数项级数敛散性的判别法毕业论文

关于数项级数敛散性的判别法

摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化.

关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法

引言设数项级数

++++=∑∞

=n n n

a a a a

211

的n 项部分和为:

12n S a a =++ +1

n i i a a ==∑

若n 项部分和数列{}n S 收敛,即存在一个实数S,使

lim n n S S →∞

则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞

是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则,可

得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:

数项级数1n n a ∞

=∑收敛0,N N ε+??>?∈,对,n N p N +?>?∈有

12n n n p a a a ε++++++< .

2 正项级数敛散性判别法

设数项级数1n n a ∞

=∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递增,由数列的单调有

界公理,有

定理2.1[1]

正项级数1

n n u ∞

=∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界.

由定理2.1可推得定理2.2

[2]

：设两个正项级数1

n n u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑,存在常数c 0>及正整数N ，当n ＞N 时有

n u ≤c n v ,则

（i ）若级数1

n n u ∞

=∑收敛，则级数1

n n v ∞

=∑也收敛；

（ii ）若级数1

n n u ∞=∑发散，则级数1

n n v ∞

=∑也发散.

一般常及其极限形式:

定理2.2’（比较判别法的极限形式）

[2]

：设1

n n u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑是两个正项级数且有

lim

n n

u v →∞=λ，（i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散；

（ii ）若 λ＝0，级数1

n n v ∞

=∑收敛，则级数1

n n u ∞

=∑也收敛；

（iii ）若 λ＝＋∞，级数1

n n v ∞=∑发散，则级数1

n n u ∞

=∑也发散.

由比较判别法可推得:

定理2.3（达朗贝尔判别法也称比值判别法，D ’Alembert ）[3]

：设1

n n u ∞

=∑是一个正项级数，则

有

（i ）若存在0＜q ＜１及自然数N ，使当n ≥N 时有1

n n u u +≤q ，则级数1n n u ∞

=∑收敛；

（ii ）若存在自然数N ，使当n ≥N 时有1

n n u u +≥１，则级数1

n n u ∞

=∑发散.

定理2.3’（达朗贝尔判别法也称比值判别法的极限形式）[3]：设

n u

∞

∑是一个正项级数，

（i）若lim

n→∞

+＝r＜１，则级数

∞

∑收敛；

（ii）若lim

n→∞

+＝r＞１则级数

∞

∑发散.

定理2.4（柯西判别法也称根式判别法）[4]：设

n u

∞

∑是一个正项级数，则有

（i）若存在0＜q＜１及自然数N，使当n≥N

≤q，则级数

∞

∑收敛；

（ii）若存在自然数列的子列{}i n

≥１，则级数

∞

∑发散.

定理2.4’（根式判别法的极限形式）[5]：设

n u

∞

∑是一个正项级数，

（i）lim

→∞＝r＜１，则级数

∞

∑收敛；

（ii）lim

→∞＝r＞１，则级数

∞

∑发散.

注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对r=1的情形都未论及.实际上，当

lim n→∞

+=1或lim

→∞

=1时，无法使用这两个判别法来判别敛散性.如级数

∞

∑和2

∞

∑，都有

lim lim1

n n

→∞→∞

+==

，

(1)

lim lim1

n n

→∞→∞

+??

，

，1

但前者发散而后者收敛.

此外，定理2.3和定理2.4中关于收敛的条件

n n

u u +≤q

≤q ＜１也不能放宽到1n n u u +

＜１.例如，对调和级数11n n

∞

=∑，有 1n n u u +=1n n +

但级数却是发散的.

对于严格正项级数,比较判别法、比式判别法及根式判别法用上（下）极限形式更为方便. 定理2.5[2]

设∑∞

n n a 为严格正项级数.

若∑∞

=1n n b 是收敛的严格正项级数,使+∞<∞→n

n b a lim ,则级数∑∞

=1n n a 收敛.

若∑∞

=1n n b 为发散的严格正项级数,使0lim >∞→n

n b a ,(可取)∞+,则级数∑∞

=1n n a 发散.

定理2.6[2]

设∑∞

n n a 为严格正项级数.

若1lim 1

<=+∞→q a a n

n n ,则级数∑∞

=1n n a 收敛.

若1lim 1

>=+∞→q a a n

n n ,则级数∑∞

=1n n a 发散.

定理2.7[2]

设∑∞

n n a 为正项级数,且q a n n n =∞

→lim ,则

当1

=1n n a 收敛.

当1>q 时,级数∑∞

n n a 发散.

我们知道,广义调和级数(p-级数)∑

∞

=11

n p

当1>p 时收敛,而当1≤p 时发散.因此,取p-级

数作为比较的标准,可得到较比式判别法更为精细而又应用方便的判别法,即

定理2.8（拉阿贝判别法，Raabe ）[3]

：设∑∞

=1n n u 是正项级数并记11,n n n u R n u +??

=- ???

（i ）若存在1q >及自然数N ，使当n ≥N 时有,n R q ≥则级数1

n n u ∞

=∑收敛；

（ii ）若存在自然数N ，使当n ≥N 时有1,n R ≤则级数1

n n u ∞

=∑发散.

