正多边形的有关计算

正多边形的有关计算

【基础知识精讲】

一、定理: 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形. 二、正多边形有关计算

(1)正n 边形角的计算公式：①每个内角等于n n ?

?-180)2((n 为大于或等于3的整数)；②每个外角＝每个中心角＝n ?

360.

(2)正n 边形的其他有关计算，由于正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n 边形各元素之间的关系，所以，可以把正n 边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R ，一条直角边是边心距r n ，另一条直角边是

边长a n 的一半(即2

n a )；两个锐角分别为中心角的一半(即n ?180)和一个内角的一半(即n ?

90)或(即

90°-n ?180).

【重点难点解析】

重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正n 边形的半径和边心距

把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题.

例1.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.

解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为n n ?

?-180)2(，外角为n ?360，依题意得：

n n ??-180)2(-n ?

360＝100°.

解得n ＝9 答：这个正多边形的边数为9.

例2.如图7-42，已知：正三角形ABC 外接圆的半径为R ，求它的边长，边心距、周长和面积.

解：连结OB ，过O 作OM⊥BC 于M

∴∠BOM＝

3

180?

＝60°，∴∠OBM＝30°

∴OM＝2

1

OB＝

2

1

R，∴γ3＝

2

R

BM＝

2

2OM

OB-＝

2

2)

2

(

R

R-

＝

2

3

R ∴a3＝BC＝2BM＝

3R

∴P3＝3a3＝3

3R

∴S3＝3S△BOC＝3×2

1

3R·2

R

＝

4

3

3

R2

例3.一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.

解：如图7-43，设O，O′分别是正三角形ABC，正六边形EFGHIJ的中心，分别作OD⊥BC于D，作O′K⊥GH

于K，连OB，O′G，则在Rt△ODB中，∠BOD＝

3

180?

＝60°，BD＝

2

1

a3，

∴r3＝OD＝BD·ctg60°＝6

3

a3，

∴S3＝6S△ODB＝6×2

1

BD·OD

＝6×2

1

×

2

1

a3×

6

3

a3＝

4

3

a32.

在Rt△O′KG中，∠GO′K＝

6

180?

＝30°，GK＝

2

1

a6

∴r6＝O′K＝GK·ctg30°＝2

3

a6

∴S6＝12S△O′GK＝12×2

1

×GK×O′K

＝12×2

1

×

2

1

a32×

2

3

a6＝

2

3

3

a62∵S3＝S6，

∴

4

3

a23＝

2

3

3

a26∴

2

6

2

5

a

a

＝

2

3

，

∴

2

6

2

5

a

a

＝

2

3

，即a3∶a2＝

2

6

例4.求证：正n边形的面积S n等于其周长P n与边心距r n的积的一半

.

证明：如图7-44，设⊙O是正n边形ABC…的内切圆，其中AB与⊙O相切于D，连OA，OD，OB，知OD⊥AB

且OD＝r n，∴S△OAB＝2

1

·AB·OD＝

2

1

·

n

P

n

·r n.

∵正n边形有n个如同△OAB的等腰三角形，

∴S n＝nS△OA B＝n·2

1

·

n

P

n

·r n＝

2

1

P n r n.

【难题巧解点拨】

例1.已知：如图7-45，⊙O半径为R，求⊙O内接正八边形的边长a8，边心距r8和中心角

.

解：连结OA、OB，并作OK⊥AB于点K，

中心角α＝∠AOB＝

8

360?

＝45°

在Rt△AOK中，∠AKO＝90°，OA＝R，∠AOK＝2

1

α＝22.5°

故AK＝OA×sin∠AOK＝R·sin22.5°，

∴AK＝0.3827R

∴a8＝AB＝2AK＝0.7654R

r8＝OK＝OA·cos∠AOK＝R·cos22.5°＝0.9239R

〔说明〕(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常

常归结为解这个直角三角形.

(2)若正n边形的半径为R，则它的中心角α＝

n

?360

，

边长a n＝2R·sin

n

?

180

，边心距r a＝R·cos

n

?

180

.

例2.已知如图7-46，等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积.

解：设BC切⊙O于M，连OM，OB，则OM⊥BC，

在Rt△OMB中，∠BOM＝

3

180?

