初三数学竞赛模拟试卷(2)

初三数学竞赛模拟试卷(2)

一、填空:(30分)

1.若方程(a 2－1)x 2－2(5a+1)x+24=0有两个不同的负整数根,则a=_____________.

2.如图1,Rt ΔABC 中,∠B=900,∠BAC=780,CF ∥AB,FG=2AC,则∠BAG=____度.

G

F C

B

A

B A (3)

C （1）

（2）3.若直线y=kx+b 经过点),且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最小,则此直线的解析式为_________________.

4.如图2,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,且OC 2=AC·BC,则∠CAB=____度.

a 为正整数,0

b a b

+-=___________.6.设α、β是方程x 2－2ax+a+6=0的两实根,则(α－1)2+(β－1)2的最小值为_____.

二、选择题:(30分)

1.如图

3,RtΔABC 的周长为40cm,则它的内切圆的半径的最大值为()

)cm.(B)10cm.)cm.(D)12cm.

2.线段AB 的两个端点为A(0,3)与B(－1,0),直线y=kx+b 经过点P(－5,4),且与线段AB 有公共点,则b 的取值范围是()

(A)－1≤b≤3.(B)－1

3.设有两块含铜百分率不同的合金,甲种40公斤,乙种60公斤,从这两块合金上切下重量相等的两块,并把切下的每块与另一种剩下的合金加在一起熔炼后,两者含铜的百分率相等,则切下来的合金的重量是()(A)12公斤.(B)15公斤.(C)18公斤.(D)24公斤.

4.如图4,四边形ABCD 的对角线相交于O,并且S ΔABC =5,

S ΔBCD =9,S ΔCDA =10,S ΔDAB =6,则S ΔAOB =()(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.

5.若菱形的边长是两对角线长的比例中项,则菱形的最大角是()

(A)900.(B)1200.(C)1500.(D)不确定.

6.若方程x 2－mx+m+5=0有二实根α、β,方程x 2－(8m+1)x+15m+7=0有二实根α、γ,则α2βγ的值为()

(4)O D C B A

(A)1156

49.(B)1988.(C)

1156

49或1988.(D)259.

三、(30分)已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于B、C两点,点D平分BC,若在x轴上侧的A

点为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,求AD的取值范围.

四、(20分)如图,EA、EC切⊙O于A、C,BC的中垂线交AB于D.求证:DE∥BC.

五、(30分)已知抛物线y=(k2－6k+8)x2+(2k2－6k－4)x+k2－4与x轴交于整点(横坐标、纵

坐标均为整数的点称为整点),求实数k的值.

答案与提示：

一.

1.-2;

提示:先求出x 1=246,11

x a a =+-,消去a,有(x 1-2)(x 2+3)=-12,注意到x 1-2<-2,x 2+3<3,

易得a=-2,或a=-5(此时x 1=x 2=-1,故a=-5舍去)

2.260.

提示:作GF 边的中线CE.则AC=1FG=CE,CE=EF.

从而∠BAF=∠F=∠FCE,设为x;∠AEC=∠CAE,设为y.

于是x+y=78,且y=2x.

;

提示:设直线为y=kx+b,

易得,且s=1

2b·(-b k ),(k<0,b>0).消去k,再由Δ≥0,得到s 的最小值,从而求得k 和b.

4.750或150;

提示:作CD⊥AB,则CA·CB=2R·CD=R 2,

从而2CD=R,∠AOC=300(C 在在半圆上时),

或1800-300(C 在右半圆上时).

提示:先化为3+(2-)=a+b.

因为a 为正整数,0

6.8.

提示:由Δ≥0有a≥3,或a≤-2;由韦达定理有:原式=2

39444a ??-- ???,故当a=3时,原式取得最小值8.

二.AADACD.

1.提示:由题意有a+b+c=40,a+b-c=2r,a 2+b 2=c

2.

消去c,得a+b=20+r,

于是c 2=[40-(a+b)]2=[40-(20+r)]2=(20-r)2,

所以(a+b)2-2ab=c 2=(20-r)2,

可得ab=40r.

故可构造以a,b(直角边)为两根、r 为

数的一元二次方程,由Δ≥0即得.

3.设切下x 公斤,甲,乙含铜率分别为a,b,则(40)(60)4060

x a bx x b ax -+-+=.4.ΔAOB 的面积为x,则ΔBOC,ΔCOD,

ΔDOA 的面积分别为5-x,4+x,6-x.

6x AO x -==-+.5.设菱形边长为a,两对角线为2m,2n,高为h,则

a 2=2m·2n,且12m·2n=ah,

所以a=2h,易得结果.

6.提示:α2βγ=αβ·αγ,

α是公共根,代入两方程,

消去平方项,有(α-2)(7m+1)=0,

所以α=2或m=-17.

若α=2,代入得m=9,

原式=αβ·αγ=(m+5)(15m+7)=1988;

若m=-17

,则Δ1<0,舍去.

三.3

解:y=-(x-1)2+9,

所以,顶点为A 0(1,9),对称轴为x=1.

由于抛物线交x 轴于B(-2,0),C(4,0),BC=6,

则BC 的中点为D(1,0).

设以BC 为直径的圆与抛物线的交点为(x,y),

则y=-(x-1)2+9(1)

且由交点与D 距离为3有:(x-1)2+y 2=32(2)

由(1),(2)消去(x-1)2,所得方程的Δ>0,

所以,圆与抛物线有两个交点，设为P、Q.

因为点A 在圆外时,∠BAC<900,

所以,点A 在抛物线弧 0PA Q 内(不含端点)时,∠BAC<900.而DP=DQ=3,A 0D=9,

故3

四．连OA,OE,DC,先证A,D,O,C 及A,O,C,E 共圆,故O,D,A,E,C 共圆,∠ADE=∠AOE=∠B.

五.先求得交点横坐标:x 1=-1-

224,1(2,4)42x k k k k =--≠≠--,所以k-4=-121x +,k-2=-241

x +,(x 1≠-1,x 2≠-1)消去k,得x 1x 2+3x 1+2=0,

x 1(x 2+3)=-2,易得,k=6,3,103.