2015年杨浦区中考数学二模试卷及答案

初三数学基础考试卷—1—

杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研

数 学 试 卷 2015.4

(完卷时间 100分钟 满分 150分)

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一

律无效；

3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤．

一、 选择题（本大题每小题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸

的相应位置上】

1．如果x =2是方程12

1-=+a x 的根，那么a 的值是 （ ▲ ） （A ）0； （B ）2； （C ）-2； （D ）-6．

2．在同一直角坐标系中，若正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2k y x

=的图像没有公 共点，则 （ ▲ ）

（A ）k 1k 2＜0； （B ）k 1k 2＞0； （C ）k 1+k 2＜0； （D ）k 1+k 2＞0．

3．

名队员的年龄如下表则这12名队员年龄的众数和中位数分别是 （ ▲ ）

（A ）2, 19； （B ）18, 19； （C ）2, 19.5； （D ）18, 19.5．

4．下列命题中，真命题是 （ ▲ ）

（A ）周长相等的锐角三角形都全等； （B ）周长相等的直角三角形都全等；

（C ）周长相等的钝角三角形都全等； （D ）周长相等的等腰直角三角形都全等．

5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ▲ ）

（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.

6．设边长为3的正方形的对角线长为a ．下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可

以用数轴上的一个点来表示；③3＜a ＜4；④a 是18的一个平方根．其中，所有正确说法

的序号是 （ ▲ ）

（A ） ①④； （B ）②③； （C ）①②④； （D ）①③④．

初三数学基础考试卷—2—

二、 填空题（本大题每小题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．分解因式：24xy x -= ▲ .

8．不等式5x x -<的解集是 ▲ .

9．

x 的解为 ▲ .

10．如果关于x 的方程23mx =有两个实数根，那么m 的取值范围是 ▲ .

11．如果将抛物线24y x =-平移到抛物线24y x x =-的位置，那么平移的方向和距离分别

是 ▲ .

12．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明

摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 ▲ .

13．如图，△ABC 中，如果AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ??的值为 ▲ .

14．如图，在ABC ?中，记b AC a AB ==,，点P 为BC 边的中点，则AP = ▲ （用向量a 、b 来表示）.

15．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90?，BC =4cm ，AC =3cm ，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果

⊙O 与⊙A 相内切，那么⊙A 的半径长为 ▲ cm.

16．本市某校开展以“倡导绿色出行，关爱师生健康”为主题的教育活动．为了了解本校师

生的出行方式，在本校范围内随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种

统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师

人数是 ▲ .

学生出行方式扇形统计图 （第13题图）

（第14题图） （第15题图） A B C P A C B O A B

C D M G

初三数学基础考试卷—3— 17．对于平面直角坐标系 x Oy 中的点P （a ，b ），若点P ＇的坐标为（b a ka b k

++，）（其中 k 为常数，且0k ≠），则称点P ＇为点P 的“k 属派生点”．例如：P （1，4）的“2属派生

点”为P ＇（41+21+42

?，），即P ＇（3，6）．若点P 的“k 属派生点”P '的坐标为（3， 3），请写出一个符合条件的点P 的坐标： ▲ .

18．如图，钝角△ABC 中，tan ∠BAC =

34

，BC =4，将三角形绕着点 A 旋转，点C 落在直线AB 上的点C ，处，点B 落在点B ，处，若C 、 B 、B ，

恰好在一直线上，则AB 的长为 ▲ .

三、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分）

19．(本题满分10分)

计算：0111)2cos30()12--?+．

20．(本题满分10分) 解方程组：223240.xy x xy y =??

-+-=?

21. (本题满分10分)

如图，在一笔直的海岸线 上有A 、B 两个观察站，A 在B 的正东方向，A 与B 相距2千米。有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60?的方向，从B 测得小船在北偏东45?的

方向。

（1）求点P 到海岸线 的距离；

（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间

后到达点C 处，此时，从B 点测得小船在北偏西15?

的方向。求点C 与点B 之间的距离。

（注：答案均保留根号）

22．(本题满分10分)

现有甲、乙两个空调安装队分别为A 、B 两个公司安装空调，甲安装队为A 公司安装66台

空调，乙安装队为B 公司安装80台空调，乙安装队提前一天开工，最后与甲安装队恰好同

时完成安装任务，已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调. 求甲、乙两个安装队平均每天

各安装多少台空调.

