计算机软件在原子结构学习中的应用-上交版本0

目录

引言 (2)

1 氢原子波函数 (2)

2 氢原子函数图形绘制 (5)

2.1 Origin7.5概述 (5)

2.2 氢原子径向波函数 (6)

2.2.1波函数可读化 (6)

2.2.2氢原子径向波函数图形绘制 (6)

2.2.3图形编辑 (7)

2.3氢原子径向密度函数和径向分布函数 (8)

2.3.1氢原子径向密度函数和径向分布函数可读化 (8)

2.3.2径向密度函数和径向分布函数图形绘制及图形编辑 (9)

2.4 氢原子轨道角向部分 (10)

2.4.1 系统参数设置 (10)

2.4.2 波函数程序可读化 (10)

2.4.3 氢原子轨道角度部分Y及2Y极坐标图形绘制举例 (10)

2.5 其他应用 (12)

2 小结 (13)

致谢： (13)

参考文献： (13)

1414

计算机软件在原子结构学习中的应用

——以氢原子为例

学生姓名：陈文强指导老师姓名：董晨钟

届别：2013届专业：物理学班级：2009级2班学号：200972010204 摘要：本文利用Origin7.5软件的绘图功能，绘制氢原子径向波函数、径向密度函数、径向分布函数、氢原子轨道及电子云的角度分布等二维图形。给出了波函数的程序可读化形式和绘图的实际操作过程。该绘图方法操作界面友好、操作简洁。

关键词: Origin7.5软件；氢原子；波函数；计算机函数绘图

Abstract: Two dimensional graphs of wave functions and probability densities such as radial wave functions and their distributions, angular wave functions for hydrogen atom are made by the 2D-function-plotting in origin7.5 on PC in the paper. The software readable expressions of various wave functions mentioned above and plotting operation procedure are given here. The plotting operation interface is friendly in comparison with software.

Keywords:origin7.5 software; hydrogen-atom; wave function; computer function-plotting

引言

随着计算机的快速发展，人类生活和科学研究已经越来越离不开计算机，原子物理学作为物理的一个分支学科，同样也不例外，应用计算机软件绘图往往会使你的科研成果很直观的展现在人们面前。为了能够直观地表示原子、分子的电子结构以及由原子化合形成分子过程中电子运动状态Ψ的改变或者电子云的重新分布，以揭示化学键本质，常常需要将解析式波函数或电子云几率分布函数用各种图形表示出来,以帮助研究工作者理解起来更容易。

本文就是先对氢原子作详细介绍，氢原子是最简单的原子，可以精确求解。根据量子理论，用分离变量法以及中心力处理方法等，求出氢原子的径向波函数、径向密度函数、径向分布函数以及角向部分。之后，介绍用Origin7.5软件的函数绘图功能绘制氢原子径向波函数、径向密度函数、径向分布函数、氢原子轨道及电子云的角度分布、等图形的方法。重点讨论了各类函数的程序可读化方法和实际操作过程。与其它函数绘图方法相比避免了繁难的数学过程和程序编写困难。讨论了氢原子波函数或氢原子几率密度函数的分布图，有助于深入掌握原子及分子结构的知识[1]。

1 氢原子波函数

量子力学(Quantum Mechanics)是研究微观粒子运动规律的物理学分支学科,与相对论一起构成了现代物理学的理论基础,是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃。量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明,不仅在物理学领域,而且在化学等相关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用,对人类社会的进步做出了重要贡献[2]。

量子力学发展史上，最突出的成就之一就是对氢原子光谱和化学元素周期表给出了相当满意的说明。氢原子是最简单的原子，其能量本征方程可以严格求解。下面将给出其解析解，并根据所得出的能级和能量本征函数，对氢原子光谱线的规律及一些性质给予定量说明[2,3]。

氢原子的原子核是一个质子，核电+e，它与电子的Coulomb吸引能为（取无穷远为势能零点）

r e r V /)(2-= (1) 核外电子在原子核中运动属于中心力场问题，由分离变量法，可设其波函数为

n

ψ (2)

其中,分别为径向波函数和球谐波函数;n, l, m 分别为主量子数、角量子数和磁量子数,氢原子中电子的状态可用这一组量子数来描述.

