广义相对论的扩展及引力与电磁相互作用的统一
分类号：0412.1单位代码：10183 研究生学号：2006322042 密级：公开
吉林大学
硕士学位论文
广义相对论的扩展
及电磁与引力相互作用的统一
The extension of general relativity and the unification of gravitation and electromagnetic
作者姓名：黄修林
专业：理论物理
研究方向：广义相对论
指导教师：吴式枢教授
培养单位：物理学院
2009年6月
————————————————
广义相对论的扩展及
引力与电磁相互作用的统一
—————————————————
The extension of general relativity and
the unification of gravitation and electromagnetic ———————————————————————
作者姓名：黄修林
专业名称：理论物理
指导教师：吴式枢
学位类别：理学硕士
答辩日期：2009年6月4日
未经本论文作者的书面授权，依法收存和保管本论文书面版本、电子版本的任何单位和个人，均不得对本论文的全部或部分内容进行任何形式的复制、修改、发行、出租、改编等有碍作者著作权的商业性使用（但纯学术性使用不在此限）。否则，应承担侵权的法律责任。
吉林大学硕士学位论文原创性声明
本人郑重声明：所呈交学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：
日期：年月日
《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》投稿声明
研究生院：
本人同意《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》出版章程的内容，
愿意将本人的学位论文委托研究生院向中国学术期刊（光盘版）电子
杂志社的《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》投稿，希望《中国
优秀博硕士学位论文全文数据库》给予出版，并同意在《中国博硕士
学位论文评价数据库》和CNKI系列数据库中使用，同意按章程规定
享受相关权益。
论文级别：√硕士 □博士
学科专业：理论物理
论文题目：广义相对论的扩展及电磁与引力相互作用的统一
作者签名： 指导教师签名：
年 月 日
作者联系地址（邮编）：长春市解放大路2519号吉林大学前卫北区理化 楼460室（130021）
作者联系电话：137********
内容提要
爱因斯坦自1923年起直到1955年去世,把后半生的主要精力都用于创建统一场论的工作。基本思想要把广义相对论进行逐步扩展，将引力相互作用和电磁相互作用统一起来，从而实现物理学理论基础的深刻而广泛的统一。这就是爱因斯坦的统一场论的基本思想。他认为统一场论应是相对论发展的第三个里程。虽然他未获成功,却为后人指明了前进的方向。
然而广义相对论中的对等效原理解释不够清楚，而且对等效原理的适用范围还有争论。另一方面量子场论中的规范理论中包含着很深刻的几何意义，是否能找到广义相对论与量子场论的联系呢？本文将做一些尝试。
受爱因斯坦思想的启发，对广义相对论的基本原理进行了重新思考：（1）对时空的概念做清晰的定义从而推广广义相对论的适用范围；（2）将假定电磁场度规，通过测地线方程来推导电磁场运动学方程；（3）然后再应用假定的电磁场度规研究弯曲时空的Dirac方程，找出Dirac场的相互作用项；（4）通过对广义相对论的推广,找到电磁场中规范变换的几何意义，并与广义相对论中的规范变换一致。
关键词：
广义相对论，时空，电磁相互作用，Dirac方程
目 录
内容提要.................................................I 目 录..................................................II 第一章 广义相对论简介 (1)
1.1广义相对论基础 (1)
1.1.1广义相对论基础 (2)
1.1.2广义相对论时空观 (3)
1.1.3引力与爱因斯坦方程 (4)
1.2广义相对论中的测量 (7)
1.2.1测量的基本思想 (7)
1.2.2标架方法 (8)
1.3广义相对论中的规范变换 (11)
1.4弯曲时空中的DIRAC方程 (14)
第二章 广义相对论的扩展 (22)
2.1时空观的新认识 (22)
2.1.1传统的时空观 (22)
2.1.2新时空观 (24)
2.1.3新时空的特性 (26)
2.2相互作用的新理解 (30)
2.2.1电磁相互作用的新理解 (30)
2.2.2引力场中的运动方程 (32)
2.3电磁场度规与运动方程 (35)
第三章 弯曲时空中的DIRAC方程 (41)
3.1弯曲时空中的DIRAC方程 (41)
3.2电磁场规范变换与引力场规范变换的统一 (45)
第四章 总结 (48)
参考文献 (49)
致 谢 (51)
中文摘要 (1)
ABSTRACT (3)
符号说明
拉丁指标等等一般遍历三个空间坐标记号，通常是1，2，3或X，Y，Z。
i j k l ，，， 希腊指标δγβα，，，等等一般遍历四个空-时惯性坐标记号1
，，，。 ?2
?3?4? 希腊指标λκνμ，，，等等一般遍历任意坐标系中的四个坐标记号1，2，3，4。
除特别申明外，重复的指标表示求和。
惯性坐标系中的度规只有对角元素1，-1，-1，-1.
