高中数学错题笔记_第七章 三角函数解三角形_银川二中文科学霸_2016高考状元笔记
高中数学解三角形方法大全
解三角形的方法 1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明,均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有以下关系成立: (1)边的关系:c b a >+,b c a >+,a c b >+(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:π=++C B A ,π<
总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能 如图,在ABC ?中,已知a 、b 、A (1)若A 为钝角或直角,则当b a >时,ABC ?有唯一解;否则无解。 (2)若A 为锐角,则当A b a sin <时,三角形无解; 当A b a sin =时,三角形有唯一解; 当b a A b < 应用三角形的面积巧解竞赛题 三角形是几何中最基本的多边形。在求其它多边形问题时,经常把多边形问题化归成三角形 问题来求解。特别是三角形的面积,在解题中更是应用广泛。下面就举例说明。 一、知识点回顾: 三角形的面积公式: 三角形的面积等于底乘以其边上的高的一半。 性质: 1、等底同高的两个三角形,面积相等。 2、同底等高的两个三角形,面积相等。 3、等底等高的两个三角形,面积相等。 请同学们仔细体会解题过程中的“设而不求”的奇妙。 二、应用举例 例1、如图1所示,矩形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,点P 在矩 形ABCD 内.若AB =4cm ,BC =6cm ,AE =CG =3cm ,BF =DH =4cm ,四边形AEPH 的面积为5cm 2 , 则四边形PFCG 的面积为_________cm 2 .08年浙江省初中数学竞赛初赛试题 解法1、如图2所示,连接EH 、HG 、GF 、FE , 在矩形ABCD 中, 因为,DH=BF ,BE=DG ,∠B=∠D , 所以,△BEF ≌△DGH , 所以,EF=GH , 同理可证,△AEH ≌△CFG , 所以,EH=GF , 所以,四边形EFGH 是平行四边形, 因为, S △AEH = 21×AE ×AH=21 ×2×3=3= S △CFG , S △DGH =21×DH ×GH=2 1 ×4×1=2 =S △DGH , 所以, S 四边形EFGH =24-2(3+2)=14, 所以,S △EPH + S △PGF =7, 因为,四边形AEPH 的面积为5cm 2 , 所以,S △EPH =2, 所以,S △PGF =5, 所以,S △PGF + S △CFG =5+3=8, 即四边形PFCG 的面积为8cm 2 。 解法2、如图3所示,连接PA 、PC , 过点P 分别作MN ∥AB ,交AD 于点M ,交BC 于点N ; OR ∥BC ,交AB 于点O ,交DC 于点R , 则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形, 设PM=x ,PN=4-x ,PO=y ,PR=6-y , 因为, S △PAH = 21×PM ×AH=21 ×2×x=x , S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2 3 y , 因为,四边形AEPH 的面积为5cm 2 , 所以,x+2 3 y=5, S △PFC = 21×FC ×PN=21 ×2×(4-x)= 4-x , S △PCG =21×CG ×PR=21×3×(6-y)=9-2 3 y , 因为,四边形PFCG 的面积= S △PFC+ S △PCG =4-x+9-2 3 y =13-(x+ 2 3 y )=13-5=8, 即四边形PFCG 的面积为8cm 2 。 解法2、如图3所示,连接PA 、PC , 过点P 分别作MN ∥AB ,交AD 于点M ,交BC 于点N ; OR ∥BC ,交AB 于点O ,交DC 于点R , 则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形, 设PM=x ,PN=4-x ,PO=y ,PR=6-y , 因为, S △PAH = 21×PM ×AH=21 ×2×x=x , S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2 3 y , 高中数学解三角形最值 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 三角形中的最值(或范围)问题 解三角形问题,可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化,正弦余弦定理等知识点,是三角,函数,解析几何和不等式的知识的交汇点,在高考中容易出综合题,其中,三角形中的最值问题又是一个重点。其实,这一部分的最值问题解决的方法一般有两种:一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决,二是也可以利用重要不等式来解决。 类型一:建立目标函数后,利用三角函数有界性来解决 例1.在△ABC 中, ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且2asinA =(2b+c )sinB+(2c+b )sinC. (1) 求角A 的大小;(2)求sin sin B C +的最大值. 变式1:已知向量(,)m a c b =+,(,)n a c b a =--,且0m n ?=,其中,,A B C 是△ABC 的内角,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. (1) 求角C 的大小;(2)求sin sin A B +的最大值. 解:由m n ?=()a c +()()0a c b b a -+-=,得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC 所以cosC=21 ,从而C=60 故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时,sin sin A B +的最大值是3 变式2.已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中,若有2R (sin 2A —sin 2C )=(2a —b )sinB 成立,试求⊿ABC 的面积S 的最大值。 