根据中心力场理论，具有一定角动量的氢原子的径向波函数()l R r 满足的方程：

22222

22(1)()()()()0l l l d d e l l R r R r E R r dr r dr r r μ??

++++-=???? （3） 为了计算简便，可作如下替换

)()(r rR r l l =χ (4)

则()l r χ满足下列方程：

0)()1()(2)(2

22'

'=???

???+-++r r l l r e E r l l

χμχ

(5) 及边条件

0)0(=l χ (6)

为了计算方便，以下采用自然单位，即在计算过程中令1===μe ，而在计算所得的最终结果中按各物理量的量纲填上相应的单位，方程（5）化为

0)()1(22)(2''=?????

?

+-++r r l l r E r l l χχ (7) 解以上定解问题，解得归一化的径向波函数为

[]2

3

222

20

(1,22,)

22()!

,(1)!

(21)!()1

l nl nl nl nl

R N e

F n l l r n l N na n l a n l R

r r dr ξξξξ-∞

=-++++=

=--+=? (8)

其中(1,22,)F n l l ξ-+++为氢原子的合流超几何函数（confluent hypergeometric function ）。

氢原子的束缚态本征函数为

n

ψ (9)

由此，得到氢原子的最低的几条能级的径向波函数是：

(10)

(11)

球谐波函数()lm Y θ?,为

()lm Y θ?,=(21)()!(1)(cos )4()!

m

m im l l l m P e

l m θ

θπ+--+ 0,1,2,;,1,l m l l l ==-- (12)

现列举几个简单的球谐函数如下表1：

表1 氢原子球谐函数

lm

),(?θlm Y

),(?θlm l Y r

00 π

41

π

41

10

θπ

cos 43

z cos 43

θπ

1±1 θθπ

i e ±sin 83

)(sin 83

iy x +θπ

20

)1cos 3(1652-θπ

)2(165222y x z --π

2±1

θθθπ

i e ±sin cos 815

z iy x )(815±π

2±2

θθπi e 22sin 815

2

1± 2)(815

2

1iy x ±π 设氢原子能级为n E ，则有如下表述

422

2

2

1

2n e E n a e μμ=-

=

(13)

此即为著名的Bohr 氢原子能级公式，n 为主量子数，a 为Bohr 半径[2,3]。

氢原子函数图形绘制

2.1 Origin7.5概述

图表是显示和分析复杂数据的理想方式，精美清晰的图表定能使你的科技论文和著作大为增色，可以说没有好的图表的科技文章很难说是一篇好文章。因此，高端图表和数据分析是科学家和工程师们必备的工具。Origin7.5软件一直在该领域享受很高的声誉[1]。

Origin7.5是一个多文档界面（Multiple Document Interface ，MDI ）应用程序。Origin7.5功能非常强大，它提供图形绘制、数据分析及程序开发工具。在绘图方面，Origin7.5可以做简单二维、三维函数图形以及离散数据图形。在异常复杂的峰值分析方面，Origin7.5提供了峰拟合模块Peak Fitting Module （PFM ）。另外，Origin7.5提供了多种文件，用户可用来创建基于Origin 的自定义分析应用程序。保存文件时，它将用户的所有工作都保存在后缀为opj 的项目（Project ）文件中。保存项目文件时，各子窗口也随之一起存盘，这点与Visual Basic 等软

