初中数学竞赛精品标准教程及练习22：分式
初 中数学竞赛精品标准教程及练习（22）
分式
一、内容提要．除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。
(1)分式B
A 中，当
B ≠0时有意义；当A 、B 同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。
(2)若A 、B 及
B
A 都是整数，那么A 是
B 的倍数，B 是A 的约数。(3)一切有理数可用B A 来表示，其中A 是整数，B 是正整数，且A 、B 互质。．
分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。
二、例题例1．x 取什么值时，分式x
x x x 23222+--的值是零？是正数？是负数？解： x
x x x 23222+--＝)2()3)(1+-+x x x x （ 以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；
当x<－2, －1 72-+m m 的值是正整数？解：1 72-+m m ＝1922-+-m m ＝2＋19-m 当例3．计算14++x x ＋32--x x －12-+x x －3 4++x x 19-m ＞－2且m －1是9的约数时，分式的值是正整数即m －1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8。 答：（略） 解：用带余除法得，原式＝1＋13+x ＋1＋31-x －1－13-x －1－31+x ＝)1)(1()1(3)1(3-++--x x x x ＋) 3)(3()3()3(+---+x x x x ＝ 162-x －＋962-x ＝)9)(1(4822--x x 3 4．已知（a+b ）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a ∶b ∶c ②bc c ab a +-22解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加 得2（a+b+c ）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式 得a=2k, b=k, c=3k ∴①a ∶b ∶c =2∶1∶3 ②bc c ab a +-22＝k k k k k k 3)3(2)2(22??-＋＝61 例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？ 解：设这个两位数为10x+y ，那么0＜x ≤9, 0≤y ≤9 y x y x ++10＝1＋y x x +9 当x 取最小值1，y 取最大值9时，分式y x x +9的值最小；当x 取最大值9，y 取最小值0时，分式y x x +9的值最大。 答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。 三、练习22 1． a=___时，分式62 2-+-a a a 的值是0 2． 已知? ??=++=--02022z y x z y x 则分式2222 22z y x z y x ++--＝＿＿＿＿ 3． 若x 和分式1 23-+x x 都是整数，那么x=_______________ 4． 直接写出结果: ① x 21 2x ＋=(x+ x 1)2-______ ②(x 2+21x +2)÷（x+)1x =____ ③ （x 2-21x ）÷（x+x 1）=__＿＿ ④（1＋)1x （1－)112x x +＝＿＿＿＿ 5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 ＋＋＋ x 11 1111 6．x 取什么值时分式9222---x x x 的值是零？是正数？是负数？