞ C .[1,2] D .(,1][2,)-∞+∞ 10.已知0,0a b >>,则112ab a b ++ ) A .2 B .22 C .4 D .5 二、填空题(5个题,每题4分) 11.若0x >,则2x x +的最小值为. 2313x x a a +--≤-

高三数学不等式选讲 知识点和练习

不等式选讲 一、绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立。 注:(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义:当a,b不共线时,|a+b|≤|a|+|b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 (2)不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是:不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,在侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 注:|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义(|x|表示数轴上的点x到原点O的距离;| x-a |±|x-b|)表示数轴上的点x到点a,b的距离之和(差) (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。

必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题

均值不等式应用(技巧)技巧一:凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 (x > 3)的最小值 2、已知x > 3 2 ,求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ,求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二:凑系数 4、当0 < x < 4时,求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时,求y = 4x(3 - 2x)的最大值,并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时,求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时,求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三:分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 (x > -1)的值域; 9、求y = x2 + 3x + 1 x (x > 0)

的值域 10、已知x > 2,求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c,求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1,求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四:应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2,则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2,求1 x + 1 y 的最小值,并求x、y的值。 技巧六:整体代换 16、已知x > 0,y > 0,且1 x + 9 y = 1,求x + y的最小值。

17、若x、y∈R+且2x + y = 1,求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a,b,x,y∈R+ 且a x + b y = 1,求x + y的最小值。 19、已知正实数x,y满足2x + y = 1,求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x,y,z满足x + y + z = 1,求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七:取平方 21、已知x,y为正实数,且x2 + y2 2 = 1,求x 1 + y2的最大值。 22、已知x,y为正实数,3x + 2y = 10,求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x(1 2 < x < 5 2 )的最大值。 技巧八:已知条件既有和又有积,放缩后解不等式 24、已知a,b为正实数,2b + ab + a = 30,求函数y = 1 ab 的最小值。

高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题

第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填空题的形式呈现,属中档题. 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 +bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0); ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时,a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x ); ②当0a g (x ) ?f (x )1时,log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0,g (x )>0; ②当0log a g (x )?f (x )0,g (x )>0. 2.五个重要不等式 (1)|a |≥0,a 2 ≥0(a ∈R ). (2)a 2 +b 2 ≥2ab (a 、b ∈R ). (3) a +b 2 ≥ab (a >0,b >0). (4)ab ≤(a +b 2)2 (a ,b ∈R ). (5) a 2+ b 22 ≥ a +b 2 ≥ab ≥ 2ab a +b (a >0,b >0). 3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.

【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练

基本不等式 基本不等式知识 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,,则2 22b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2.(1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 5.若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++, 33abc c b a ≥++(当且仅当c b a ==时取等) 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x (3)(理科)已知+∈R y x ,,且满足232x y =,则x y +的最小值为( ) A .1 B .2 C .6 D .4 (4)已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ,则c b a 31211++的最小值为 (5)若b a ,是不相等的正数,b a y b a x +=+=,2 ,则y x ,的大小关系是 (6)若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值 1.函数y =log 2(x +1x -1 +5)(x >1)的最小值为( ) A .-3 B .3 C .4 D .-4 技巧二 凑系数 例2 当40<

最新基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)-(1)

基本不等式专题 知识点: 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当 b a =时取“=”) 2. (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 5.若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2;

高中数学 不等式专题训练

1、(02京皖春1)不等式组???<-<-0 30 122x x x 的解集是( ) A .{x |-1<x <1} B .{x |0<x <3} C .{x |0<x <1} D .{x |-1<x <3} 2、(01河南广东1)不等式 3 1 --x x >0的解集为( ) A .{x |x <1} B .{x |x >3} C .{x |x <1或x >3} D .{x |1+->|22|330x x x x x 的解集是( ) A .{x |0<x <2} B .{x |0<x <2.5} C .{x |0<x <6} D .{x |0<x <3} 5、(95全国理16)不等式( 3 1)8 2 -x >3-2x 的解集是_____。 6、(02全国文5理4)在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ) A .( 4π,2π)∪(π,45π) B .( 4π ,π) C .(4π,4 5π) D .(4π,π)∪(45π,2 3π) 7、解不等式1|55|2<+-x x 8、不等式022>++bx ax 的解集为}3 1 21|{<<- x x ,求a , b 9、解不等式∣∣x +4∣-8∣>2 解:由原不式式得∣x +4∣-8>2或∣x +4∣-8<-2 ∴∣x +4∣>10或∣x +4∣<6 ∴x >6或x <-14或-106或x <-14或-102x 11、解不等式:∣x +3∣+∣2x -4∣>2 12、解不等式2931831>?+-+x x 13、解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x 14、a 为何值时,不等式2)1()23(22+-++-x a x a a >0的解为一切实数? 15、(06重庆文15)设0,1a a >≠,函数2 ()log (23)a f x x x =-+有最小值,则不等式log (1)0a x ->的 解集为 。 16、(06重庆理15)设0,1a a >≠,函数2lg(23) ()x x f x a -+=有最大值,则不等式() 2log 570a x x -+>的 解集为 。 17、已知不等式230{|1,}x x t x x m x R -+<<<∈的解集为 (1)求t ,m 的值; (2)若函数4)(2++-=ax x x f 在区间(],1-∞上递增,解关于x 的不等式2 log (32)0a mx x t -++-<.