件非常相似；另外，各子窗口可以单独保存，以便被其他项目调用。一个项目文件可以包含多个子窗口，子窗口可以是工作表（Worksheet ）窗口、绘图（Graph ）窗口、函数图（Function Graph ）窗口矩阵（Matrix ）窗口和版面设计（Layout Page ）窗口等等。而且项目文件中的各窗口相互关联，可以实现数据实时更新。即如果工作表中的数据被改动之后，其变化能立即反映到其他各窗口，比如绘图窗口所绘数据点可以立即得到更新[4]。 2.2 氢原子径向波函数 2.2.1波函数可读化

用Origin7.5绘制波函数图形，首先要使目标绘图函数程序可读化。氢原子径向波函数程序)(,r R l n 的程序可读化形式列入表2。

表2 )(,r R l n 的origin 程序可读化

轨道 径向波函数)(,r R l n

)(,r R l n 的程序可读化

1s r e r R -=2)(0,1

2*exp(-x)

2s 2/0,2)2(3536.0)(r e r r R --= 0.3536*(2-x)*exp(-x/2) 2p 2/1,22041.0)(r re r R -=

0.2041*x*exp(-x/2)

3s 3/20,3)21827(01426.0)(r e r r r R -+-= 0.01426*(27-18*x+2*x^2)*exp(-x/3) 3p 3/21,3)6(02016.0)(r e r r r R --= 0.02016*(6*x-x^2)*exp(-x/3) 3d

3/22,3009016.0)(r e r r R -=

0.009016*x^2*exp(-x/3)

2.2.2氢原子径向波函数图形绘制

（1）启动Origin7.5后，打开一个图形窗口，选择菜单命令【Graph 】，打开【Add Function Graph 】，在弹出的【Plot Detail 】对话框中，单击function ，并在f(x)函数编辑区输人2*exp(-x)，然后单击ok ，出现function1子窗口，系统用该

函数作图并显示在该子窗口中。

（2）重复上述操作，并分别输入2s、2p、3s、3p、3d轨道的软件可读化形式（表2函数），画出相应波函数的图形如图1[4]。

2.2.3图形编辑

（1）右击图形区，在出现的快捷菜单中选择Axis，打开Axis一Layer对话框，单击Seale(刻度范围)，再单击左边。selection复选框中的Horizontal(水平坐标)，在From和To编辑区内分别输人0和18，同理单击Vertical(垂直坐标)，在From和TO编辑区内分别输人-0.1和0.2，确定横坐标和纵坐标显示范围。

（3）对做出的图形进行线条粗细的微调以及线条颜色，单击该窗口上部的Rename，给function F1重命名，把F1改为1s，重复操作，依次把F2改为2s，F3改为2p，F4改为3s，F5改为3p，F6改为3d。

（3）利用Tools工具条上的文本工具输入图注如图1所示。

（4）Origin7.5提供了非常简洁的文件保存方式，和其它文件的保存一样，用户只需利用file下拉菜单中的Save Project就可将其保存为opj文件，或直接使用键盘快捷键Ctrl+s也可将其保存为opj文件。

（5）Origin图形作为对象(Object)可通过Copy page和Paste命令与Microsoft word记程序实现数据传输，可在word中编辑和输出，十分方便、简洁，给读者更直观的读取信息。

（6）下面就是用origin7.5做出的氢原子的径向波函数的图形，图形显示与氢原子理论分析非常相符，读者可由此获得对氢原子更直观的认识。

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

R n ,l (r )

r (au)

1s 2s 2p 3s 3p 3d

1s

2s

2p

3s

3p

3d

图1 氢原子径向波函数)(,r R l n ~r 关系图

2.3氢原子径向密度函数和径向分布函数 2.

