2007-2012“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

1．方程组12,

6

x y x y ?+=??+=??的解的个数为（ ）．

（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4 答：（A ）．

解：若x ≥0，则12,6,x y x y +=???+=??于是6y y -=-，显然不可能．

若0x <，则 12,

6,x y x y -+=???+=??

于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-．

所以，原方程组的解为???=-=,

9,

3y x 只有1个解．

故选（A ）．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．

（A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20 答：（B ）． 解：用枚举法：

红球个数 白球个数 黑球个数 种 数

5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，

6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，

7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，

8 3，2，1，0 4

所以，共16种．

故选（B ）．

3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．

解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以

BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以

BAC ABE ∠=∠．于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．

若△ABC 的外心为1O ，则12

B O

C B A C ∠=∠，所以，⊙O

一定过△ABC 的外心．

故选（B ）．

4．已知三个关于x 的一元二次方程

02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx

恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab

++的值为（ ）．

（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 答：（D ）． 解：设0x 是它们的一个公共实数根，则

0020=++c bx ax ，0020=++a cx bx ，002

0=++b ax cx ．

把上面三个式子相加，并整理得

2

00()(1)0a b c x x ++++=．

因为2

2000131()024

x x x ++=++>，所以0a b c ++=．

于是

222333333

()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc

+++-+++== 3()

3ab a b abc

-+=

=．

故选（D ）．

5．方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 答：（A ）． 解：原方程可化为

（第3题答案图）

2(1)(2)3(1)(1)2x x x x x y y y ++++=-++（），

因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．

故选(A).

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．

答：4．

解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称点记为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍．而

11

22222

BPO S PO CO ?=?=??=．

因此，这两部分面积之差的绝对值是4．

7．如图, 点A ，C 都在函数33

(0)y x x

=

>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．

答：（26，0）．

解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE ＝3a ，CF ＝3b ，所以，点A ，C 的坐标为

（a ，3a ），（2a ＋b ，3b ），

所以 2

333,

3(2)33,

a b a b ?=??+=??

解得

3,

63,

a b ?=??

=-?? 因此，点D 的坐标为（26，0）．

（第6题答案图）

（第7题答案图）

8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．

答：1-≤1

2

a <-，或者323a =-．

解：分两种情况：

（Ⅰ）因为二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以

[][]

032)3(231)3(1

22

<+?-+?+?-+a a ，

得112

a -<<-．

由031)3(12=+?-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；

由032)3(22=+?-+a ，得12

a =-，此时21=x ，23

2=x ，不符合题意．

（Ⅱ）令()2330x a x +-+=，由判别式0?=，得323a =±．

当323a =+时，123x x ==-，不合题意；当323a =-时，123x x ==，符合题意．

综上所述，a 的取值范围是1-≤1

2

a <-，或者323a =-．

9．如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=??，则n ＝ ．

答：6．

解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则

AQG A D G ∠=∠+∠+∠，

于是

A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠

B C E F AQG =∠+∠+∠+∠+∠ B C E F BQF =∠+∠+∠+∠+∠

540690=?=??． 所以，n ＝6．

10．已知对于任意正整数n ，都有

312n a a a n +++= ，

则

23100111

111

a a a +++=--- ． （第9题答案图）

答：

33100

． 解：当n ≥2时，有

3121n a a a a n n =++++- ，

3121(1)n a a a n -+++=- ，

两式相减，得 2

331

n a n n =-+， 所以

),1

11(31)1(3111n n n n a n --=-=- ,4,3,2=n 因此

23100111

111

a a a +++

--- 11111111(1)()()32323399100=-+-++- 1133

(1)3100100

=-=

． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11（A ）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214

y x =上的一个动点．

（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线2

14

y x =的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．

解：（1）设点P 的坐标为2

001(,

)4

x x ，则 PM ＝22222

2

0000111(1)(1)1444

x x x x +-=+=

+; 又因为点P 到直线1y =-的距离为22

0011(1)144

x x --=+，

所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切．

…………5分

（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM

＝QR ．

（第11A 题答案图）

因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH ∥MN ∥QR ，于是

QM

MP

RN NH =， 所以 Q R

P H R N

H N

=

， 因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．

于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠．

…………15分

12（A ）．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21

()02

x abx a b -++=是

否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

解：不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为12,x x (1x ≤2x )，则有

1212,1

(),2x x ab x x a b +=??

?=+??

所以 12121

122

x x x x a b ab --=+-，

124(1)(1)(21)(21)5x x a b --+--=.

…………5分

因为a ,b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数，于是，11x -≥0,21x -≥0，21a -≥1,21b -≥1，所以 12(1)(1)0,

(21)(21)5,x x a b --=??

--=? 或 ???=--=--.

1)12)(12(,1)1)(121b a x x （

（1）当12(1)(1)0,

(21)(21)5x x a b --=??

--=?

时，由于a ,b 都是正整数，且a ≤b ，可得

a ＝1，

b ＝3，

此时，一元二次方程为2320x x -+=，它的两个根为11x =，22x =．

（2）当12(1)(1)1,

(21)(21)1x x a b --=??

