八年级(上)数学第三章《勾股定理》单元测试及答案

八年级(上)数学第三章《勾股定理》单元测试

班级： 姓名： 学号：

一、选择题（每题3分，共30分）

1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）

A ．斜边长为5

B ．三角形的周长为25

C ．斜边长为25

D ．三角形的面积为20 2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）

A ．1.5，2，3

B ．7，24，25

C ．6，8，10

D ．9，12，15 3．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）

A ．6

B.8

C.

13

18 D.

13

60 4．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）

A ．8米

B ．10米

C ．12米

D ．14米

5．在△ABC 中，∠C =90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（ ） A ．5，4，3 B ．13，12，5 C ．10，8，6 D ．26，24，10

6．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a （a ＞0）； ⑤m 2﹣n 2，2mn ，m 2+n 2（m ，n 为正整数，且m ＞n ）其中可以构成直角三角形的有（ ） A ．5组 B ．4组 C ．3组 D ．2组 7．下列结论错误的是（ ）

A ．三个角度之比为1：2：3的三角形是直角三角形

B ．三个边长之比为3：4：5的三角形是直角三角形

C ．三个边长之比为8：16：17的三角形是直角三角形

D ．三个角度之比为1：1：2的三角形是直角三角形

8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把 竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ） A ． 2m B ．2.5m C ．2.25m D ．3m

9．小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米，宽为46厘米，则这台电视机的尺寸是（实际测量 的误差可不计）（ ）

A ．9英寸（23厘米）

B ．21英寸（54厘米）

C ．29英寸（74厘米）

D ．34英寸（87厘米）

10．观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有（）组．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每题3分，共30分）

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_________；（2）b=8，c=17，则S△ABC=_________．

12．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是_________米．13．已知|x﹣6|+|y﹣8|+（z﹣10）2=0，则由此x，y，z为三边的三角形面积为_________．

14．在△ABC中，若三边长分别为9，12，15，则以这样的三角形拼成的矩形面积为_________．15．△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD=_________cm．

16．如图所示的线段的长度或正方形的面积为多少．（注：下列各图中的三角形均为直角三角形）．答：A=_________，y=_________，B=_________．

17．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长是_________．

18．求图中直角三角形中未知的长度：b=_________，c=_________．

19．（2003?吉林）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_________cm2．

20．已知三角形的三边长分别是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，则最大角是_________度．

三、解答题（共60分）

21．做一做，如图每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形ABCD的面积．

22．如图，一直角三角形三边长分别为6，8，10，且是三个圆的直径，求阴影部分面积（π取3.14）

23．一个三角形的三边长的比为3：4：5，那么这个三角形是直角三角形吗，为什么？

24．如图所示，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=53°，∠B=37°．AB=5km，BC=4km，若每天凿0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通？

25．（8分）观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值．

26．（8分）如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

27．（9分）如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利

用这个图试说明勾股定理．

28．（9分）如图，某游泳池长48米，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处（A点）出发，小方平均速度为3米/秒，小杨为3.1米/秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（AC方向）游，而小方直游（AB方向），两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？

参考答案

1，解：两直角边长分别为3和4，

∴斜边==5；

故选A．

2，解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；

B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；

C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故错误；

D、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故错误．

故选A．

3，解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．故选D．

4，解：画出示意图如下所示：

设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

∴x2+52=（x+1）2，

解得：x=12，

∴AB=12m，

即旗杆的高是12m．

故选C．

5，解：设斜边是13k，直角边是5k，

根据勾股定理，得另一条直角边是12k．

根据题意，得：13k+5k+12k=60

解得：k=2．则三边分别是26，24，10．

故选D．

6，解：①中有92+122=152；

②中有72+242=252；

③（32）2+（42）2≠（52）2；

④中有（3a）2+（4a）2=（5a）2；

⑤中有（m2﹣n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2，所以可以构成4组直角三角形．

7，解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30°，60°，90°，所以该结论正确；

B、因为其三边符合勾股定理的逆定理，所以该结论正确；

C、因为其三边不符合勾股定理的逆定理，所以该结论不正确；

D、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，所以该结论正确．

故选C．

8，解：若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，由题意得，

x2=1.52+（x﹣0.5）2解之得，x=2.5

所以水深2.5﹣0.5=2米．

故选A．

9，解：根据勾股定理≈74．

故选C．

10，解：①82+152=172，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；

②72+122≠152，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；

③122+152≠202，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；

④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确．

故选B．

11，解：（1）如图：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，

∴c2=a2+b2=52+122=132，

∴c=13．

故答案是：13；

（2）如图：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，b=8，c=17，

∴a==15，

∴S△ABC=ab=×15×8=60．

故答案是：60．

12，解：∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，

∴另一直角边长==12m，

故梯子可到达建筑物的高度是12m．

13，解：∵|x﹣6|+|y﹣8|+（z﹣10）2=0，

∴x﹣6=0，y﹣8=0，z﹣10=0，

∵62+82=102，

∴x，y，z为三边的三角形是直角三角形，

∴S=6×8÷2=24．

故答案为：24．

14，解：∵92+122=152，∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，且两短边的边长分别为9，12，∴以这样的三角形拼成的矩形面积为9×12=108．故填108．

15，解：∵等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角平分线三线合一

∴BD=BC，

∵BC=16cm，

∴BD=BC=×16=8cm，

∵AB=AC=17cm，

∴AD====15cm．

16，解：根据勾股定理，A=289﹣64=225；

y===39；

B=172﹣82=289﹣64=225．

故答案为：225；39；225．

17，解：当长是3和4的两边是两条直角边时，第三边是斜边==5；

当长是3和4的两边一条是直角边，一条是斜边时，则长是4的一定是斜边，第三边是直角边

==．

故第三边长是：5或．

故答案是：5或．

18，解：根据勾股定理得：b===12；

c===30．

故答案为：12，30．

19，解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．20，解：∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n4+8n3+8n2+4n+1=（2n2+2n+1）2．

∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，则最大角为90°，故填90．

21，解：∵S=5×2÷2=5，S=5×3÷2=7.5，

∴四边形ABCD的面积=S△ADC+S△ABC=5+7.5=12.5．

22，解：根据题意可知：从小到大半圆的直径分别为6，8，10，所以半径分别为：3，4，5，

则阴影部分的面积S=π×32+π×42+π×52=25π≈78.5．

23，解：是直角三角形；

因为边长之比满足3：4：5，

设三边分别为3x、4x、5x，

∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，

即满足两边的平方和等于第三边的平方，

所以它是直角三角形．

24，解：∵∠A=53°，∠B=37°∴∠ACB=90°，

又∵在Rt△ABC中，AC2=AB2﹣BC2=52﹣42=9，∴AC=3，

需要的时间t===10（天）．

故需要10天才能把隧道AC凿通．

25，解：根据题意可知当n=13时，

b=（352﹣1）=612，

c=（352+1）=613．

26，解：连接AC，

已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，

根据AD2+CD2=AC2，可以求得AC=15m，

在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，

∴存在AC2+CB2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，

要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，

S=S△ABC﹣S△ACD=AC?BC﹣CD?AD，

=×15×36﹣×9×12，

=270﹣54，

=216m2，

27，解：∵大正方形面积为：c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（a﹣b）2，所以c2=4×ab+（a﹣b）2，

即c2=a2+b2，

在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．

28，解：如图，AB表示小方的路线，AC表示小杨的路线，

由题意可知，AB=48，BC=14，

在直角三角形ABC中，AC==50，

小方用时：=16秒，小杨用时秒，

因为16，所以小方用时少，即小方先到达终点．