竞赛讲义——热力学定律

热力学第一定律

1. 关于气体的压强

理想气体的压强是大量气体分子不断碰撞器壁的结果，在数值上等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁上的平均冲量，其表达式为：

K

E n KT n P 0032

==

式中0n 是单位体积内的分子数，即分子数密度，K E 是分子的平均平动动能，

KT E K 2

3

=，K 为玻尔兹曼常数K J K /1038.123-?=。

2. 理想气体的内能

从微观的角度看，由于理想气体分子间除碰撞外不存在分子力，因此，理想气体分子无势能，其内能仅为所有单个分子平均动能的总和。但须注意：理想气体的内能除跟分子数和温度有关之外，还与气体的种类有关。写成通式为：

RT

i N KT i n E 22==

式中n 为分子的总数，N 为摩尔数。 ● K 为玻尔兹曼常数K J K

/1038.123-?=，

● R 为普适气体恒量R=8.31J/k 。

● i 对不同种类的气体有不同的数值，对于单原子分子（如氦、氖和氩）i =3，对于双原

子分子（如氧气、氢气、一氧化碳）=5，对于多原子分子（如水蒸气）i =6。 在气体等容与等压变化的过程中，涉及定容摩尔热容量V C 和定压摩尔热容量P C . ● 定容摩尔热容量V C ：等容过程中，一摩尔气体温度升高（降低）1k （1℃）时所

吸收（放出）的热量称为定容摩尔热容量以Cv 表示，我们称为比热容比。

R i C V 2=，此时理想气体的内能公式可写成：T NC RT i

N E V ==2

（其中：N

为摩尔数，对单原子气体2/3R C V =，对双原子气体2/5R C V =，对多原子气

体2/6R C V

=。

● 定压摩尔热容量P C ：等压过程中，一摩尔气体温度升高（降低）1k （1℃）时所

吸收（放出）的热量称为定容摩尔热容量以C P 表示，而R C C V P

=-。

3. 热力学第一定律

系统的内能增量E ?等于系统从外界吸收的热量Q 和外界对系统做功W 的和，即

E Q W ?=+ T NC E V ?=?

式中各量是代数量，有正负之分，系统吸热Q 为正，系统放热Q 为负;外界对系统做功W

为正，系统对外做功W 为负;系统内能增加0>?E ，系统内能减少0

1)气体的等容变化过程

等容过程中，由于气体的体积不变，W =0，T NC Q E V ?==?。

在等容过程中，气体吸收的热量全部用于增加内能，温度升高；反之，气体放出的热量是以减小内能为代价的，温度降低。

2)气体的等压变化过程

气体在等压过程中，由于)()(1212T T NR V V P W

--=--=,)(12T T NC Q P --=

T NC E V ?=?

3)气体的等温变化过程:

气体在等温变化过程中，理想气体的内能不变，因而有：0=?E ,W Q -= 4)气体的绝热变化过程

在绝热过程中，一定质量的气体一外界无热量交换，即0=?Q 。 因而T NC E W

V ?=?=

● 理想气体的内能只跟温度有关，所以不管经何种变化过程，都可用公式： )(12T T C m

E V -=

?μ

.

4. 气体的自由膨胀过程

气体向真空的膨胀过程称为气体的自由膨胀。气体自由膨胀时，没有外界阻力，所以外界不对气体做功W=0；由于过程进行很快，气体来不及与外界交换热量，可看成是绝热过程Q=0；根据热力学第一定律可知，气体绝热自由膨胀后其内能不变，即△E=0。 1）如果是理想气体自由膨胀，其内能不变，气体温度也不会变化，即△T=0；

2）如果是离子气体自由膨胀，虽内能不变，但分子的平均斥力势能会随着体积的增大而减小，分子的平均平动动能会增加，从而气体温度会升高，即△T ＞0；

3）如果是存在分子引力的气体自由膨胀后，其内能不变，但平均分子引力势能会增大，分子平均平动动能会减小，气体温度会降低，即△T ＜0。

例1：1atm 大气压下，270C 时空气分子的平均动能是______________。

空气主要由氮气、氧气构成，可看作双原子分子。室温下振动自由度未激活，分子的自由度为5，所以一个分子的平均动能为：

例2：2mol 水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加百分之几？ 分析与求解：

2mol 水蒸气分解成2mol 的氢气和1mol 的氧气，氢气、氧气是属于双原子分子，水蒸气属于三原子分子，分子势能不计。设当温度为T 时，2mol 水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加

