广东省珠海市2008---2009学年度第一学期期末学生学业质量监测高三文科数学参考答案

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试卷类型：A

珠海市2008---2009学年度第一学期期末学生学业质量监测

高三文科数学参考答案和评分标准

2009.1

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页． 满分150分．考试用时120分钟．所有的试题的答案都填写在答题卡的相应位置． 参考公式： 锥体积公式：1

3

V Sh =（S 为底面面积，h 为高） 导数公式：2()()()()()

[

](()0)()()

u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

A.1-≥x x

B.1，则实数a 的值为（ B ）

A. 0 B . -5 C. 0或-5 D. 0或5 3. 在ABC △中，若4

3

tan =A ，?=120C ，32=BC ，则AB = A.3 B.4 C .5 D.6

4. 若等差数列{}n a 的前5项和305=S ，且72=a ，则

7a =（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5. 如右图，该程序运行后输出的结果为

A.36

B.56

C.55

D.45

6. 若函数)(2sin sin 22sin )(2

R x x x x x f ∈?-=，则)(x f 是

A.最小正周期为π的偶函数

B. 最小正周期为π的奇函数

0.00053000

35000.0003

0.0004200015000.00020.00014000

25001000月收入（元）

频率/组距C. 最小正周期为π2的偶函数 D. 最小正周期为

2

π

的奇函数 7.经过抛物线x y 22=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是 A.0323=--y x B.0346=--y x C.0232=-+y x D.0132=-+y x

8.p ：两条直线0,0222111=++=++C y B x A C y B x A 互相垂直，q ：

12

12

1-=B B A A ，则p 是q 的

A ．充分但不必要条件

B ．充分且必要条件

C ．必要但不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

9. 某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t （单位：分）与细胞数n （单位：个）的部分数据如下：

最接近于 A.200 B.220 C.240 D.260

10. 如图是二次函数a bx x x f +-=2)(的部分图象， 则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区间是

A.)21,41( B .)1,21(

C.)2,1(

D.)3,2(

填空 11.

对于大于1

的自然数m 的

n 次幂可用奇数进行如图所示的

“分裂”，仿此，记35的“分裂”中的最小数为a ，而2

5的“分裂”中最大的数是b ，则=+b a 30

12.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查

了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率 分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与 年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000

人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查

，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出

25 人．

13. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为a 2

1917

151343

1197335

3

237531425

313

23122

的等腰三角形俯视图是半径为a 的半圆，，则该几何体的 表面积是

14. （几何证明选讲选做题）如图所示， AB 是半径等于3 的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点

若PA=4，PC=5，则CBD ∠= __306

π

或

____

15. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线cos()14

π

ρθ+=与圆2=ρ

的公共点个数是___2____．

三、解答题（共80分）

16. （12分）已知函数a bx ax x f +-=2)(2（,a b R ∈ ）

(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程()0f x =恰有两个不相等实根的概率；

(2)若b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，求方程()0f x =没有实根的概率．

解：(1) ∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0，1，2，3}中任一个元素

,a b 取值的情况是：

(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)，

（0，3），（1，3），（2，3），（3，3）其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 即基本事件总数为16

设“方程()0f x =恰有两个不相等的实根”为事件A

当0,0a b ≥≥时，方程()0f x =恰有两个不相等实根的充要条件为b>a 且a 不等于零 当b>a 时，,a b 取值的情况有（1，2），（1，3），（2，3）

即A 包含的基本事件数为3,

∴方程()0f x =

(2)∵b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数， 则试验的全部结果构成区域}20,30),({≤≤≤≤b a b a