A

C 北 B 东 P （第21题图） （第18题图）

初三数学基础考试卷—4— A C B E

O D 备用图 x y

O 23．(本题满分12分)

已知：如图，Rt △ABC 和 Rt △CDE 中，∠ABC =∠CDE =90?，且BC 与CD 共线，联结AE ，点M 为AE 中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H 。

（1）求证：MB =MD ；

（2）当AB =BC ，DC =DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形。

24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，)

已知：在直角坐标系中，直线y =x +1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线

21()2y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。 （1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；

（2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值；

（3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称

轴于点P ，使得∠DCP =∠CAD ，求点P 的坐标。

25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第（3）小题4分）

在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，BC =10，3tan 4

ABC ∠=，点O 是AB 边上动点，以O 为圆 心，OB 为半径的⊙O 与边BC 的另一交点为D ，过点D 作AB 的垂线，交⊙O 于点E ，联

结BE 、AE 。

（1） 当AE //BC （如图（1））时，求⊙O 的半径长；

（2） 设BO =x ，AE =y ，求y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；

（3） 若以A 为圆心的⊙A 与⊙O 有公共点D 、E ，当⊙A 恰好也过点C 时，求DE 的长。

图（1） A B C D E O A

B C 备用图

（第25题图） （第24题图） （第23题图）

A B C D E G H M

初三数学基础考试卷—5—

杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研

数学试卷答案及评分标准 2015.4

四、 选择题（本大题每小题4分，满分24分）

1．C ；2． A ；3． B ；4． D ；5． A ；6． C

五、 填空题（本大题每小题4分，满分48分）

7． (+2(-2x y y ））

；8． 52x >；9． =3x ；10． 0m >；11．右，2；12． 16；13． 14 14． 11+22a b ；15．

；16． 15；17．（1,2）等；18．

六、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分）

19．解：原式

=121----------------------------------------------------(8分)

=分)

20．解：由(2)变形得2)4x y -=（-----------------------------------------------(2分)

由此,得:22x-y x-y ==-或-------------------------------------------------------(2分)

∴原方程组转化为32.xy x-y==???或32.

xy x-y=-=???---------------------------------------(2分) 解得：314123

4131313312x =x =x =-x =-,,,y =y =-y =y =-????????????-----------------------------------------(4分) 原方程组的解为314123

4131313312x =x =x =-x =-,,,y =y =-y =y =-???????????? 21.解：（1）作PD ⊥AB 于点D ，设PD=x ，

由题意可知∠PBA=45?，∠PAB=30?，-------------------------------------------------------（1分） ∴BD=x ，

--------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AB=2，∴2

x =

,--------------------------------------------------------------------------（1分）

∴1x ==

,------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴点P 到直线AB 1千米。--------------------------------------------------------（1分）

（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，由题意得∠PBC=60?，∠CPB=30+45=75???，---（1分） ∴∠C=45?，--------------------------------------------------------------------------------------------（1分）

在Rt △ABF 中，∠PAB=30?，

AB=2，∴B F=1，------------------------------------------------（1分） ∴

（1分）

∴点B 与点C -----------------------------------------------------------（1分）

初三数学基础考试卷—6—

22．解：设乙安装队每天安装x 台空调，则甲安装队每天安装(x+2)台空调，-------（1分） 根据题意得：806612x x -=+，----------------------------------------------------------------------（3分） 整理得：2121600x x -+=，-----------------------------------------------------------------------（1分）

解方程得： 12=208x x =-， ， ------------------------------------------------------------------（2分） 经检验1=20x 是方程的解，并且符合实际. -----------------------------------------------------（1分）

+2=22x ， ---------------------------------------------------------------------------------------------（1分） 答：甲安装队每天安装22台空调，乙安装队每天安装20台空调. ---------------------（1分）

23．

证明：（1）方法一：取BD 中点P ，联结MP ，------------------------------------------------（1分）

∵∠ABC=∠CDE =90?，∴∠ABC+∠CDE =180?，∴AB//ED ，-------------------------（1分）

∵点M 为AE 中点，点P 为BD 中点，∴MP//AB ，-------------------------------------------（1分）

∴∠MPD=∠ABC=90?，即MP ⊥BD ，∴MP 为线段BD 的垂直平分线，--------------（1分）

∴MB=MD-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分）

方法二：延长BM ，与DE 的延长线交于点T ，------------------------------------------------（1分）

∵∠ABC=∠CDE =90?，∴∠ABC+∠CDE =180?，∴AB//ED ，

∴∠ABM=∠MTE ，

又∵∠AMB=∠EMT ，点M 为AE 中点，∴△AMB ≌△EMT ，---------------------------------（1分） ∴BM=TM ，------------------------------------------------------------------------------------------（1分）

∵∠CDE =90?，∴ED ⊥BD ，∴DM=12

BT ，--------------------------------------------------（1分） ∴DM=BM 。---------------------------------------------------------------------------------------------（1分） （2）方法一：取BD 中点P ，联结MP ，∴BP=

12BC=12（BC+CD ）， ∵AB//ED ，点M 为AE 中点，∴MP =12

（AB+DE ）， ∵AB=BC ，DC=DE ，∴BP= MP ，-----------------------------------------------------------------（2分）

∵MP ⊥BD ，∴∠MBP =45?，--------------------------------------------------------------------（1分）

又∵DC=DE ，∠CDE =90?，∴∠ECD=45?，∴BM//CE

同理DM//AC ，∴四边形MGCH 为平行四边形，-----------------------------------------------（2分）

∵AB=BC ，∠ABC=90?，∴∠ACB=45?，同理∠ECD=45?，∴∠ACE=90?，-----（1分）

∴四边形MGCH 为矩形--------------------------------------------------------------------------------（1分）