3.1氢原子径向密度函数和径向分布函数可读化

氢原子径向密度函数2()nl R r 和径向分布函数)(2

,2r R r l n 的程序可读化形式列如

表3所示。

表3 )(2,r R l n 和)(2

,2r R r l n 的origin 程序可读化

轨道 )(2,r R l n

的origin 程序可读化

)(2,2r R r l n 的origin 程序可读化

1s (2*exp(-x))^2

x^2*(2*exp(-x))^2

2s (0.3536*(2-x)*exp(-x/2))^2 x^2*(0.3536*(2-x)*exp(-x/2))^2 2p (0.2041*x*exp(-x/2))^2

x^2*(0.2041*x*exp(-x/2))^2

3s (0.01426*(27-18*x+2*x^2)*exp(-x/3))^2 x^2*(0.01426*(27-18*x+2*x^2)*exp(-x/3))^2 3p (0.02016*(6*x-x^2)*exp(-x/3))^2 x^2*(0.02016*(6*x-x^2)*exp(-x/3))^2 3d

(0.009016*x^2*exp(-x/3))^2

x^2*(0.009016*x^2*exp(-x/3))^2

2.3.2径向密度函数和径向分布函数图形绘制及图形编辑

（1）启动Origin7.5后，打开一个图形窗口，选择菜单命令【Graph 】，打开【Add Function Graph 】，在弹出的【Plot Detail 】对话框中，单击function ，并在

f(x)函数编辑区输入依次输人表2第二栏2

()nl R r 函数，

然后单击ok ，出现function1子窗口，系统用该函数作图并显示在该子窗口中如图2。

（2）重复上述操作，依次画出表2第三栏22

()nl r R r 函数的图形如图3。

（3）图形编辑同2.1.3，图2中横坐标和纵坐标显示范围分别为0—18和 0—0.03，图3中横坐标和纵坐标显示范围分别为0—25和0—0.2。 024681012141618

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.0250.030

R 2n ,l (r )

r (au)

1s

2s 2p 3s 3p 3d

1s

2s 3s

2p 3p

3d

图2 氢原子径向密度函数 )(2

,r R l n ~r 关系图

0510152025

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

1s 2s 2p 3s 3p 3d

r 2

R 2

n ,l (r )

r (au)

1s

2s 2p

3s

3p 3d

图3 氢原子径向分布函数)(2

,2r R r l n ~r 关系图

2.4 氢原子轨道角向部分

2.4.1 系统参数设置

启动Origin7.5后，打开Tool/Options/Numeric/Format 对话框，在Annular unit 复选框中选择Degree 。此项选择表明角度单位为度（系统默认为Degree ）。 2.4.2 波函数程序可读化

将表1中的氢原子球谐函数即原子轨道角向分布函数转化为计算机程序可读化形式如下表4所列。

2.4.3 氢原子轨道角度部分Y 及2Y 极坐标图形绘制举例

以氢原子为例说明极坐标图形的绘制方法

表4 Y 和2Y 的origin7.5程序可读化

类型 Y 的函数形式 Y 的函数可读化

2Y 函数可读化

投影面 S

2/1)4/1(

1

1

任何

z P

θπcos )4/3(2/1 Abs(cos(x)) (cos(x))^2

oy ox Z Z ,

x P

φθπcos sin )4/3(2/1??

Abs(cos(x)) (cos(x))^2

90=θoy x

y P

φ

θπsin sin )4/3(2/1?? Abs(sin(x)) (sin(x))^2

90=θoy x

2z d

)

1cos 3()16/5(2

2/1-?θπ Abs(3*(cos(x))^2-1) (3*(cos(x))^2-1)^2

oy ox Z Z ,

zx d

φθθπcos cos sin )4/15(2/1???

Abs(sin(2*x)) (sin(2*x))^2

0,=φox z

zy d

φ

θθπsin cos sin )4/15(2/1???

Abs(sin(2*x)) (sin(2*x))^2

90,=θoy z

22y x d -

φ

θπ2

22/1cos sin )4/15(??

Abs(cos(2*x)) (cos(2*x))^2

0,=φoz z

xy d

φ

θπ2

2

2/1sin sin )4/15(??