--=?

时，可得

a ＝1，

b ＝1，

此时，一元二次方程为210x x -+=，它无整数解.

综上所述，当且仅当a ＝1，b ＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x =，22x =． ……………15分

13（A ）．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．

证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则CE ∥DF ．

因为AB 是⊙O 的直径，所以

90ACB ADB ∠=∠=?．

在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得

22PA AC AE AB ==?，

22PB BD BF AB ==?．

……………5分

两式相减可得

()22PA PB AB AE BF -=-，

又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-， 即 PA AE PB BF -=-， 所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．

因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．

……………15分

14（A ）．（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+？ （2）设k (k ≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得

()(1)m m k n n +=+？

解：（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+，则

22(1)1m n n +=++，

显然1n >，于是

2221(1)n n n n <++<+，

所以，21n n ++不是平方数，矛盾． ……………5分

（第13A 题答案图）

（2）当3k =时，若存在正整数m ，n ，满足(3)(1)m m n n +=+，则

2241244m m n n +=+，

22(23)(21)8m n +=++， (2321)(2321)8m n m n +--+++=，

(1)(2)2m n m n -+++=，

而22m n ++>，故上式不可能成立．

………………10分

当k ≥4时，若2k t =（t 是不小于2的整数）为偶数，取

22,1m t t n t =-=-，

则 2242

()()()m m k t t t t t t

+=-+=-， 2

242

(1)(1)n n t t t t +=-=-， 因此这样的（m ，n ）满足条件．

若2k t =＋1（t 是不小于2的整数）为奇数，取

222,22

t t t t m n -+-==，

则 224321()(21)(22)224t t t t m m k t t t t t --+=++=+--， 224

3221(1)(22)224

t t t t n n t t t t +-++=

?=+--， 因此这样的（m ，n ）满足条件．

综上所述，当3k =时，答案是否定的；当k ≥4时，答案是肯定的．

……………15分

注：当k ≥4时，构造的例子不是唯一的．

11（B ）．已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交 于A ，B 两点. 点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间. （1）求线段AB 的长；

（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．

解：（1）解方程组

22

34,34,y x x y x x ?=--+?

?=--??

得 112,6,x y =-??

=? 22

2,

6,x y =??=-? 所以，点A ，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）． 于是

22(22)(66)410AB =++--=．

…………5分

（2）如图，当PQ ∥y 轴时，设点P ，Q 的坐标分别为

)43,(2+--t t t ， )43,(2--t t t ， 22t -<<，

因此 PQ 22(4)t =-≤8， 当0t =时等号成立，所以，PQ 的长的最大值8．

……………15分

12（B ）．实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且0ab bc ca ++=，abc ＝1．求最大的实数k ，使得不等式

a b +≥k c

恒成立．

解：当3

2a b ==-，3

2

2

c =

时，实数a ，b ，c 满足题设条件，此时k ≤4． ……………5分 下面证明：不等式a b +≥4c 对满足题设条件的实数a ，b ，c 恒成立． 由已知条件知，a ，b ，c 都不等于0，且0c >．因为

211

0,0ab a b c c

=>+=-<，

所以a ≤b 0<．

（第11B 题答案图）

由一元二次方程根与系数的关系知，a ，b 是一元二次方程

2211

0x x c c

++=

的两个实数根，于是

414

c c

?=-≥0，

所以 3c ≤1

4

．

……………10分

因此

21

()a b a b c

+=-+=≥44c c =．

……………15分

13（B ）．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足

DE AD

CF BC

=

．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：

（1）

AD PD

BC PC

=

； （2）△PAB ∽△PDC ．

证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠，所以PDC PEF ∠=∠．

又因为PCG PFG ∠=∠，所以

△PDC ∽△PEF ， 于是有 ,PD PE

CPD FPE PC PF

=∠=∠，

从而 △PDE ∽△PCF ，

所以 PD DE

PC CF =

． 又已知DE AD CF BC =，所以，AD PD

BC PC

=

． ………………10分

（2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有

,PA PD

PB PC

= DPA CPB ∠=∠， 所以APB DPC ∠=∠，因此

△PAB ∽△PDC ． ………………15分

14（B ）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u ，v 满足

1≤

15

2

u v +<

． （第13B 题答案图）

证明：设任意△ABC 的三边长为a ，b ，c ，不妨设a b c >>．若结论不成立，则必有

a b

≥152+， ○1

b c

≥152+． ○2

………………5分

记,b c s a b t c s t =+=+=++，显然,0s t >，代入○1得

c s t c s

+++≥152+，

11s t

c c s c

++

+≥152+， 令,s t

x y c c

==，则

11x y x

+++≥15

2+． ○3

由a b c <+，得c s t c s c ++<++，即t c <，于是1t

y c

=

<． 由○2得

1b c s

x c c

+==+≥152+， ○4 由○3，○4得

y ≥151(1)2x ??+-+ ? ???

