大学物理 上海交通大学下册 12章 课后习题答案

习题12

12-1．一半径为10.0米的孤立导体球，已知其电势为V 100(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。

解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：

004Q R U R

σπεε=

=

，

则：1292

08.8510100

8.85100.1U

C m R εσ--??===?。

12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为cm 0.61=r ，cm 0.122=r ，都带有C 1038

-?的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。

解：半径分别为1r 的电量为1q ，2r 电量为2q ，

由题意，有：1

2

010244q q r r πεπε=

┄①，821106-?=+q q ┄②，

①②联立，有：8

1210q C -=?，82410q C -=?。

12-3．有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势．

解：由高斯定理，可求出场强分布：

13232

2

0321

412

00

4024E r R q E R r R r E R r R q

E r R r πεπε=

=<??? ∴

3213

2

1

012340

R R R R R R U E d r E d r E d r E d r

∞=?+?+?+?????

2

3

1

2

2

00244R R R q q dr dr r r

πεπε∞

=+?

?

321112

(

)4q R R R πε=-+。

12-4．一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为1R 、2R ．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出r E ~和r V ~曲线. 解：由高斯定理，可求出场强分布：

112

021232

200404q E r R r E R r R q E r R r πεπε?=<

=<

?=

>??

∴电势的分布为： 当10r R <≤时，

12

12

2

0044R r

R q q U dr dr

r

r πεπε∞

=+?

?

r

r

12

012111()4q

r R R πε=

-+；

当12R r R <≤时，2

22

00244R q q U dr r R πεπε∞

==

?

；

当2R r ≥时，32

0044r

q q U dr r r πεπε∞==

?

。

12-5．半径10.05,R m =，带电量8

310C q -=?的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8

210C Q -=-?。试求距球心r 处的P 点的

场强与电势。（1）0.10r m =（2）0.06r m =（3）0.03r m =。 解：由高斯定理，可求出场强分布：

112122

32343

200404E r R q E R r R r E R r R Q q E r R r πεπε=

=<

>???

∴电势的分布为：

当

1r R ≤时，2

131220044R R R q

Q q U dr dr

r r πεπε∞

+=+??0120311()44q Q q R R R πεπε+=-+， 当12R r R <≤时，

232220044R r R q Q q U dr dr r r πεπε∞+=+??020311()44q Q q r R R πεπε+=-+， 当2

3R r R <≤时，33204R Q q U dr

r πε∞

+=?034Q q R πε+=， 当3r R >时，

420044r Q q Q q U dr r r πεπε∞++==

?， ∴（1）0.10r m =，适用于3r R >情况，有：

3420910N Q q E πε+=

=?，4

0900V Q q U πε+==； （2）0.06r m =，适用于12R r R <<情况，有：

422

07.510N

4q E r πε=

=?，

320203

11

() 1.6410V 44q

Q q U r R R πεπε+=

-+=?； （3）0.03r m =，适用于1r R <情况，有：

10E =，

310

1203

11

(

) 2.5410V 44q Q q U R R R πεπε+=

-+=?。

12-6．两块带有异号电荷的金属板A 和B ，相距mm 0.5，两板面积都是2

cm 150，电量分

别为C 1066.28

-?±，A 板接地，略去边缘效应，求：（1）B 板的电势；（2）AB 间离A 板

B

5mm

mm 0.1处的电势。

解：（1）由0E σε=

有：0q

E S ε=

，

则：

0AB qd

U Ed S ε==

，而0A U =，

∴83

122

2.661051010008.8510 1.510B U V ----???=-=-???，

离A 板mm 0.1处的电势：31

(10)2005P U V

=?-=-

12-7．平板电容器极板间的距离为d ，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t (t

无金属板时电势差为：

0100U E d d

σ

ε=?=， 有金属板时电势差为：

200

()()U E d t d t σε=?-=

-，

电势差比为：

1020

()d U d U d t

d t σεσε==

--；

（2）设无金属板时极板带电量为0Q ，面电荷密度为0σ， 有金属板时极板带电量为Q ，面电荷密度为σ。

由于12U U =，有0()E d E d t ?=?-，即000

()

d d t σσ

εε?=-

∴00Q d t

Q

d σσ-==。 解法二：

无金属板时的电容为：

00S

C d ε=

，有金属板时的电容为：00S

C d t ε=

-。那么：

（1）当极板电荷保持不变时，利用

Q C U =

知：12U d U d t =-； （2）当极板电压保持不变时，利用

Q C U =

知：

0Q d t Q d -=。

12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E 垂直于地面向下，大小约为V/m 130.在离地面km 5.1的高空的场强也是垂直向下，大小约为5V/m 2.