定理2.8’（拉阿贝判别法的极限形式）

[8]

：设1n n u ∞

=∑是正项级数且有r u u n n n n =???

??-+∞→1lim 1，则 (1)当1>r 时,级数1

n n u ∞

=∑收敛；

(2)当1

n n u ∞

=∑发散.

考虑到级数与无穷积分的关系,可得

定理2.9（积分判别法）[4]：设函数()f x 在区间),1[+∞上非负且递减，)(n f u n =，1,2,n = ，则级数∑∞

=1n n u 收敛的充分必要条件是极限?+∞→x

x dt t f 1

)(lim 存在.

证：由于0)(≥x f ,知?=x

dt t f x F 1

)()(单调递增.因此

极限?+∞→+∞

→=x

x x dt t f x F 1)(lim )(lim 存在)(x F ?在),1[+∞有界.

(充分性)设?+∞→x

x dt t f 1

)(lim 存在,则存在0>M ,使M dt t f x x

≤+∞∈??1

)(),,1[

级数∑∞

n n u 的部分和)()2()1(21n f f f u u u S n n +++=+++=

??-++++≤n

n dt t f dt t f dt t f f 1

)()()()1(

M f dt t f f n

+≤+=?)1()()1(1

即部分和数列有上界.所以级数∑∞

n n u 收敛.

(必要性)设正项级数∑∞

n n u 收敛,则它的部分和有上界,即存在+∈?>N n M ,0有

M S n ≤.从而对),1[+∞∈?x ,令1][+=x n ,则 ?

????-+++=≤n n n

dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 1

)()()()()(

M S n f f f n ≤=-+++≤-1)1()2()1( . 故极限?+∞→x

x dt t f 1

)(lim 存在.

由此我们得到两个重要的结论[6]：（1）p 级数1

p n n ∞

=∑收敛?1;p > （2）级数21

ln p

n n n

∞

=∑

收敛? 1.p > 证：两个结论的证法是类似的，所以下面只证明结论（1）在p 级数一般项中，把n 换为x ，得到函数

()f x =

(1).p x x

≥ 我们知道，这个函数的广义积分收敛? 1.p >因此根据正项级数的广义积分判定法，结论（1）成立.

还是以p-级数为比较标准,可得

定理2.10（阶的估计法）[3]

：设1

n n u ∞

=∑为正项级数??

??=p

n n O u 1)(∞→n ,即n u 与p n 1当∞→n 是

同阶无穷小.则

(1)当1>p 时,级数1n n u ∞

=∑收敛；

(2)当1≤p 时,级数1

n n u ∞=∑发散.

把比较判别法和比式判别法结合,又可得

定理2.11（比值比较判别法）[7]

：设级数1n n u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑都是正项级数且存在自然数N ，使当n

≥N 时有

n n n n

u v u v ++≤

, 则有

（i ）

若1n n v ∞

=∑收敛，则1n n u ∞

=∑也收敛；

（ii ）若1

n n u ∞

=∑发散，则1

n n v ∞

=∑也发散.

证：当n ≥N 时，由已知有

12121111n N N n N N n n N N N n N N n N

u u u u v v v v

u u u u v v v v +++++-+-=≤= . 由此可得

,.N N n n n n N N

u v

u v u v v u ≤

≤ 再由比较判别法即知定理结论成立. 较比式判别法更为精细的判别法是

定理2.12

[3]

（高斯判别法，Gauss ）：设1

n n u ∞

=∑是正项级数且满足 11,ln ln n n u u v o u n n n n n λ+??=+++ ???

则有

（i ）

若1λ>或者1λ=，1u >或者1,1u v λ==>，则级数1n n u ∞

=∑收敛；

（ii ）若1λ<或者1λ=，1u <或者1,1u v λ==<，则级数1

n n u ∞=∑发散.

定理2.12’

[9]

（高斯推论）：设1

n n u ∞

=∑是正项级数且满足 211,n n u u

O u n n λ+??=++ ???

则有

（i ）若1λ>或1λ=，1u >，则级数1

n n u ∞

=∑收敛；

（ii ）若1λ<或1λ=，1u ≤，则级数1

n n u ∞

=∑`发散.

3 一般项级数敛散性判别法

我们经常遇到一些级数，它们并不是都为非负，如交错级数等，对于这一类的级数我们不能再套用上述的正项级数的判别法来判断它们的敛散性了.

根据柯西收敛原理，级数1n n u ∞

=∑收敛的充分必要条件是：对任给的0ε>，存在N ，只要

n N >，对任意正整数p ，有

12.n n n p u u u ε++++++<

在研究一般项级数的判别法前我引进绝对收敛与条件收敛的概念. 定义

[4]

：若级数1

n n u ∞=∑收敛，则称级数1

n n u ∞=∑是绝对收敛的；若级数1

n n u ∞=∑收敛，但级数1

n n u ∞

=∑发

散，则称级数1

n n u ∞

=∑是条件收敛的.