这是一个矩形区域，其面积236S Ω=?=----------------------8分 设“方程()0f x =没有实根”为事件B,则事件B 所构成的区域为

},20,30),({b a b a b a >≤≤≤≤ 其面积M S =162242

-??=------------10分

由几何概型的概率计算公式可得： 方程()0f x =没有实根的概率42

()63

M S P B S Ω=

==.------12分

17.（12分）如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上， ),0(πθθ<<=∠AOP

OP OA OQ +=,四边形OAQP 的面积为.S

（Ⅰ）求S +?的最大值及此时θ的值0θ；

（Ⅱ）设点B 的坐标为)5

4,53(-，α=∠AOB ，

在（Ⅰ）的条件下，求).cos(0θα+

解：（Ⅰ）由已知，A ，P 的坐标分别为(1,0),(cos

θ(1cos ,sin )OQ θθ∴=+，1sin OA OQ θ=+

又cos S θ=

sin cos 1)1(0)4

OA OQ S π

θθθθπ∴+=++=++<<

故S OQ OA +?1，此时04

π

θ=

（Ⅱ）

34

cos ,sin 55

αθ=-=

0cos()10

θα∴+=-

18.（14分） 已知PA ⊥平面ABCD ，

2PA AB AD ===，AC 与BD 交于E 点，2BD =

，BC CD ==

（Ⅰ）取PD 中点F ，求证PB//平面AFC ；

（Ⅱ）求多面体PABCF 的体积. 解答：（Ⅰ）联结EF ，∵AB AD =，BC CD =，

∴ADC ABC ???，∴E 为BD 中点，∵F 为PD 中点， ∴//PB EF ，∴//PB 平面ACF

（Ⅱ）∵2PA AB AD ===，∴ABD ?为等边三角形， ∴AE BC ⊥

，∵BC CD ==

∴BCD BEC DEC ???、、均为等腰直角三角形，

221

212

ABD BCD ABCD S S S ??=+=

+?=四边形

ACD S ?=

，取AD 中点G ，连接GF ，∵F 为PD 中点 ∴FG ⊥平面ABCD 且1

12FG PA == ∴PABCF

P ABCD F ACD V V V --=-11

33

ACD ABCD PA S FG S ?=?-?四边形

1121)133=??-?=

19. （14分）已知椭圆E 的方程为),0(12222>>=+b a b y a x 双曲线12222=-b

y a x 的两条渐近

线为1l 和2l ，过椭圆E 的右焦点F 作直线l ，使得2l l ⊥于点C ，又l 与1l 交于点P ，l 与椭圆E 的两个交点从上到下依次为B A ,（如图）.

（Ⅰ）当直线1l 的倾斜角为?30，双曲线的焦距为8时，求椭

圆的方程；

（Ⅱ）求证：.2

b -=?

解：（Ⅰ）

由已知，2216b

a b a

=

+=，解得2212,4a b ==， 所以椭圆E 的方程是

22

1124

x y += （Ⅱ）直线l 的方程是()a y x c b =-，联立()b y x a

a y x c

b ?=????=-??

，解得P 的坐标为2(,)a ab c c

又联立()b y x a

a y x c

b ?=-????=-??，解得C 的坐标为22

222

(,)a c abc a b a b -++ 222222

(,),(,)b ab b c abc FP FC c c a b a b ∴==--++

2.FP FC b ∴=-

19.已知椭圆E 的方程为),0(12222>>=+b a b y a x 双曲线122

22=-b

y a x 的两条渐近线为1l 和

2l ，过椭圆E 的右焦点F 作直线l ，使得2l l ⊥于点C ，又l 与1l 交于点P ，l 与椭圆E 的两个交点从上到下依次为B A ,（如图）.

（Ⅰ）当直线1l 的倾斜角为?30，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；

（Ⅱ）（Ⅱ）设BF PB AF PA 21,λλ==，证明：21λλ+为常数.

解：（Ⅰ）由已知

，

2

2,163

b a b a =+=，解得2212,4a b ==，

所以椭圆E 的方程是

221124

x y += （Ⅱ）过P 作x 轴的垂线m ，过B A ,分别作m 的垂线，垂足分别为11,A B ， 则

1

1,

PA PA PB PB AF

e AA BF

e BB =

=

12,,PA PB PA PB AF

BF

AF

BF

λλ=

=-

=

故120λλ+=为常数.

20. (本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足: n n b na =

,且数列{}n b 的前n 项和为*(1)2()n n S n n N -+∈. (1)求12,a a 的值；

(2)求证：数列{2}n S +是等比数列；

(3)抽去数列{}n a 中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，

组成一个新数列{}n c ，若{}n c 的前n 项和为n T ，求证：1121153

n n T T +<≤. 解:(1)由题意得: 12323(1)2n n a a a na n S n +++

+=-+;………………1分

当n=1时,则有: 11(11)2,a S =-+解得: 12a =;

当n=2时,则有: 1222(21)4a a S +=-+,即2222(2)4a a +=++,解得: 24a =;

∴122,4a a ==………………2分

(2) 由12323(1)2n n a a a na n S n +++

+=-+ ① 得:

1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ ② ………………3分

② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+,

即: 11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+ 即:122n n S S +=+; ……………4分

∴122(2)n n S S ++=+,由112240S a +=+=≠知:

数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.…………………………………6分 (3)由(2)知: 1242n n S -+=,即1142222n n n S -+=-=-……………………7分 当n≥2时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=对n=1也成立,

即2n n a =(n *

)N ∈………………………………………………………….…8分

∴数列{}n c 为2356892,2,2,2,2,2,

,它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；

偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；…………………9分

∴当n=2k-1 *()k N ∈时, 2531363313212422()()(222)(222)

4(18)8(18)512

8,

181877

k k n k k k k k T c c c c c c ----=++

++++

+=++

++++

+--=+=---31111

5121212

828,7777

12812128412,5812283

5558125(5812)k k k n n n k k n n k k

n n

T T c T T T T ++++=+=

-+=--∴==+-≥∴<≤--

…………………12分