≥5115

122-+?=， 此式与1

………………15分

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“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）

1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4

x

4＋y 4的值为

（ ）

（A ）7 （B ）1＋132 （C ）7＋13

2

（D ）5

2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是

（ ）

（A ）512

（B ）4

9

（C ）1736

（D ）12

3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有 （ ）

（A ）6条

（B ）8条

（C ）10条

（D ）12

4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为 （ ）

（A ）

5

2

a （B ）1

（C ）

32

（D ）a

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 （ ）

（A ）2种

（B ）3种

（C ）4种

（D ）5种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－

1

4

有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每

隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．

10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________．

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

11．在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交

于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于｜OA ｜＋｜OB ｜＋3．（1）用b 表示k ；（2）求△OAB 面积的最小值．

12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程px 2－qx ＋p ＝0有有理数根？

13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△

ABC ？证明你的结论． 14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），

它们的和能被10整除，求n 的最小值．

F

M

D

C

B

A

简答：

一．选择题 ACBBD ；

二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.

16

3

； 10. x ＝48， x ＝160， y ＝32； y ＝32． 三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 2

2(b ＋3)，b ＞ 2； （2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△

OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝1

2， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三

角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B .

14. n 的最小值是5，当n=4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．（5分）

当n=5时，设a 1，a 2，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数．

若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a 1，a 2，a 5中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．

于是a 1，a 2，…，a 5中必定有一个数是5． 若a 1，a 2，…，a 5中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；

于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾． 若a 1，a 2，…，a 5中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；

于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾． 综上所述，n 的最小值为5．（15分）

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于（ ）．

（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．

解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b ++-=，于是

32a b ==-，，从而a b +＝1．

2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．

（A ）

512+ （B ）51

2

- （C ）1 （D ）2 【答】A ．

解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC

AB AC

=

，即

11

a

a a =

+， 所以， 210a a --=．

由0a >，解得15

2

a +=

． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y

的方程组322ax by x y +=??+=?

，

只有正数解的概率为（ ）．

（A ）

121 （B ）92 （C ）185 （D ）36

13

（第2题）

【答】D ．

解：当20a b -=时，方程组无解．

当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b

a y a

b -?=??-?-?=?-?

由已知，得???????>-->--,0232,0226b a a b a b

即???????<>>-,3,23,02b a b a 或????

???><<-.

3,23,02b a b a

由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得

2345612a b =??=?，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =??

=?，，

，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为

36

13

． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=?. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．

（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32

【答】B ．

解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故

S △ABC ＝1

2

×8×4＝16.

5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）． （A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组 【答】C ．

解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为

（第4题）

图1 图2

22(229)0x yx y ++-=．

由于该方程有整数根，则判别式?≥0，且是完全平方数．

由 222

4(229)7

116

y y y ?=--=-+≥0， 解得 2y ≤

116

16.577

≈．于是 2y 0 1 4 9 16 ?

116

109

88

53

4

显然，只有216y =时，4?=是完全平方数，符合要求． 当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-； 当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==． 所以，原方程的整数解为

111,4;x y =-??=? 223,4;x y =-??=? 331,4;

x y =??=-? 443,

4.x y =??

=-? 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．

【答】3750．

解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为

5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000

k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

,50003000

,50003000

kx

ky k ky kx k ?+=???

?+=?? 两式相加，得

()

()250003000

k x y k x y

k +++=，

则 237501150003000

x y +=

=+

．

7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，

与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH

AB

的值为 ．

解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =

，1

3

AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=?，FAH EAF ∠=∠

所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ，

AH AF

AF AE

=.

而AF AB =，所以

AH AB 1

3

=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ． 【答】 10．

解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，

是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．

又因为()()2009117741=?-??-?，所以

1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．

由123459a a a a a ++++=，可得10b =．

9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．

【答】

602

7

．

（第7题）

解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=?．

作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1

452

ECF ACB ∠=∠=?，得CF ＝x ，

于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以

E F B F

A C

B

C =

， 即 201520

x x

-=

， 解得60

7

x =．所以60227CE x ==．

10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ． 【答】2-．

解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．

于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是

16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里

想的数是4(8)4x x -+=--．所以 4x x =--， 解得2x =-．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，

且3222

2

21-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；

（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程

（第9题）

（第10题）

2(21)0x t x c --+= ①

有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以

222

1212121[()()]2c x x x x x x ==+-+

=221[(21)(23)]2

t t t --+-＝21

(364)2t t -+． ②

………………5分

把②式代入方程①得

221

(21)(364)02

x t x t t --+-+=． ③

………………10分

t 的取值应满足

222

12

23t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，即

22(21)2(364)t t t ?=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤

解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 222-

≤t ≤2

22

+. 所以，t 的取值范围为

222-

≤t ≤2

22

+. ⑥ ………………15分

(2) 由②式知22131

(364)(1)222

c t t t =-+=-+.

由于231

(1)22

c t =-+在222-≤t ≤222+时是递增的，所以，当222t =-

时,2min 3211162

(21)2224

c -=--+=

. ………………20分 12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．

解：由3192191a +可得31921a -．619232=?，且