高三数学不等式题型总结全

不等式的解题归纳第一部分含参数不等式的解法 例1解关于x的不等式2x2? kx _ k岂0 例2 .解关于x的不等式:(x-x2+12)(x+a)<0. 2x2+2k x +k 例3、若不等式2x 2 2kx 1 :::1对于x取任何实数均成立,求k的取值范围. 4x +6x +3 例4若不等式ax2+bx+1>0的解集为{x | -3 (x- 1)2对一切实数x都成立,a的取值范围是____________________ 2 .如果对于任何实数x,不等式kx2—kx+ 1>0 (k>0)都成立,那么k的取值范围是 3.对于任意实数x,代数式(5 —4a—a2)x2—2(a —1)x—3的值恒为负值,求a的取值范围+ 2 2 口 2 4 .设a、B是关于方程x —2(k —1)x + k+仁0的两个实根,求y=> + ■关于k的解析式,并求y 的取值范围. 第二部分绝对值不等式

1. (2010年高考福建卷)已知函数f(x) = |x —a|. (1)若不等式f(x)w 3的解集为{x|—K x< 5},求实数a的值; ⑵在(1)的条件下,若f(x) + f(x+ 5)> m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 2. 设函数f (x) =|x-1| |x-a|, (1 )若a = -1,解不等式f(x)_3 ;(2)如果- x R , f(x) —2,求a的取值范围 3. 设有关于x的不等式lg(j x + 3+|x-7?a

基本不等式经典例题学生用

基本不等式 知识点: 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11 1 22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2 a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 ( 当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2)2(2 2 2b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+1 2x 2 (2)y =x +1 x 技巧一:凑项 例 已知5 4x <,求函数1 4245y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例: 当时,求(82)y x x =-的最大值。 变式:设23 0<-+的值域。 技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数()a f x x x =+的单调性。 例:求函数224y x =+的值域。

2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)当1a =时,()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴12 x = 的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?,,≤x ≤,, 当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -++= ,解得x =()g x 在()1+∞, 上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? . 当[]11x ∈-, 时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-, 时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=. 综上所述,()()f x g x ≥ 解集1?-??? . (2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-, 恒成立. 即220x ax --≤在[]11-, 恒成立. 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤. 故a 取值范围是[]11-, .

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知0a >,222ba b +==2.证明: (1)()22()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<

高三数学(理科)二轮复习-不等式

2014届高三数学第二轮复习 第3讲 不等式 一、本章知识结构: 实数的性质 二、高考要求 (1)理解不等式的性质及其证明。 (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理,并会简单应用。 (3)分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 (4)掌握某些简单不等式的解法。 (5)理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析 1.重视对基础知识的考查,设问方式不断创新.重点考查四种题型:解不等式,证明不等式,涉及不等式应用题,涉及不等式的综合题,所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查,常考常新,创意不断,设问方式不断创新,图表信息题,多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯,值得引起我们的关注. 2.突出重点,综合考查,在知识与方法的交汇点处设计命题,在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想,不等式又为研究函数提供了重要的工具,不等式与函数既是知识的结合点,又是数学知识与数学方法的交汇点,因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时,将不等式的重点知识以及其他知识有机结合,进行综合考查,强调知识的综合和知识的内在联系,加大数学思想方法的考查力度,是高考对不等式考查的又一新特点. 3.加大推理、论证能力的考查力度,充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托,因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景,并与高等数学知识及思想方法相衔接,立意新颖,抽象程度高,有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点,考查容量之大、功能之多、能力要求之高,一直是高考的热点. 4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值,借助不等式来考查学生的应用意识. 不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点: (1)不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多,单独考查不等式的试题题量很少。

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