方法二：延长BM ，与DE 的延长线交于点T ，

∵△AMB ≌△EMT ，∴AB=ET ，∵AB=BC ，∴BC= TE ，----------------------------------------（1分）

∵DC=DE ，∴

BC TE DC DE

=，∴CE//BT-------------------------------------------------------------（1分） ∴∠BMD+∠MHC=180?， ∵BC= TE ，DC=DE ，∴BC+DC=TE+DE ，即BD=TD ，

∵BM=TM ，∴DM ⊥BT ，即∠BMD=90?，----------------------------------------------------（2分）

∴∠MHC=90?，---------------------------------------------------------------------------------------（1分）

又∵AB=BC ，∠ABC=90?，∴∠ACB=45?，同理∠ECD=45?，∴∠ACE=90?，--（1分）

∴四边形MGCH 为矩形-------------------------------------------------------------------------------（1分）

初三数学基础考试卷—7—

24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，) 解：（1）∵直线y=x+1与y 轴交与点B ，∴B （0,1）-----------------------------------(1分) 21()2

y x m n =-+的顶点D （m,n ）, ∵D 在直线y=x+1上，∴n=m+1， ∴抛物线与y 轴的交点C （0，

2112m m ++），-----------------------------------------(1分) ∵点C 与点B 重合，∴211=12

m m ++，解之得120,2m m ==-， ∵点C 不是顶点，∴2m =-，--------------------------------------------------------------(1分) ∴抛物线的表达式是21(+2)12

y x =-。---------------------------------------------------(1分) （2）∵直线y=x+1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，

∴A （-1,0），B （0,1），∴∠ABO=45?，

∵CD ⊥AB ，∴∠CBD=∠BCD =45?，∴CD=BD ，

作DH ⊥BC 于H ，∴CH=BH ，--------------------------------------------------------------(1分)

∵D （m,m+1），C （0, 2112m m ++）∴H （0, 1m +）， ∴211(1)112

m m m m ++-+=+-，解得120,2m m ==， ∵抛物线的对称轴在y

2=，

分) ∴C （0, 5），D （2，3），∴CD=AD=

∵CD ⊥AB ，∴2tan 3

CD CAD AD ∠==.-----------------------------------------------------(2分) （3）∵A （-1,0），B （0,1），∴∠ABO=45?，∴∠ABC=135?，

又A （-1,0），D （2，3），∴∠ADP=45?，∵CD ⊥AB ，∴∠CDP=135?，∴∠

CDP=∠ABC, ∵∠DCP=∠

CAD ，∴ABC ?∽CDP ?，--------------------------------------------------(2分) ∴BC DP BA DC ==，∴DP=8，-------------------------------------------------(1分) ∴P （2，-5）-----------------------------------------------------------------------------------------(1分)

25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第（3）小题4分）

解：（1）∵DE ⊥AB ，AB 过圆心O ，∴AB 平分DE ，∴BE=BD ，∴∠EBA=∠DBA ， ∵AE//BC ，∴∠EAB=∠DBA ，∴∠EAB=∠EBA ，∴BE=AE ，∴BD= AE ，

又∵DE ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴AC//DE ，∴AEDC 为平行四边形，

∴AE= DC ，∴BD=DC=5，---------------------------------------------------------------------------（2分） 作OH ⊥BC 于M ，则BH=DH=12BD=52，∵3tan 4ABC ∠=，∴BO=258

，----------（2分） 即⊙O 的半径长是258

。 （2）联结AD ，∵DE ⊥AB ，AB 过圆心O ，∴AB 平分DE ，∴AB 是DE 的中垂线，∴AD=AE=y ， 作OH ⊥BC 于H ，则BH=DH ，

初三数学基础考试卷—8— 在Rt △BOH 中，∵BO=x ，3tan 4ABC ∠=，∴BH=45x ，∴BD=85

x ，-----------------（1分） 作AM ⊥BC 于M ，则得AM=245，BM=325

，∴DM=32855x -，------------------------（1分） 在Rt △ADM 中，222AD AM DM =+，即22224328()()555

y x =+-，-----------------（1分）

∴y 2504

x <≤）----------------------------------------------------（2分，1分） （3） 设DE 、AB 交于点P ，则DP=EP ，

方法一、情况1：D 与C 不重合

∵⊙A 过点D 、C ，∴AD=AC ，作AK ⊥BC 于K ，则DK=CK=185

， ∴BD=10-2×185=145，∴DP=BD ?sin ∠ABC=14342=5525?，∴DE=8425

。---------------（2分） 情况2：D 点与C 点重合时，E 、A 、C 三点共线，DE=2AC=12. ----------------（2分） ∴DE 的长为12或8425

。 方法二、设DP=x ，∵3tan 4ABC ∠=

，∴BD=5x 3，BP=4x 3，∴AP=48-x 3， 联结EA ，∵⊙A 过点D 、E 、C ，∴ AE=AC=6，

在Rt △AEP 中，222AE EP AP =+，整理得2251922520x x -+=，------------------（1分） 解得12426,25

x x ==，----------------------------------------------------------------------------------（1分） 经检验，都符合题意。∴DE 的长为12或

8425。------------------------------------------------（2分）