Abs(sin(2*x)) (sin(2*x))^2

90=θoy x

（1）启动Origin7.5后，打开一个图形窗口，选择菜单命令【Graph 】，打开【Add Function Graph 】，在弹出的【Plot Detail 】对话框中，单击function ，并在f(x)函数编辑区输入Abs(sin(2*x))，单击OK 后出现functional 绘图窗口。此时单击该窗口上部Polar(极坐标)按钮，系统用dxy Y 函数画出极坐标图形并显示在该窗口中。

（2）用文本工具和箭头绘图工具输人有关坐标轴和符号得图4a 。

0.20.40.60.81.00

30

60

90

120

150

180

210240

270

300

330

0.00.20.40.60.81.0

x

y -

-+

+

图4a dxy Y 的极坐标图形

(3)重复上述操作，绘图函数变为2))^*2(sin(x ，2

dxy Y 函数图形如图4b 。

0.20.40.60.81.00

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.00.20.40.60.81.0

F1

x

y

图4b 2

dxy Y 的极坐标图形

2.5 其他应用

除以上讨论外，还有许多方面的应用，如：氢原子立体图形的绘制以及其他原子的图形图形绘制、数据分析及程序开发工具，应用Origin 7.5作出漂亮的图形，可使你的论文增色不少，也能直观的展现出物理微观机理的全过程。另外，

Origin7.5还自带了数据处理功能，使得处理数据更加简便[1,4]。

3小结

随着计算机的发展，科技的进步，原子物理学的发展已经离不开计算机了，计算机不仅推动者原子物理学的发展，也使微观原子的运动规律更直观的展现在人们面前。本文就计算机软件在原子物理学中应用展开讨论，以氢原子为例，简要介绍了用Origin7.5来做氢原子波函数、径向密度函数与径向分布函数图形的绘制方法，以及氢原子轨道角向分布函数的绘制方法，做出了氢原子波函数图形、氢原子密度分布图以及氢原子轨道角向分布图。现将结果总结如下：

(1) Origin软件绘图的关键是目标绘图函数可读化。实际操作中，可读化形式不正确或函数输人错误都会导致绘图错误，并且系统不作任何提示。当绘图命令执行后，若绘图子窗口没有响应，此时极可能是函数输人有误或函数可读化形式不正确，认真核对并修正后即可完成图形绘。

(2) Origin图形作为对象(Object)可通过Copy page和Paste命令与word记程序实现数据传输，可在word中编辑和输出，十分方便。

(3) 利用Origin7.5做出精美的图形，不仅可作简单的氢原子图形，也可做出其他复杂原子的图形，以及各种原子的立体图形等等，除此之外，还可以编制程序来做图形，功能十分庞大。

致谢：

回想四年前，怀着对大学生活的向往、对物理学的热爱以及自己的理想，我走进这所有着百年历史的学府—西北师范大学。历经四年，我走遍了师大的各个角落，越来越感觉到她的淳朴与厚重。在师大的四年时光里，每天伴随在耳边的，是老师孜孜不倦的教导，同学的每一声问候。光影似箭，白驹过隙，转眼间四年的大学生活就要结束了，心中纵有千言万语也难以言表。有过喜悦，有过悲伤，有过对理想的执着追求，也有过对未来生活的彷徨。然而，风雨过后终归于平静，如今，看着刚刚完成的本科生学位论文，我心中充满了无限的喜悦与感激。经过两个多月的艰辛历程，我从中学到很多，包括对董老师的敬仰，也有自己对艰辛的科研工作的体验，使我对物理学有了更深刻的认识。

在论文完成之际，首先，我要特别感谢我的指导老师董晨钟老师的热情关怀和悉心指导。在我撰写论文的过程中，董老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了董老师悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是他广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益，在此表示真诚地感谢和深深的谢意。

再者，在论文的写作过程中，也得到了许多同学的宝贵建议和同事的支持和帮助，感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友，我还要感谢四年来一如既往的鼓励和支持我的父母，在此一并致以诚挚的谢意。

最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！

参考文献

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[2] 曾谨言，量子力学[M]．北京:科学出版社，2010

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社．2006

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