αβη
第一章广义相对论简介
首先介绍广义相对论的一些基础知识：时空观、测量理论、规范变换和弯曲时空的Dirac方程。这里用一定的篇幅交代这些基本概念，先把这些问题讲清楚，后面将以这些成熟的理论为基础，对广义相对论进行扩展。
1.1 广义相对论基础
广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论，它是现代物理学中引力理论研究的最好表述。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在推广的狭义相对论的框架中，即众所周知的等效原理。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率），而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程。从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应等。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。
1.1.1 广义相对论基础
爱因斯坦把他的引力理论建立在等效原理和广义相对性原理的基础之上，并把这一理论看作是狭义相对论的推广，因而称其为广义相对论。
我们先介绍广义相对论的理论基础：等效原理和广义相对性原理。
等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。更详细的表述：在任意引力场里的每一个空时点，有可能选择一个“局部惯性系”，使得在所讨论的那一点附近的充分下的邻域内，自然规律的形式，与没有引力场时在未加速的笛卡尔坐标系里具有相同的形式。
等效原理的实验基础是引力质量与惯性质量相等。由牛顿第二定律
I F m a =， （1.1.1） 通过对力和加速度的测量，可以定义一个叫做惯性质量的物理量，它是物体惯性的量度，反映该物体对加速度的阻抗。
I m 由万有引力定律
1(2)2g
g m m F r =（）， （1.1.2）
g m 通过对力和距离的测量，可以定义一个叫做引力质量的物理量，它是物体引力属性的量度，反映该物体产生与承受引力场的本领。 等效原理的适用范围有两点。第一，等效原理仅在局部时空范围（即一个时空的邻域）内成立。第二，“等效”仅仅是指动力学效应
而言。更确切说, 就是指加速效应。引力与惯性力毕竟有本质的不同, 引力场对时空要产生一种内禀效应, 使时空弯曲, 而惯性力场无此效应。因而没有理由认为这两种场的一切物理效应都等价（这是传统广义相对论的观点，本文的观点与此不同，第二章将对这个问题进行阐述。）
广义相对性原理：一切参考系都是平权的。或换言之，客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变——广义协变性。广义相对性原理要求物理定律用张量方程，这就是广义相对性原理的最重要作用。
1.1.2广义相对论时空观
在广义相对论中，时空被认为是由物质分布状况决定的引力场的结构性质。只有在无引力场存在时，时空才是平直的；有引力场存在时，时空是弯曲的，即引力场强度分布与空间曲率分布一一对应。当用弯曲空间取代引力场后，受引力场作用的质点就成了自由质点，沿弯曲空间中的短程线运动。
狭义相对论中的时空背景是平直时空的
M闵氏空间，爱因斯坦
4
V
的广义相对论使用的弯曲时空是黎曼空间（本文后面讨论的对广义
4
V
相对论的扩展将是黎曼空间，挠率为零。）
4
引力场的几何化——用时空的几何结构来描述引力广义相对论时空观：时空不过是由物质分布状况决定的引力场的结构，时空弯曲描述了引力场的分布。下面我们将介绍等效原理是如何把引力场几何
化的。
1.1.3 引力与爱因斯坦方程
下面我们介绍如何使用等效原理得到在弯曲时空中的运动方程。考虑在纯粹引力作用下做自由运动粒子[]1。根据等效原理，存在一个自由降落的坐标系，粒子在这个坐标系里的运动方程是时空中的一条直线，即
αξ220d d α
ξτ=， （1.1.3） 其中是原时，
d τ2-d d αβαβτηξξ=d 。 （1.1.4） μ
x 现在我们采用静止于实验室的笛卡尔坐标系。自由降落坐标是的函数，方程（1.1.4）变为 αξ2220d dx d x dx dx d x d x d x x d d αμ
αμαμνμμμνξξξττ
τττ???=+????（）=， （1.1.5） x λαξ
??此将（1.1.5）式乘以，利用乘积规则 x x αλ
λμμαξδξ??=??， （1.1.6） 可得到运动方程
220d x dx dx d d d λμνλμντττ
+Γ=。 （1.1.7） 其中，是仿射联络，被定义为
λμνΓ2x x x λαλ
μναμνξξ??Γ=???。 （1.1.8）