RT

RT RT E 26

2)25252(?-+?=? RT E 5.1=? 因此 %2565.1=RT RT

例3：电暖器功率800瓦，房间面积56平方米，房间高度3米，问：电暖器工作1小时能

使房间温度升高多少度？（假设空气的密度为0.00129×103Kg/m 3,空气的摩尔质量为0.029Kg/mol ，空气视为理想气体时 Cv ＝1.40kJ/(kg·K ）)

房间内的空气“摩尔数”为： n=0.00129×103×56×3/0.029=7473mol ------W=Pt W=Q Q=cnΔt

------Pt=cnΔt

------Δt=Pt/cn=(0.8×1×3.6×10^6)/(1.4×103×7473)=2.6K=2.6℃

------实际上，一定会有室内物体吸收热量。所以，房间内的空气温度升高一定小于2.6℃。

例4：摩尔数相同的两种理想气体，第一种由单原子分子组成，第二种由双原子分子组成，现两种气体从同一初态出发，经历一准静态等压过程，体积膨胀到原来的两倍(假定气体的温度在室温附近)。在两种气体经历的过程中，外界对气体作的功A 1与A 2 之比为________；两种气体内能的变化ΔE 1与ΔE 1 之比为________。

例5：（07北大）一定质量的理想气体，由于外界条什的变化，其状态变化曲线如图所示，由状态A 经B 、C 回到A 。试问A-B 等压过程、B-C 等体过程、C-A 等温过 程中， (1)哪几个过程，气体对外做正功，为什么? (2)哪几个过程，气体内能减少，为什么? (3)哪几个过程，气体从外界吸热，为什么?

J 1004.13001038.12

5

252023--?=???=kT

例6：．如图所示，气体由状态a 沿acb 到达状态b ，有336J 热量传入系统，而系统做功126J ，求：（1）若气体在adb 过程中系统做功42J ，问有多少热量传入系统？

（2）当系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统做功84J ，问此时系统是吸热还是放热？传递的热量是多少？

例7：．如图所示，一定量的理想气体，从状态A 出发，经图中AB 、BC 、CA 状态变化后回

到A 状态，其中AB 为等温变化，BC 为等压变化，CA 为等积变化，求： （1）三个过程中哪个过程气体对外做功的绝对值最大？

（2）哪个过程气体内能增加，哪个过程减少？

（3）哪个过程气体热量变化的绝对值最大？哪个过程最小？

例8：有n 摩尔的理想气体，经历如图所示的准静态过程，图中p 0、V 0是已知量，ab 是直线，求

(1)气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量， (2)在该过程中温度最高值是什么?最低值是什么?并在p —V 图上指出其位置。

V 0)

例9：如图所示，一个绝热的气缸，活塞可在气缸内无摩擦地移动，活塞外面是大气，大气压强为P 0，开始时活塞被固定，气缸内盛有n 摩尔理想气体，该气体由双原子刚性分子组成，且已知的其压强为P 1=5P 0，温度T 1=350K ，体积V 1=7L 。今释放活塞，让它自由移动.则当活塞再次平衡时，气缸内气体的温度和体积各为多少? 【解析】过程中,外界对系统所做的功为:021()W P V V =--. 由热力学第一定律:

021

215

()()2

P V V nR T T --=- 再由克拉珀龙方程:

111PV nRT = 222PV nRT =

由以上各式可得:

2270T K =

227V L =

【答案】2

270T K =,227V L =

【小结】这里用到了热力学第一定律和理想气体的内能公式：2

i

U

nRT =，对于单原子刚性分分子:3i =.对于双原子刚性分子:5i =,对于多原子刚性分子:6i =.

例10:如图所示，绝热的活塞 S 把一定质量的稀薄气体（可视为理想气体）密封在水平放置的绝热气缸内．活塞可在气缸内无摩擦地滑动．气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加热．气缸处在大气中，大气压强为p 0．初始时，气体的体积为 V 0 、压强为 p 0．已知1摩尔该气体温度升高1K 时其内能的增量为一已知恒量C 。，求以下两种过程中电热丝传给气体的热量 Q l 与 Q 2之比．

（1）从初始状态出发，保持活塞 S 位置固定，在电热丝中通以弱电流，并持续一段时间，然后停止通电，待气体达到热平衡时，测得气体的压强为 p l .

