线性代数考试复习资料 (1)

《线性代数》复习提纲

第一部分：基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；

求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识

一、行列式

1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况：

Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；

Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；

Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；

Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵

1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

（2）关于乘法的几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；

④|kA|=k^n|A|

3．矩阵的秩

（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵

（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A 可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；

（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，

(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：

①|A|≠0；②r(A)=n; ③A->I;

（4）逆的求解

伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~) ②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）5．用逆矩阵求解矩阵方程：

AX=B，则X=（A^-1）B；

XB=A，则X=B(A^-1)；

AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)

三、线性方程组

1．线性方程组解的判定

定理：

(1) r(A,b)≠r(A)无解；

(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；

(3)r(A,b)=r(A)

特别地：对齐次线性方程组AX=0

(1) r(A)=n 只有零解；

(2) r(A)

再特别，若为方阵，

(1)|A|≠0只有零解

(2)|A|=0 有非零解

2．齐次线性方程组

（1）解的情况：

r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；

r(A)

X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）求解的方法和步骤：

①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；

②写出对应同解方程组；

③移项，利用自由未知数表示所有未知数；

④表示出基础解系；

⑤写出通解。

3．非齐次线性方程组

（1）解的情况：

利用判定定理。

（2）解的结构：

X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）无穷多组解的求解方法和步骤：

与齐次线性方程组相同。

（4）唯一解的解法：

有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。

四、向量组

1．N维向量的定义

注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2．向量的运算：

（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

（2）向量内积α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；

（3）向量长度

|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2) (√根号) （4）向量单位化(1/|α|)α；

（5）向量组的正交化（施密特方法）

设α1，α 2，…，αn线性无关，则

β1=α1，

β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，

β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。3．线性组合

（1）定义若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，则称β是向量组α1，α 2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。

（2）判别方法将向量组合成矩阵，记

A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)

若r (A)=r (B)，则β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示；

若r (A)≠r (B)，则β不可以用向量组α1，α 2，…，αn 的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法：

将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。

4．向量组的线性相关性

（1）线性相关与线性无关的定义

设k1α1+k2α2+…+knαn=0，

若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；

若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。

（2）判别方法：

①r(α1，α 2，…，αn)

r(α1，α 2，…，αn)=n，线性无关。

②若有n个n维向量，可用行列式判别：

n阶行列式aij＝0，线性相关（≠0无关） (行列式太不好打了)

5．极大无关组与向量组的秩

（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法设A＝(α1，α 2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

五、矩阵的特征值和特征向量

1．定义对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。

2．特征值和特征向量的求解：

求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3．重要结论：

（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；

（2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；

（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。

六、矩阵的相似

1．定义对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使

P^-1AP=B，则称A与B相似。

2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）：求出所有特征值；

求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。

七、二次型

n

1．定义 n 元二次多项式f(x1,x2,…，xn)=∑ a ij x i x j 称为二次型,若a ij=0(i≠j)，则称为二交型的标准型。 i,j=1

2．二次型标准化：

配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q ，Q^-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。 3．二次型或对称矩阵的正定性： （1）定义（略）； （2）正定的充要条件：

①A 为正定的充要条件是A 的所有特征值都大于0； ②A 为正定的充要条件是A 的所有顺序主子式都大于0；

1、行列式

1.

n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为

2n

行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、

ij

A 和

ij

a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为

A

；

3. 代数余子式和余子式的关系：

(1)(1)i j i j ij ij

ij ij

M A A M ++=-=-

4. 设n 行列式D ：

将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则

(1)2

1(1)

n n D D

-=-；

将D 顺时针或逆时针旋转90

，所得行列式为2D ，则

(1)2

2(1)

n n D D

-=-；

将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -? -；

③、上、下三角行列式（ =

◥◣）：主对角元素

的乘积；

④、

◤和

◢：副对角元素的乘积

(1)

2

(1)

n n -? -；

⑤、拉普拉斯展开式：

A O A C A B

C

B O

B

=

=、

(1)m n C

A O

A A B

B O

B C

==-

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于

n

阶行列式

A

，恒有：

1

(1)n

n

k n k

k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

7. 证明

A =的方法： ①、

A A

=-；

②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A 是n 阶可逆矩阵：

?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关；

?齐次方程组0Ax =有非零解；

?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

?A 与E 等价；

?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵；

?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E ==无条件恒成立；

3.

1**111**

()()()()()()T T T T A A A A A A ----===

***

111

()()()T T T

AB B A AB B A AB B A ---===

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是

数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

若

12

s A A A A ??

?

?= ? ???

，则：

Ⅰ、

12s

A A A A = ；

Ⅱ、

111

1

2

1s A A

A A ----?? ?

?= ? ? ???

；

②、1

11A O A O O B O B ---????

= ? ??

???

；（主对角分块） ③、

1

11O A O B B O A O ---??

??

= ? ?

????

；（副对角分块） ④、1

1111A C A A CB O B O B -----??

-??= ? ??

???

；（拉普拉斯）

⑤、

11111A O A O C B B CA B -----????

= ? ?-????

；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，

其标准形是唯一确定的：

r

m n

E

O F O O ???

= ???；

等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若

(,)(,)

r

A E E X ，则A 可逆，且1

X A -=；

②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B

就变成1

A B -，即：

1(,)(,)

c

A B E A B - ~ ；

③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程

Ax b =，如果

(,)(,)

r

A b E x ，则A 可逆，且1

x A b -=；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、

1

2

n ??

?

?Λ= ? ?

??

λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的

各行元素；右乘，i λ乘A 的各列元素；

③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且

1(,)(,)E i j E i j -=

，例如：1

111111-???? ? ?= ? ? ? ?????；

④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且

11(())(())E i k E i k -=

，例如：

11

11(0)11k k k -??