解:根据题意得: 专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”,其中的核心是“变角”,即注意角之间的结构差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===,其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边,或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边,否则不可行 学/科-+网 例如:(1)2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= (2)cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=(恒等式) (3) 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式:()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下,配合均值不等式可得到b c +和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 (1)任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时,只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件,在求最值时使用较少 (2)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系: sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?< 其中由cos cos A B A B >?<利用的是余弦函数单调性,而sin sin A B A B >?>仅在一个三角形内有效. 5、解三角形中处理不等关系的几种方法 (1)转变为一个变量的函数:通过边角互化和代入消元,将多变量表达式转变为函数,从而将问题转化为求函数的值域(最值) (2)利用均值不等式求得最值 【经典例题】 例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形 中, , 解三角形练习 题一:在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=32,则AC=(). A.43B.2 3 C. 3 D. 3 2 题二:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tan A tan B= 2c b,则C =(). A.30°B.45° C.45°或135°D.60° 题三:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b=2a sin B,则角A的大小为________. 题四:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos A-a cos C=0.求角A的大小. 题五:在△ABC中,内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则△ABC外接圆的面积为________. 题六:在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan A tan C. 求证:a,b,c成等比数列. 题七:某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港 口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值. 题八:如图,在△ABC中,已知B=π 3,AC=43,D为BC边上一点.若AB=AD,则△ADC的 周长的最大值为________. 题九:如图,在△ABC中,点D在BC边上,AD=33,sin∠BAD=5 13,cos∠ADC= 3 5. (1)求sin∠ABD的值; (2)求BD的长. 题十:如图,在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°,则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(). A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m 题十一:在△ABC中,若sin2A+sin2B < sin2C,则△ABC的形状是(). A.锐角三角形B.直角三角形 椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复 习) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用,大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x (a >b >0)中,焦点分别为1F 、2F ,点P 是椭圆上任意一 点,θ=∠21PF F ,则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明:记2211||,||r PF r PF ==,由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中,由余弦定理得:2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得:.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得: 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证,在椭圆122 22=+b x a y (a >b >0)中,公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点,1F 、2F 是其焦点,且?=∠6021PF F ,求 △21PF F 的面积. 例2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,若2 1 | |||2121= ?PF PF ,则△21PF F 的面积为( ) 三角形最值问题 课前强化 1.在△ABC 中,已知0 45,2,===B cm b xcm a ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是 ( ) A.222 <x< B.222≤<x C.2x > D.2x < 2.△ABC 中,若sinA :sinB :sinC=m :(m+1):2m, 则m 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.( 2 1,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 3.在△ABC 中,A 为锐角,lg b +lg(c 1)=lgsin A =-lg 2, 则△ABC 为( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( ) A.0 075,45,10===C A b B.080,5,7===A b a C.060,48,60===C b a D.045,16,14===A b a 5.△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 最值范围问题: 7、在ABC ?中,角所对的边分别为且满足(I )求角的大小;(II )求)cos(sin 3C B A +-的最大值,并求取得最大值时角的大小. ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B高中数学论文应用三角形的面积巧解竞赛题
高中数学解三角形最值
最新专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)
高中数学解三角形练习及详细答案
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)
解三角形最值问题
高中数学 解三角形最值或范围-含答案