（1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到km 5.1高空的空气中的平均电荷密度．

d σ

-σ+U

解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用00E σ

ε=

考察，选竖

直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为0130E V =-，所以：

129208.8510(130) 1.1510E C m σε--==??-=-?；

（2）如图，由高斯定理

01

i

S

S E dS q ε?=∑??

内，有：

00'()h S

E S E S ρε??+-?=，则：3

121.51025(130)8.8510ρ-??---=

?， 得：133

6.210C m ρ-=?。

12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴为r 处(1R

解：∵1R

πε=

，

∴内外圆柱间电势差为：

2

1

2

12001ln 22R R R V V dr r R λλ

πεπε-==?

则：12

021()2ln()V V R R λ

πε-=

同理，r 处的电势为：

2

2

200ln 22R r r

R U V dr r r λλ

πεπε-==?

（*）

∴

220ln 2r R U V r λπε=+

2122

21ln()

()ln()R r V V V R R =-+。

【注：上式也可以变形为：

r U =

111221ln()

()

ln()r R V V V R R =--，与书后答案相同，或将（*）

式用：1

1001ln 22r

r R r

V U dr r R λλπεπε-==?

计算，结果如上】

12-10．半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求：

（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a 和b 的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：

0044a

b

a

b q q r r πεπε=

┄①，再由系统电荷为Q ，有：a b q q Q +=┄② 两式联立得：

a Qa q a

b =+，b Qb q a b =

+； （2）根据电容的定义：04a Q Q C U q a πε==（或04b

Q Q C U q b πε==

），将（1）结论代入，

km

'25

E =-2

有：04()C a b πε=+。

12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。

解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：204Q E r πε=

，

而电势差：

2

00

44b b a

a

Q Q b a U E d r d r r ab πεπε-=?==

?

??

，

∴04Q

Uab b a πε=

-，那么，场强表达式可写为：

2

a b U

E b a r =?-。 因为要考察内球表面附近的场强，可令a r =，有：

()a bU

E b a a =

-， 将a 看成自变量，若有0a

dE da =时，出现极值，那么：22(2)0()bU b a ab a --=-

得：

2b a =，此时：min 4a U E b =

。

12-12．一空气平板电容器，极板B 、A 的面积都是S ，极板间距离为

d ．接上电源后，A 板电势V U =A ，B 板电势0B =U ．现将一带

有电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片C 平行插在两极板的中

间位置，如图所示，试求导体片C 的电势。

解：由题意，22AB BC d d V E E =?+?，而：0A AB

E σε=，

0A BC E σσε+= 且

q S σ=

，∴002A d q d V S σεε=+，则：00()2A q d V S d εσε=-。 导体片C 的电势：

022A C CB CB d d

U U E σσε+==?

=?，

∴

01()

22C q

U V d S ε=+。

12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球1r R =，大球24r R =，两球各自带有电量为q ，有：

接触之前的电势能：

22

000444q q W R

R πεπε=

+

；

（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为1q ，大金属球带电为2q ，

有：

1

201

02

44q q R R πεπε=

┄①和122q q q +=┄②，①②联立解得：

125q q =

，285q

q =。

那么，电势能为：

22

2

21

2

000046416

252544444425q q q q W W R R R R πεπεπεπε=+=+=。

思考题12

12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有q +和q -的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。

答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，

两板的电场线接近板面时应该垂直板面。

12-2．在“无限大”均匀带电平面A 附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导

体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为σ+，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？

答：

21σ

σ-

=，22σ

σ=

。

12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压

U 之间的关系是怎样的？

答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的

距离为d 处(d

R πεq

d πεq U 00044-+

=

12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A 内，放一 带有电荷为Q +的带电导体B ，如图所示，则比较空腔导体A 的 电势A U 和导体B 的电势B U 时，可得什么结论？ 答：A U 和B U 都是等势体，

304R Q U A πε=

；

????

??-+

=

2103

01144R R Q R Q U B πεπε