（2）仍从初始状态出发，让活塞处在自由状态，在电热丝中通以弱电流，也持续一段时间，然后停止通电，最后测得气体的体积为V 2．

4．解：初状态：P 0V 0＝m

μ

RT 0，

过程1是等容过程，气体不做功，

Q 1＝m μ c （T 1－T 0），末状态：P 1V 0＝m μ

RT 1，

可解得：Q 1＝c

R V 0（p 1－p 0）， 过程2是等压过程，

Q2＝m

μc（T2－T0）＋p0（V2－V0），末状态：P0V2＝

m

μRT2，

可解得：Q2＝c＋R

R p0（V2－V0），所以

Q1

Q2＝

c

c＋R

V0（p1－p0）

p0（V2－V0）

。

例11:一个密闭的圆柱形气缸竖直放在水平桌面上，缸内有一与底面平行

的可上下滑动的活塞将气缸隔成两部分，活塞导热性能良好，与气缸壁之

间无摩擦不漏气。活塞上方盛有1.5摩尔氢气，下方盛有1摩尔氧气。如

图所示，它们的温度始终相同，已知在温度为320K时，氢气的体积是氧

气的4倍，试求在温度是多少时氢气的体积是氧气的3倍？

分析与解答：

设在温度T=320开时,氢气和氧气的体只分别为V1、V2

压强分别为P1、P2，已知V1=4V2。

将氢气和氧气都看作理想气体，有

P1·V1=1.5RT P2·V2=RT

设在温度为T′时,氢气的体积为氧气的体积V2′的3倍,V1′=3V2,用P1′、P2′分别表示此时氢气和氧气的压强,则有

P1′V1′=1.5RT′P2′·V2′=RT′

因为总体积不变,所以V1+V2=V1′+V2′

因为活塞的质量不变,所以P2-P1=P2′-P1′

根据题给数据可解得T′=500K

例12: 绝热容器A经一阀门与另一容积比A的容积大得多的绝热容器B相连。开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30℃，B中气体的压强是A中的两倍。现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。问此时容器A中气体的温度为多少？假设在打开到关闭阀门的过程中处在A中的气体与处在B中的气体之间无热交换。已知每摩尔该气体的内能为E=2.5RT。

分析：因为B容器的容积远大于A的容积，所以在题述的过程中，B中气体的压强和温度均视为不变。B容器内部分气体进入A容器，根据题设，A容器内气体是个绝热过程。外界(B容器的剩余气体)对A气体做功等于其内能的增量，从而求出A气体的最终温度。解：设气体的摩尔质量为M，A容器的体积V，打开阀门前，气体质量为m，压强为p，

温度为T。打开阀门又关闭后，A中气体压强为2p，温度为'T，质量为'm，则有

RT

M

m

pV=

，

T

R

M

m

pV'

'

=

2

进入A气体质量

)

1

2

(

T

T

R

MpV

m

m

m-

'

=

-'

=

?

，设这些气体处在B容器中时所占体积为

V

T

T

RT

Mp

m

V)

2

1

(

2

-

'

=

?

=

?

。为把这些气体压入A容器，B容器中其他气体对这些气体做的功为

)1

2

(

2-

'

=

??

=

T

T

pV

V

P

W

。A中气体内能的变化

)

(

2

5

T

T

R

M

m

E-'

?

'

=

?

。根据热力学第一定律有

E

W?

=

)

1(

5

)1

2

(

T

T

pV

T

T

pV

'

-

=

-

'

K

T353

='

分析与解答:设气体的摩尔质量为μ，容器A的体积为V阀门打开前，其中气体的质量为M，压强为P，温度为T，由

RT

M

pV

μ

=得

RT

PV

M

μ

=

因为容器B很大，所以在题中所述的过程中，容器B中气体的压强和温度可皆可视为不变，根据题意，打开阀门又关闭后，A中气体的压强变为2P，若其温度为`T，质量为`

M，则

有

`

`

2

RT

PV

M

μ

=

进入容器A中的气体的质量为)

1

2

(

`T

T

R

PV

M-

=

?

μ

设这些气体处在B 容器中时所占的体积为V ?，则RT P

M

V μ2?=

? 为把这些气体压入容器A 中，容器B 中其它气体对这些气体做的功为

V P W ?=2，由以上各式得)12(

`

-=T T

PV W 容器A 中气体内能的变化为)(5.2``

T T R M E -?=

?μ

由W E =? 得K T 350`

=