??

?

? ?=≠ ? ? ? ???

??；

⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且

1(())(())

E ij k E ij k -=-，如：

1

11

11(0)11k k k --???? ? ?

=≠ ? ? ? ?????；

5. 矩阵秩的基本性质：

①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤；

②、()()T

r A r A =；

③、若A B ，则()()r A r B =；

④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；

（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）

⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）

⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =，则：（※）

Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、()()r A r B n +≤

⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如101001a c b ?? ? ? ?

?

?的矩阵：利用二项展开式；

二

项

展开

式

：0

111

1110

()n

n

n

n m n m

m

n n n n

m m

n m

n

n

n

n

n

n

m a b C a C a b C a

b C

a b

C b C a b -----=+=++++++=∑ ；

注：Ⅰ、

()n

a b +展开后有1n +项；

Ⅱ

、

0(1

)1

12

3

--+=

=

- m

n

n

n

n

n n n m n C C

C

m

m n m

Ⅲ

、组合的性

质

：

1

1

110

2---+-===+==∑n

m n m m m m r n

r r n n

n n n

n

n n r C C C C C C

rC nC ；

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：

*()()1

()10()1

n

r A n r A r A n r A n = ??

==-??<-?； ②、伴随矩阵的特征值

：

*1*(,)

A

A

AX X A A A A X X λλ

λ

- == ? =

；

③、

*1

A A A -=、

1

*n A A

-=

8. 关于A 矩阵秩的描述：

①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）

②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0；

③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ?矩阵，则：

①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；

②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；

10. 线性方程组Ax b =的求解：

①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：

①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=

??+++= ??

??

+++=? ；

②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ????

?? ??? ?

??? ?=?= ??? ?

??? ?

??????

（向

量方程，A 为m n ?矩阵，m 个方程，n 个未知数）

③、

()12

1

2

n n x x a a a x β??

?

?= ? ??? （全部按列分块，其

中

12n b b b β??

? ?

= ? ?

?? ）； ④、1122n n a x a x a x β+++= （线性表出） ⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知

数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.

m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα 构

成n m ?矩阵12(,,,)m A = ααα；

m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T T m

βββ

构成m n ?矩阵

12T T T m B βββ?? ? ?

= ? ? ??? ； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ?=有、无非

零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 Ax b ?=是否有解；

（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示 AX B ?=是否有

解；（矩阵方程） 3.

矩阵m n A ?与l n B ?行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(

101

P 例14)

4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)

5.

n 维向量线性相关的几何意义：

①、α线性相关 ?0α=；

②、,αβ线性相关

?,αβ坐标成比例或共线

（平行）；

③、,,αβγ线性相关 ?,,αβγ共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若12,,,s ααα 线性相关，则121,,,,s s αααα+ 必线性相关；

若12,,,s ααα 线性无关，则121,,,s ααα- 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：

若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线

性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版

74

P 定理7)；

向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（

86

P 定理3）

向量组A 能由向量组B 线性表示

AX B ?=有解；

()(,)r A r A B ?=（85P 定理2）

向量组A 能由向量组B 等价()()(,)

r A r B r A B ? ==（

85

P 定理2推论）

8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使

12l A P P P = ；

①、矩阵行等价：~r

A B PA B ?=（左乘，P 可逆）0Ax ?=与0Bx =同解

②、矩阵列等价：~c

A B AQ B ?=（右乘，Q 可逆）；

③、矩阵等价：~A B PAQ B ?=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ?与l n B ?：

①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；

②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ???=，则：

①、

C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；

②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T

A

为系数矩阵；（转置）

11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中

可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解；

②、0Bx = 有非零解0ABx ? =一定存在非零解； 12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ? 可由向量组

12:,,,n s s A a a a ? 线性表示为：（110P 题19结论） 1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K

= （B AK =）

其中K 为s r ?，且A 线性无关，则B 组线性无关

()r K r ?=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：

()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ；充分性：

反证法）

注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵m n A ?，存在n m Q ?，m

AQ E =

()r A m ?=、Q 的列向量线性无关；（87P ）

②、对矩阵m n A ?，存在n m P ?，n

PA E =

()r A n ?=、P 的行向量线性无关；

14. 12,,,s ααα 线性相关

?存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得

1122

0s s k k k ααα+++= 成立；（定义） ?1212(,,,)0

s s x x

x ααα??

? ?= ? ?

?? 有非零解，即0Ax =有非零

解；

?12(,,,)s r s ααα< ，系数矩阵的秩小于未知数的

个数；

15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组

0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；

16. 若*

η为Ax b =的一个解，

12,,,n r ξξξ- 为0Ax =的一个基础解系，则*

12,,,,n r ηξξξ- 线性无关；（111P

题

33结论）

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵T A A E ?=或1T

A A -=（定义），性质：

①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即

1

(,1,2,)

T i j i j a a i j n i j

=?==?

≠? ；

②、若A 为正交矩阵，则1T

A A -=也为正交阵，且

1

A =±；

③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和

单位化；

2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a

11b a =；

12221

11[,]

[,]b a b a b b b =-

121121

112211[,][,][,]

[,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=-

--- ;

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无

关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ?A 经过初等变换得到B ；

?=PAQ B ，P 、Q 可逆；

()()?=r A r B ，A 、B 同型；

②、A 与B 合同 ?=T

C AC B ，其中可逆；

?T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负

惯性指数；

③、A 与B 相似 1

-?=P AP B ；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C 为正交矩阵，则T

C AC B =?A B ，（合同、

相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7.

n 元二次型T x Ax 为正定：

A ?的正惯性指数为n ；

A ?与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T

CA

C E =；

A ?的所有特征值均为正数；

A ?的各阶顺序主子式均大于0； 0,0

ii a A ?>>；(必要条件)