原时（1.1.4）式可以用任意的坐标系表示成
2-d dx x x
αβμαβμνξξτη??=??dx νx ， （1.1.9） 或
2-d g dx d μνμντ=。 （1.1.10） 其中，是度规张量，被定义为
g μνg x x αβμναβμνξξη??=??。 （1.1.11） 在V 黎曼空间里，度规张量决定了空间局域的全部几何性质。通
过广义协变性，以及在黎曼空间中联络的对称性，
经过一系列的计算可以得到
4λg μνλμννμΓ=Γ[]2,,1-2g g g g λ
τνμνμνλνλμλμνΓ=+（,）ρ。 （1.1.12） 进而在黎曼几何中与空间性质关系更密切的黎曼曲率张量也可确定。
ντλμR ,,R μ
μμμρμντλντλ
νλτρλντρτνλ=Γ?Γ+ΓΓ?ΓΓ。 （1.1.13） 对黎曼张量进行指标的缩并可以得到里奇张量，
R μντλμνR ..R R R R g R λλλλρμνμλνμνλμλυ
ρμλυ==?==。 （1.1.14） R μνR
对奇张量缩并得到曲率标量R R g R g R μ
μνμμνμν≡==μν。 （1.1.15）
对毕安齐恒等式
;;;0R R R μ
μμντλρνλρτνρτλ++= （1.1.16） 的缩并，再经过简单的计算μτ，就得到著名的爱因斯坦方程
[]2
2182G R g R G T c μνμνμνμνπ?==
。 （1.1.17） G μν为爱因斯坦张量，T 是能动-动量-应力张量，G 是引力常数。该
方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶曲型偏微分方程。球对称的准确解称为史瓦西解，在天体物理中有很广泛的应用。 μν场方程的一个重要结果是遵守局域的能量与动量守恒，透过应力-能量张量）可写成 （代表能量密度、动量密度以及应力;0T μν
ν=。 （1.1.18） ν;（）用表示协变微商，具体的形式为
;x T T λ
λ
μ??=+ΓT λνμν， （1.1.19） ;x T T ννμλμ??=?ΓT λμν，
（1.1.20） ;x T T T μν
μν
μλννμλτλτλτ+??=+ΓΓT ， （1.1.21） ;x T T T μνμνλνμλτλλτμτ???=
?ΓΓT ντ， （1.1.22） ;x T T T μ
μ
λννντμλτλτ???=+ΓΓT μλντ。
（1.1.23） 从引力场方程可看出, （1.1.17）式左边是描写时空性质的量, 方程右边是描写物质性质的量。这两种量的耦合, 表明时空结构（时空存在和几何性质）依赖于物质运动（包括物质分布）, 也就是取决于。
T μν 从1907年等效原理（）开始，到后来（1912年前后）发展出“宇
宙中一切物质的运动都可以用曲率来描述，
引力场实际上是弯曲时空
的表现”的思想，爱因斯坦历经漫长的试误过程，于1916年11月25日写下了引力场方程（1.1.17）而完成广义相对论。
1.2 广义相对论中的测量
在广义相对论中，需要一个理论来说明某一观测者在他的局域参考系中所测到的物理量与张量性物理理论中所得出的物理量之间的关系，这就是观测量的理论。该理论一般是很复杂的。但对于局域的观测，它的含义却是简单明确的。
1.2.1测量的基本思想
在狭义相对论中，时空坐标具有测量意义，时间坐标的差值就是代表测量到的时间间隔，空间坐标的差值则代表测量到的空间距离。然而，在广义相对论中，时空坐标只是事件的一个相当随意的标志，没有测量意义。坐标差值并不代表测量到的时间间隔或空间距离。
任意观测者都有权认为自己是静止的，因此他可以把他的世界线的切向当作他的时间轴方向。与时间轴正交的三维子空间就是他的普
dxμ
通空间。被观测事件P与Q的时空坐标差是一个四维矢量。若把这个四维矢量往观测者的时间轴上投影，所得到的就是他应测量的P 与Q的时间间隔。同样，若把这四维矢量往观测者的空间部分投影，所得的矢量的长度就是他应测量得的P与Q的空间距离。这就是我们关于空间测量的基本观念。问题在于如何引入时间方向和空间部分
[]3
的投影运算。
1.2.2标架方法
标架方法在测量理论中有重要的作用，在标架方法下测量理论可以被很好的描述。
我们以观测者的世界线的切向为基准来建立他的参考系。这样自然地把它他的四维时空隔成了相互正交的两部分，平行于世界线切向的一维称为他的时间，垂直于这方向的三维称为他的空间。现在我们再在他的三维空间引入三个两两正交的类空轴，它与时间轴合在一起就叫做观测者的四轴系。我们也叫它正交4－标架，简称正交标架。正交标架构成了测量者的一个完整的局域参考系。任何局域的张量性物理量都可以通过向正交标架的投影，使每一分量获得确切的测量意义。
测量有以下要求：
（1）测量必须在二世界线的交点的某个邻域内进行，是局域的；