由柯西收敛准则,有定理3.1

[4]

若级数∑∞=1

||n n u 收敛,则级数∑∞

n n u 收敛.

要判别级数∑∞

||n n u 敛散性,可用上述介绍的正项级数敛散性的判别方法去判断.

定理3.2

[6]

（分部求和判别法）:对级数1

,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1

n n u ∞

=∑的部分和,即 1

n k k A u ==∑.

如果极限lim n n n A p →∞

存在,那么下面两个级数有相同的收敛性:

n n u

p ∞

=∑11

().n n n n A p p ∞

+=-∑

这个判别法的特点是:把因子1,2,,,n u u u 分离出来,求出部分和n A ,再研究级数

()n n n n A p

p ∞

+=-∑的收敛性(前提是极限lim n n n A p →∞

存在.)

证明：先分析级数1

n n n u p ∞

=∑的部分和.为此分析乘积k k u p ;用增减项的办法,可以看出,

11111()()k k k k k k k k k k k k u p A A p A p A p p A p -----=-=---.

由此得到

1111()()k k k k k k k k k u p A p A p A p p ----=---.

让k 从1变到n,对等式的各项求和,

11001

()(0,0)n

k n n k k k k k u

p A p A p p A p --===--==∑∑.

这个等式可以改写为

()n

n k

k n n k k k k k u

p A p A p p -+===--∑∑.

(这叫做阿贝尔分部求和公式.)

现在令n →∞,考察极限1lim n

k k n k u p →∞

=∑.由阿贝尔分部求和公式可以看出:因为极限

lim n n n A p →∞

存在,所以

lim n k k n k u p →∞

=∑存在1

lim ()n k k k n k A p p -+→∞

=?-∑存在.

这个结论的级数语言是:

()k

k n n n n n u

p A p p ∞

∞

+==?-∑∑收敛收敛.

这样就证明完成了证明.

对于最特殊的变号级数—交错级数,有

定理3.3 [10]（莱布尼兹判别法）:对于交错级数,如果一般项的绝对值组成的数列单调递减趋向

于0(当n →∞),那么交错级数收敛. 对于一般项级数,则有

定理3.4[10]

（狄利克雷判别法）: 对级数1

,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1

n n u ∞

=∑的部分和,即

n k k A u ==∑.

如果{}n A 是有界数列,并且数列{}n p 单调递减趋向于0,那么级数1

,n n n u p ∞

=∑收敛.

证明: 由条件可知, lim n n n A p →∞

=0.因此根据分部求和判别法, 下面两个级数有相同的收敛性:

n n u

p ∞

=∑11

().n n n n A p p ∞

+=-∑

以下只需验证:后一个级数是绝对收敛的.实际上,数列{}n A 是有界的,不妨设()n A A n ≤?.这样一来,

11()()n n n n n A p p A p p ++-≤-.

另外,

111111

()lim ()lim()n

n k k n n n n k p

p p p p p p ∞

+++→∞

→∞

==-=-=-=∑∑

因此根据控制收敛判别法,级数11

()n n n n A p p ∞

+=-∑收敛.

定理3.5(阿贝尔Aebel 判别法)[4]

设数列}{n a 单调有界,级数∑∞=1n n b 收敛,则级数∑∞

n n n b a 收敛.

主要参考文献：

[1]刘玉琏,傅沛仁等. 数学分析讲义(第三版). 北京: 高等教育出版社, 2003

[2]罗仕乐 . 数学分析续论 . 韶关学院数学系选修课程. 2003.8

[3]李成章,黄玉民. 数学分析（上册）.北京: 科学出版社,1999.5

[4]邓东皋, 尹小玲. 数学分析简明教程.北京: 高等教育出版社, 2000.6

[5]张筑生. 数学分析新讲.北京: 北京大学出版社, 2002.2

[6]丁晓庆. 工科数学分析（下册）.北京: 科学出版社,2002.9

[7]R.柯朗, F.约翰. 微积分和数学分析引论.北京: 科学出版社, 2002.5

[8]朱时. 数学分析札记 .贵州: 贵州教育出版社, 1996.5

[9][美] 约翰鲍逊等,邓永录译. 现在数学分析基础.广东:中山大学出版社, 1995.2

[10] 王昆扬. 数学分析专题研究.北京: 高等教育出版社, 2001.6

The law of differentiating about the fact that several items of progression disappear and dispersing

Liu Xianyang

(Department of Mathematics，Shaoguan University，00 mathematics and applied mathematics

undergraduate course. ,Shaoguan 512005，GuangDong)

Abstract:One of the main content while analyzing that progression is mathematics. That the several a item of progressions of study disappear and disperse to differentiate law have a lot of kinds we, If Cauchy differentiate law, D'Alembert differentiate law, Raabe differentiate , Gauss differentiate law, Dirichlet differentiate law, Leibniz differentiate law, Abel differentiate law, etc. law. That items of progression disappear and disperse to differentiate law sum up, systematize it logarithm.

Keywords：Several items of progression ; A progression ; Turn into number progression ; Hold back the scattered quality ; Differentiate law ization.