＝60°

BM＝2

1

BC＝

2

1

a

OM＝BM·ctg∠BOM＝2

1

a·ctg60°＝

6

3

a

连结OE，作ON⊥EF于N，

则OE ＝OM ＝

6

3a

在Rt△ONE 中，∠EON＝4180 ＝45°，OE ＝6

3

a

∴EN＝OE·sin∠EON＝

63a·2

2＝

12

6a

∴EF＝2EN ＝

66a

∴S 正方形DEFG ＝EF 2

＝(

6

6a)2

＝6

2

a

〔说明〕解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆O 的半径既

是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出⊙O 的半径是个突破口.

【课本难题解答】

例.已知：半径为R 的圆内接正n 边形的边长为a n

，求证：同圆内接正2n 边形的面积等于2

1

nRa n ，利

用这个结果，求半径为R 的圆内接正八边形的面积(用代数式表示).

提示：如图7-47，连结OA ，OB ，OA′AB，则OA′⊥AB，

∴四边形OAA′B 的面积等于

2

1AB·OA′＝2

1

Ra n

∴半径为R 的圆内接正2n 边形的面积等于21

nRa n

半径为R 的正八边形的面积等于2

1

4Ra 4＝2

2R

2

【命题趋势分析】

正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题内容，主要在各类考试中的填空和选择题中.

【典型热点考题】

例1.已知正六边形的半径为3cm，则这个正六边形的周长为cm.(2000年江苏南通) 分析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P6＝6a n求出周长.

例2.已知正多边形的边心距与边长的比为2

1

，则此正多边形为( ).

A.正三角形

B.正方形

C.正六边形

D.正十二边形

(2000年浙江台州) 分析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选(B).

例3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )

A.2

6

B.

4

3

C.

3

6

D.

3

4

(2000年北京石景山)

分析：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选(A).

【同步达纲练习】

一、填空题

1.正n边形的半径和边心距把正n边形分成个全等的直角三角形.

2.正三角形的半径为R，则边长为，边心距为，面积为

.若正三角形边长为a，则半径为.

3.正n边形的一个外角为30°，则它的边数为，它的内角和为.

4.如果一正n边形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正n边形的边数n＝ .

5.正六边形的边长为1，则它的半径为，面积为.

6.同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为.

7.正三角形的高∶半径∶边心距为.

8.边长为1的正六边形的内切圆的面积是.

二、选择题

1.正方形的外接圆半径与内切圆的半径之比是( )

A.

2∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶2

2.两圆半径之比为2∶3，小圆的外切正六边形与大圆的内接正六边形面积之比为( )

A.2∶3

B.4∶9

C.16∶27

D.4∶3

3

3.正三角形的外接圆半径是4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形外接圆半径长为( )

A.8

6cm B.46cm C.26cm D. 6cm

三、计算题

3cm，求：这个多边形的边长和面积.

1.已知一个正n边形的外接圆半径和内切圆半径分别为20cm，10

2.已知⊙O的半径为R，求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长.

【素质优化训练】

1.如图7-48所示，已知三个等圆⊙A、⊙B、⊙C两两外切，E点为⊙A、⊙C的切点，ED⊥BC于D，圆的半径为1，求DE的长.

2.证明：如果延长正六边形的各边，使其两两相交，顺次连结各交点，则得一个新的正六边形，而它的面

积等于原正六边形面积的三倍.

【知识探究学习】

如图7-49，ABCD为正方形，E、F分别在BC、CD上，且ΔAEF为正三角形，四边形A′B′C′D′为ΔAEF的内接正方形，ΔA′E′F′为正方形A′B′C′D′的内接正三角形。

(1)试猜想ABCD

D C B A S S 正方形正方形''''与AEF

'

F 'E 'A S S ??的大小关系，并证明你的结论；

(2)求ABCD D C B A S S 正方形正方形'

'''的值.

参考答案

【同步达纲练习】

一、1.2n 2.

3R 21

R;4

33R 2

33a 3.12；1800° 4.n=5 5.1;233 6.

3∶2∶1

7.3∶2∶1 8.4

3π

二、1.A 2.C 3.C

三、1.边长为20cm ，面积为600

3cm 2

2.所求正方形的周长为2

2R

【素质优化训练】

1.△ABC 为正三角形，DE ＝

2

32.(略)