（2）观测者应配备有在远离引力场源的地方制备的狭义相对论意义上对准好的标准钟与标准尺，这种标准钟与标准尺作为局部惯性系的一部分，通过准静态过程引入到弯曲时空中任一点；
（3）观测量应是由正交标架与所要观测的物理量构成的标量或广义坐标不变量。
我们先看看正交标架的具体形式。由等效原理知，在黎曼时空中
任一点可引人局部惯性系：
2d g dx dx d d μναβμναβτη==ξξ， （1.2.1） 其中
g e e x x αβαβμναβαβμνμνξξηη??=≡??。 （1.2.2） 得到
e x α
αμ
μξ?=?， （1.2.3） 有
e βαμαβμη=e αμμ。 （1.2.4）
e αμ对协变指标是正交归一
e e αννμαμδ=， （1.2.5） 其中
e g e νμνα=。 （1.2.6） e αμ对标架指标也是正交归一的
e e μββαμαδ=。 （1.2.7） 由（1.2.5），（1.2.7）式可知无论对协变指标μ还是对标架指标α，都是正交归一的。所以把叫正交标架，由（1.2.2）式像是度规的一半，所以也叫半度规。
e αμe αμe αμ测量量就是在和投影，比如时间间隔应是无穷小位移4－矢
量在类时标架上的投影，即 e αμe μ
β?0e U μ=dx
μ?0g d g e dx g U dx d μνμννμνμντ===x ， （1.2.8）
dx U ds μ
μ
=其中U 是观测者的4－速度μ。 粒子的能量观测量E 应是该粒子的四维动量在观测者的类时标架上的投影，即
p μU μE p U μμ=， （1.2.9） 动量的各分量为
。 （1.2.10）
i p p e μμ=i {}0000U U μ=，
，， 我们注意到有一类特殊的标架，它们的4－速度。观察者与坐标系相对静止，我们称这样的标架为随动标架。有关系
0e αμαμ=>，（）， （1.2.11） 并且的所有分量可以确定e α
μ[]4。它是非常特殊的，在第二章我们主要就是使用随动标架处理具体的物理问题。在这里我们先看看随动标架具有哪些性质。
P
T ′P 观测量只依赖标架的选择。在弯曲时空中的给定点的切空间选定了正交标架{，在}e α′P 点观测者选定了参考系，而他所观测的结果与流形坐标的选择无关。例如对某一物理过程他所测到的物理时空改变量，并不依赖流形坐标是（x ）或者（y ），正如下式所示
αξ′Δx e dx e dx e dx y μααμαναμμνν
ξ?′Δ===?ν。 （1.2.12） 通常广义相对论中指的时空坐标，实际上是时空参数，数学上称为流形坐标。由（1.2.12）式得出所有流形坐标均互相等价，即它们之间的变换不改变观测结果。
1.3 广义相对论中的规范变换
在广义相对论中有一种规范变换，规范变换不改变空间的几何性质或使引力场保持不变[。这与电磁场中的规范变换有一定的相似性。下面介绍广义相对论中规范变换：
]2,5 广义相对论中的引力场场强的表达式为
ια= 。 （1.3.1） 其中
200c -1-2
g χ≡（ ）， （1.3.2）
-i g γ=。 （1.3.3）
我们把χ叫做标量引力势，叫做矢量引力势。
i γ在广义相对论中可以通过坐标变换，不改变引力场，即不改变参考系的空间几何性质，而仅改变引力势。仅仅改变引力势而不改变参
考系的变换是一种特殊的变换，我们把这种变换叫做规范变换[]。规范变换定义为下述变换：
25，
00i i k x x x x x x f x μ′′′′===（），（）（μ）。 （1.3.4）
现在来简单证明规范变换不改变空间的几何性质或使引力场保持不变。由（1.3.4）式有
000i i
x A x ′?==?， （1.3.5）
000i i x A x ?==′
? ， （1.3.6）
而
g g A A τλμντλμν′= 。 （1.3.7）
利用（1.3.5）式得
0000000
00i i g A A g A A g A A g A g τλλμμτλμλμμ′===+ （00）， （1.3.8） 有
0202000000221g A g A c
χ′=?=+ （）（）（， （1.3.9）
0-(-k i i k g A i A A γγ′′= 。 （1.3.10） 利用（1.3.10）式可得
-l m ik ik i k m k lm g A γγγ′′′′=+= A γx 。 （1.3.11）
由此可得
， （1.3.12） 2i k i k ik ik d dx dx dx d σγγ′′′==即在规范变换下是不变量，故纯空间的几何性质或引力场保持不变。
2d σ有了规范变换，我们就可以在不改变引力场的情况下简化引力势：
（1）消去标势 χt c
χ′′= 只要令新坐标中的速率与参考系中静止标准钟的速率相同，就可消去标势。在广义相对论中，标准钟与坐标钟的关系是
0τ2000d g d τ=2t ， （1.3.13） 即